2025届新高考数学适应性考试模拟检测试卷（一模）附答案

这是一份2025届新高考数学适应性考试模拟检测试卷（一模）附答案，共12页。试卷主要包含了已知向量，，且与的夹角为，则，若，是第二象限的角，则等于，双曲线C，在四面体中，以上说法正确的有等内容，欢迎下载使用。
答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案。非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效。
选择题: 本题共8小题, 每小题5分, 共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1．展开式中的第2项是（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，，且与的夹角为，则（ ）
A．B．2C．D．14
3．若，是第二象限的角，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．已知且，若函数的值域为[1，+∞），则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5.函数的图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
6．《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至、大寒、雨水的日影长的和为36.3尺，小寒、惊蛰、立夏的日影长的和为18.3尺，则冬至的日影长为（ ）
A．4尺B．8.5尺C．16.1尺D．18.1尺
7.设函数，当时，方程有且只有一个实根，则（ ）
A.2 B.1 C. D.
8．双曲线C：x24−y28=1，已知O是坐标原点，A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线x=233的交点，F是双曲线C的右焦点，D是线段OF的中点，若B是圆x2+y2＝1上的一点，则△ABD的面积的最小值为（ ）
A．22−32B．26−33C．2D．3−13
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知两条直线，及三个平面，，，则的充分条件是（ ）．
A．，B．，，
C．，D．，，
10．在四面体中，以上说法正确的有（ ）
A．若，则可知
B．若Q为的重心，则
C．若，，则
D．若四面体各棱长都为2，M，N分别为，的中点，则
11.某学习小组用曲线：和抛物线部分曲线围成了一个封闭的“心形线”，过焦点的直线交（包含边界点）于两点，点是坐标原点，点是或上的动点，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知为虚数单位，则集合中元素的个数为___________.
13．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢．如果让三位同学选取的礼物都满意，则选法有________种．（用数字作答）
14.已知，且，则的最大值是__________.
解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）记的内角所对的边分别为，已知.
（1）求；
（2）若，求的面积.
16（本小题满分15分如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.
（1）证明：平面平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
17．（本小题满分15分已知数列，满足：，，，．
(1)若是等比数列，求的前n项和．
(2)若是等比数列，则是否为等比数列？请阐述你的观点，并说明理由．
18．（本小题满分17分如图，在中，点.圆是的内切圆，且延长线交于点，若.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)若椭圆上点处的切线方程是，
①过直线上一点引的两条切线，切点分别是，求证：直线恒过定点；
②是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
19．（本小题满分17分已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)①当时，试证明函数恰有三个零点；
②记①中的三个零点分别为，，，且，试证明.
数学答案
一、选择题
二、多选题
三、填空题
12.4
13.50
解答题
15.（1）由，及正弦定理得，
因为为三角形内角，故，故得，
又为三角形内角，或.
（2）由
得，
又，所以.
由（1）得，故
而为三角形内角，.
由正弦定理，得，
故的面积.
16方法一：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，
所以BF⊥平面PEF.
又平面ABFD，
所以平面PEF⊥平面ABFD.
（2）在平面DEF中，过P作PH⊥EF于点H，连接DH，如图，
由于EF为平面ABCD和平面PEF的交线，PH⊥EF，
则PH⊥平面ABFD，故PH⊥DH.
则与平面所成的角为.
在三棱锥P-DEF中，可以利用等体积法求PH.
因为DE∥BF且PF⊥BF，所以PF⊥DE，
又，所以∠FPD=∠FCD=90°，
所以PF⊥PD，
由于DE∩PD=D，则PF⊥平面PDE，
故，
因为BF∥DA且BF⊥平面PEF，
所以DA⊥平面PEF，
所以DE⊥EP.
设正方形的边长为2a，则PD=2a，DE=a，
在中，，
所以，
故，
又，
所以，
所以在中，，
故与平面所成角的正弦值为.
方法二：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，
所以BF⊥平面PEF.
又平面ABFD，
所以平面PEF⊥平面ABFD.
（2）作PH⊥EF，垂足为H.由（1）得，PH⊥平面ABFD.
以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H−xyz.
由（1）可得，DE⊥PE.
又DP=2，DE=1，所以PE=.
又PF=1，EF=2，故PE⊥PF.
可得.
则为平面ABFD的法向量.
设DP与平面ABFD所成角为，则.
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.
17.（1）设的公比为，则，所以，
所以，所以，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
当时，公比，所以；
当时，公比，所以；
当，即时，
所以.
（2）不一定是等比数列，理由如下：
设的公比为，显然，则，
又，，所以，，，，，，是以为首项，为公比的等比数列；
，，，，，，是以为首项，为公比的等比数列；
即为，，，，，，，
所以当时是等比数列，当时不是等比数列.
18.（1）解：据题意，，
从而可得，
由椭圆定义知道，的轨迹为以为焦点的椭圆，
所以所求的椭圆的方程为.
（2）解：①设切点坐标为，直线上的点的坐标，
则切线方程分别为，
又两切线均过点，即，
从而点的坐标都适合方程，
而两点之间确定唯一的一条直线，故直线的方程是，
显然对任意实数，点都适合这个方程，故直线恒过定点.
②将直线的方程，代入椭圆方程，得，
即，
不妨设，
同理.
所以
故存在实数，使得.
19.（1）当时，定义域为，
所以，
所以在定义域上单调递减，其单调递减区间为，无单调递增区间．
（2）①由定义域为，
所以，
令，因为，，
设方程的两根分别为，，且，则，，
所以有两个零点，，且，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以在处取得极小值，在处取得极大值，
又，故，则，
又因为，，且，
故有，由零点存在性定理可知，
在恰有一个零点，在也恰有一个零点，
易知是的零点，所以恰有三个零点；
②由①知，，则，
因为，所以，
所以要证，
即证，
即证，
即证，
即证，
即证．
令，则，
当时，，所以在上单调递减，
所以，故式成立，
所以．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
C
D
C
C
D
A
题号
9
10
11
答案
ABC
ABC
ACD