2024~2025学年上海长宁区高三第一学期11月期中数学试题[附解析}

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1．；考试
2．试题答案全部做在答题纸上．
一、填空题（本大题共12小题，1-6每小题4分，7-12每小题5分，满分54分）
1. 已知集合，，则___________.
【正确答案】
【分析】根据交集的定义运算即可.
【详解】由题意可知.
故答案为.
2. 若幂函数的图像经过点，则=___________.
【正确答案】##
【分析】设幂函数的解析式，将点坐标代入，得函数解析式即可求.
【详解】设，则，所以，
则，所以.
故答案为.
3. 已知数列是等差数列，，，则_________.
【正确答案】
【分析】根据等差数列的通项公式求解即可.
【详解】因为数列是等差数列，所以，
解得，所以，
故
4. 在锐角中，角所对的边分别为，若，则角________．
【正确答案】
【分析】根据正弦定理边角互化得，故，由于为锐角三角形，故.
【详解】解：∵，
∴ 根据正弦定理边角互化得：，
又∵，∴ ，
∴ ，
∵为锐角三角形，
∴
∴
故
本题考查正弦定理解三角形，边角互化，考查运算能力，是基础题..
5. 展开式中常数项为________.
【正确答案】240
【分析】先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于，求出的值，即可求得展开式中的常数项.
【详解】展开式的通项公式
令,所以的展开式的常数项为,故答案为.
本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
6. 已知函数为奇函数，则_________．
【正确答案】
【分析】首先求出函数的定义域，根据为奇函数且在定义域内，有，求出的值.
【详解】函数的定义域为，且为奇函数，
，得
经检验符合题意.
故答案为.
7. 已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为2π，则该圆锥的体积为____________
【正确答案】##
【分析】先利用侧面积求出底面半径，然后利用圆锥的体积公式可求答案.
【详解】设圆锥的底面半径为，高为，因为母线长为2，侧面积为2π，
所以，解得；
所以，圆锥的体积.
故答案为.
8. 已知，则的最小值为________.
【正确答案】4
【分析】首先根据指对互化，表示为，再利用基本不等式求最小值.
【详解】，，且，
即
，
等号成立的条件是，
又因为 ，解得.
故答案为4.
本题考查指对互化，和基本不等式求最值，意在考查转化和计算能力，属于简单题型.
9. 若将函数向右平移个单位后其图像关于轴对称，则 .
【正确答案】
【分析】根据三角函数的图象变换及性质计算即可.
【详解】易知函数向右平移个单位后得函数，
此时函数关于轴对称，则，
又，所以时，.
故答案为.
10. 已知函数是定义在R上奇函数，当时，（b为常数），则=______．
【正确答案】
【分析】根据给定条件，利用求出，再利用奇函数定义求出作答.
【详解】R上的奇函数，当时，，则，解得，
所以.
故
11. 关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是___________.
【正确答案】
【分析】根据题意将不等式转化为在能成立即可，再由二次函数性质求出即可得的取值范围是.
【详解】由不等式以及可得，
依题意可知即可，
令，
又，由可得，
利用二次函数性质可知，即可得；
即实数的取值范围是.
故
12. 若函数，则图象上关于原点对称的点共_____对
【正确答案】
【分析】由题意可知观察的图象与关于原点对称的函数的图象交点个数即可，由此作出相应函数图象，数形结合，可得答案.
【详解】由题意图象上关于原点O对称的点的个数，
只需观察的图象与关于原点对称的函数的图象交点个数即可，
作出函数和的图象如图：

由上图可知：两个图象交点个数为4个，
即函数，则图象上关于原点对称的点共4对.
故4．
二、选择题（本大题共4小题，13-14每小题4分，15-16每小题5分，满分18分）
13. “”是“”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】由得或，进而根据概念直接求解即可.
【详解】解：解不等式得：或，
因为是或的真子集，
所以，是或的充分不必要条件，
即“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
14. 下列函数在区间上为增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断即可.
【详解】对于A选项，函数在区间0,1上为减函数；
对于B选项，函数在区间0,1上为减函数；
对于C选项，函数在区间0,1上增函数；
对于D选项，函数在区间0,1上为减函数.
故选：C.
15. 如图，已知等腰中， ，，点P是边上的动点，则（ ）
A. 为定值10B. 为定值6C. 有最大值为10D. 有最小值为6
【正确答案】A
【分析】设，根据平面向量数量积及加减法运算结合余弦定理可得结果.
【详解】设，因为，，
所以，
又，
，
所以，
故选：A.
16. 设定义域为的两个函数，其值域依次是和，给出下列四个命题：
①“”是“对任意恒成立”的充要条件；
②“”是“对任意恒成立”的充分不必要条件；
③“”是“对任意恒成立”的充要条件；
④“”是“对任意恒成立”的充分不必要条件；
下列选项中正确的是（ ）
A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④
【正确答案】C
【分析】由定义域为是的两个函数，其值域依次是和，可得为的最小值，为的最大值，结合反例即可判定各命题的正误，从而得解.
【详解】因为定义域为是的两个函数，其值域依次是和，
所以为的最小值，为的最大值，
所以当时，对任意都有，
反之当对任意恒成立时，也可以得到，
故“”为“对任意恒成立”的充要条件，所以①对，②错；
因为定义域为是的两个函数，其值域依次是和，
所以为的最小值，为的最大值，
所以当时，可得“对任意恒成立”
但是当“对任意恒成立”时，得不到，
如反例，，则，
任意，fx−gx=x>0，即恒成立，
但是，
所以“”是“对任意恒成立”的充分不必要条件；
所以④对，③错
故选：C.
三、解答题（本大题共5题，满分78分）
17. 已知复数，且为纯虚数．
（1）求复数；
（2）设在复平面上对应的点分别为为坐标原点．求向量在向量上的数量投影．
【正确答案】（1）
（2）3
【分析】（1）利用复数的概念及乘法运算计算即可；
（2）利用复数的几何意义和向量在向量上的数量投影公式计算即可.
【小问1详解】
，
因为是纯虚数，
所以且，
解得.
所以.
【小问2详解】
由（1）可得，即，
所以，
所以向量在向量上的数量投影为.
18. 如图，在三棱柱中，平面，，，，点、分别在棱和棱上，且，，为棱的中点.
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值；
【正确答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，计算出，即可证得结论成立；
（2）求出平面和平面的法向量，利用空间向量法可求得二面角的余弦值.
【详解】（1）在三棱柱中，平面，，
以点坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则点、、、、、，
，，则，
因此，；
（2），，设平面的法向量为，
由，取，可得，，所以，，
易知平面的一个法向量为，.
由图形可知，二面角为锐角，所以，二面角的余弦值为.
思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：
（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；
（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；
（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值.
19. 近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且， 米，设．
（1）求扇形的面积；
（2）求矩形的面积的最大值，并求出取得最大值时的值．
【正确答案】（1）平方米
（2）当时，取得最大值.
【分析】（1）根据题意利用扇形的面积公式求解即可；
（2）利用直角三角形的性质结合半径与分别表示出，从而可求出，再利用三角函数恒等变换公式对化简变形，结合角的范围可求出的最大值.
【小问1详解】
由题意知，扇形的半径米，
所以扇形的面积为平方米；
【小问2详解】
在中，，
在中，，
则由，得，
所以，
所以
，，
由，得，则，
所以当，即时，取得最大值.
20. 已知函数，为的导函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）在第（1）题的条件下，求函数的单调区间和极值；
（3）当时，求证；对任意的，且，有．
【正确答案】（1）
（2）减区间为，增区间为，极小值为，无极大值；
（3）证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出切线方程；
（2）根据导数和函数单调性极值的关系求解即可；
（3）首先确定导函数的解析式，然后令，将原问题转化为与有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.
【小问1详解】
当时，，故，
，，切点为，
曲线在点处的切线方程为，即；
【小问2详解】
，，
，
令，解得，
当，，当，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
是极小值点，极小值为，无极大值；
故函数的单调减区间为，单调增区间为，极小值为，无极大值；
【小问3详解】
证明：由，得，
对任意的，且，令，
则
①，
令，，
当时，，
在单调递增，
当时，，即，
，，，
，
即②，
由（2）可知，当时，，即，
故③，
由①②③可得，
当时，任意的，且，有.
关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数的单调区间和极值，证明不等式.解题关键是不等式的变形，一是去分母，二是引入参数，这是关键所在，这样可把不等式的证明分解为：，，后者用导数进行证明，前者直接因式分解可得，然后由不等式的性质放缩，恰好利用（2）的结论得证.
21. 已知过椭圆方程右焦点、斜率为的直线交椭圆于、两点.
（1）求椭圆的两个焦点和短轴的两个端点构成的四边形的面积；
（2）当直线的斜率为1时，求的面积；
（3）在线段上是否存在点，使得以、为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
【正确答案】（1）2；（2）；（3）存在，.
【分析】（1）根据题中所给的方程，求得的值，代入菱形面积公式得到答案；
（2）右焦点，直线的方程为，设，，由题设条件知，，由此可求出的面积；
（3）假设在线段上是否存在点，设直线的方程为，由题意知，将中点坐标用表示，利用，建立关于方程，再由方程有解，即可求出的范围.
【详解】（1）由椭圆方程得，则，
所以椭圆的两个焦点和短轴的两个端点构成的四边形的面积
；
（2）右焦点，直线的方程为，
设，，
由得，
解得，
所以；
（3）假设在线段上是否存在点，
使得以、为邻边的平行四边形是菱形，
因为直线与轴不垂直，
所以设直线的方程为，
由，可得，
所以，
设中点为，则，
，
即，
，
整理得，关于的方程有解，
所以，.
所以满足条件的点存在，且的取值范围是.
本题考查椭圆的简单几何性质，以及直线与椭圆的位置关系，利用根与系数关系设而不求是解决相交点坐标常用的方法，考查计算求解能力，属于中档