2024~2025学年山东聊城高三第一学期第一次月考数学试题

这是一份2024~2025学年山东聊城高三第一学期第一次月考数学试题，共14页。试卷主要包含了单选题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．设集合，，若，则集合（ ）
A．B．C．D．
2．若复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题B．和q都是真命题
C．p和都是真命题D．和都是真命题
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．函数在区间的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
7．在中，交于点，则（ ）
A．B．C．D．
8．设函数，若，则a的最小值为（ ）
A．B．C．2D．1
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9．设a，b，c，d为实数，且，则下列不等式正确的有（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．的图象关于直线对称D．在上的值域为
11．定义在R上的偶函数，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（本大题共 3 个小题， 每小题 5 分， 共 15 分）
12．已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则 ．
13．已知函数，且.若两个不等的实数满足且，则 .
14．已知，则的最小值为 ．
四、解答题（本大题共 5 个小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.
(1)求的解析式；
(2)若关于的方程在区间上有且只有两个实数解，求实数的取值范围.
16．已知函数．
(1)判断并证明的奇偶性；
(2)若对任意，，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
17．在中，角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)已知，求的最大值.
18．已知直线与函数的图象相切.
(1)求的值；
(2)求函数的极大值.
19．已知为实数，用表示不超过的最大整数，例如，对于函数，若存在，使得，则称函数是“函数”.
(1)判断函数是否是“函数”；
(2)设函数是定义在上的周期函数，其最小正周期是，若不是“函数”，求的最小值；
(3)若函数是“函数”，求的取值范围.
1．B
【分析】将代入方程求出，再求集合即可.
【详解】由可知，
当时，，解得：或，即.
故选：B
2．C
【分析】根据复数乘除法运算直接计算即可.
【详解】因为，所以.
故选：C.
3．B
【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.
【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题，
对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题，
综上，和都是真命题.
故选：B.
4．A
【分析】切化弦，通分即可求解.
【详解】因为，因为，所以.
故选：A.
5．C
【分析】首先利用奇偶函数的定义判断奇偶性，可排除A，B，再利用导函数求时，的单调性可排除D.
【详解】当时，，
故在为奇函数，
因此的图象关于对称，故可以排除A，B，
又，
，
当时，，
因此可得f′x在单调递增，故，
即当时，f′x>0，
因此可得在单调递增，结合图象知C正确，
故选：C.
6．B
【分析】构造，求导得到其单调性，得到，结合的奇偶性和单调性，，得到大小关系.
【详解】是偶函数，在上单调递增，
令，则，函数在上单调递减，
故，
即，而，
所以，
∴．
故选：B
方法点睛：
构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小
7．C
【分析】根据题意可由坐标法求解，以A为原点建立坐标系写出各点的坐标即可求解.
【详解】解：由题可建立如图所示坐标系：
由图可得：，
又，
故直线的方程：，可得，
所以，
故选：C.
8．B
【分析】根据对数函数性质判断在不同区间的符号，在结合二次函数性质得为该二次函数的一个零点，结合恒成立列不等式求参数最值.
【详解】函数定义域为，而，，，
要使，则二次函数，在上，在上，
所以为该二次函数的一个零点，易得，
则，且开口向上，
所以，只需，故a的最小值为.
故选：B
9．AD
【分析】根据不等式的相关性质可得A ,D 项正确；通过举反例可说明B ,C 项错误.
【详解】对于A，由和不等式性质可得，故A正确；
对于B，因，若取，，，，
则，，所以，故B错误；
对于C，因，若取，，，，
则，，所以，故C错误；
对于D，因为，则，又因则，
由不等式的同向皆正可乘性得，，故，故D正确．
故选：AD．
10．BC
【分析】根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质，逐次判断各选项即可得到结论．
【详解】由函数的部分图象可知：，
又因为，即结合函数的单调性可得 ,故A错误；
即所以, 故B正确；
所以．
对于选项C：当时，可得，
所以的图象关于直线对称， 故C正确；
对于选项D： 当时，，
所以，即，故D错误；
故选：BC．
11．AC
【分析】利用特殊值及偶函数性质判断A；根据已知条件得、判断B、C；根据函数的性质，举反例判断D.
【详解】由，令，则，
又为偶函数，则，A对；
由上，得①，
在①式，将代换，得②，B错；
在②式，将代换，得，C对；
由且，即周期为2且关于对称，
显然是满足题设的一个函数，此时，D错.
故选：AC
12．
【分析】由已知分别求出和，再根据平面向量数量积的运算律求解即可．
【详解】由得，，
因为向量在向量方向上的投影向量的坐标为，
所以，即，
所以，
所以，
故．
13．##
【分析】利用辅助角公式化简的解析式，再由题意可得函数关于对称，且最小正周期，即可求出的值，从而得到，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得．
【详解】因为，其中，
由，可得关于对称，
又两个不等的实数满足且，
所以的最小正周期，又，所以，解得，
所以，
所以，则，
所以
.
故
14．
【分析】令，，通过指数式与对数式互化用表示出，再借助基本不等式进行求解即可.
【详解】令，，则，，
，
令，，则，当且仅当，即时等号成立，
，即.
故 .
关键点点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据三角函数图象变换的知识求得.
（2）根据在区间上的图象列不等式来求得的取值范围.
【详解】（1）将的图象向右平移个单位长度后，
得到的图象，
再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，
得到的图象，所以.
（2）因为，所以.
，即在区间上有且只有两个实数解，
于是函数与的图象在区间上有且只有两个交点，
，
，所以.
画出在区间上的图象如下图所示，
所以，所以.
所以实数的取值范围是.
16．(1)奇函数，证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用奇偶性定义证明判断即可；
（2）根据对数复合函数单调性确定在上最小值，把问题化为在上恒成立，即可求结果.
【详解】（1）为奇函数，证明如下：
由解析式易知，函数定义域为，
而，故为奇函数.
（2）由在上为减函数，而在定义域上为增函数，
所以在上为减函数，故，
要使任意，，不等式恒成立，
只需在上恒成立，即在上恒成立，
由开口向上，则，
综上，.
17．(1)；
(2).
【分析】（1）根据正弦定理进行边换角，再通过三角恒等变换得，则得到的大小；
（2）利用正弦定理得到，再根据关系减少变量，最后利用三角恒等变换和三角函数的性质即可得到最大值.
【详解】（1）∵，
由正弦定理得，
，即，
所以，
∵，∴，∴，
∵，∴；
（2）由正弦定理，得，
∴
，
又∵，为锐角，∴的最大值为，
∴的最大值为.
18．(1)；
(2)0.
【分析】（1）设出切点，利用导数的几何意义求解即得.
（2）利用导数判断函数的单调性，然后求出极值即可.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
设切点为，则切线的斜率为，
切线方程为，
又切线过点，于是，而，解得，所以.
（2）由（1）知，，设，求导得，
令，得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
于是，又，
则存在，当时，，当时，，
从而在上单调递减，在上单调递增，
所以存在唯一极大值.
19．(1)是“函数”，不是“函数”
(2)1
(3)，且
【分析】（1）根据“函数”的定义即可判断是否是“函数”.
（2）根据周期函数的定义，结合“函数”的条件，进行判断和证明即可.
（3）根据“函数”的定义，分别讨论，和时，满足的条件即可.
【详解】（1）函数是函数，设，
则，
所以存在，使得，所以函数是“函数”.
函数，函数的最小正周期为，函数的图象如图所示，
不妨研究函数在0,1这个周期的图象.
设，则，
所以，
所以函数不是“函数”.
（2）因为是以为最小正周期的周期函数，所以.
假设，则，所以，矛盾.
所以必有.
而函数的周期为1，且显然不是函数.
综上所述，的最小值为1.
（3）当函数是“函数”时，
若，则显然不是函数，矛盾.
若，则，
所以在上单调递增，
此时不存在，使得，
同理不存在，使得，
又注意到，即不会出现的情形，
所以此时不是函数.
当时，设，所以，
所以有，其中，
当时，因为，所以，
所以，
当时，，
因为，所以，
所以.
综上所述，，且.
方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．