专题3-1 三角函数图像与性质（14题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc22736" 题型01三角函数单调性 PAGEREF _Tc22736 \h 1
\l "_Tc19078" 题型02 求周期 PAGEREF _Tc19078 \h 3
\l "_Tc11553" 题型03 非同名函数平移 PAGEREF _Tc11553 \h 6
\l "_Tc22024" 题型04 对称轴最值应用 PAGEREF _Tc22024 \h 8
\l "_Tc16732" 题型05 对称中心最值应用 PAGEREF _Tc16732 \h 11
\l "_Tc1210" 题型06 辅助角最值 PAGEREF _Tc1210 \h 14
\l "_Tc17473" 题型07 正余弦换元型最值 PAGEREF _Tc17473 \h 17
\l "_Tc23483" 题型08 一元二次型换元最值 PAGEREF _Tc23483 \h 20
\l "_Tc31308" 题型09 分式型最值 PAGEREF _Tc31308 \h 21
\l "_Tc31241" 题型10 最值型综合 PAGEREF _Tc31241 \h 23
\l "_Tc2355" 题型11 恒等变形：求角 PAGEREF _Tc2355 \h 25
\l "_Tc3720" 题型12恒等变形：拆角求值（分式型） PAGEREF _Tc3720 \h 27
\l "_Tc3133" 题型13 恒等变形：拆角求值（复合型） PAGEREF _Tc3133 \h 29
\l "_Tc14193" 题型14 恒等变形：拆角求值（正切型对偶） PAGEREF _Tc14193 \h 31
\l "_Tc8334" 高考练场 PAGEREF _Tc8334 \h 33

题型01三角函数单调性
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数，则使得和都单调递增的一个区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用复合函数的单调性，判断各选项是否正确.
【详解】当从增加到时，从0递减到，从递增到1，
所以从递减到，从递减到，A错误；
当从增加到时，从递减到，从1递减到，
所以从递增到，从递减到，B错误；
当从增加到时，从递减到，从递减到，
所以从递增到，从递减到，C错误；
当从增加到时，从-1递增到，从递减到0，
所以从递增到，从递增到，D正确；
故选：D
【典例1-2】已知函数，则f（x）（ ）
A．在（0，）单调递减B．在（0，π）单调递增
C．在（—，0）单调递减D．在（—，0）单调递增
【答案】D
【分析】先用诱导公式化简得到，再将选项代入检验，求出正确答案.
【详解】，
故当时，，所以不单调，AB错误；
当时，，在上单调递增，
故D正确故选：D
【变式1-1】（2022上·福建莆田·高三校考）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先换元,求定义域再结合复合函数的单调性,最后根据正弦函数的单调性求解即可.
【详解】设，即，，单调递增，取单调增的部分，
所以可得：，即，
解得： 答案：A.
【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）函数在下列某个区间上单调递增，这个区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由二倍角公式结合辅助角公式化简可得的表达式，求出其单调增区间，结合选项，即可判断出答案.
【详解】∵，
令，则，
即的单调递增区间为，当时，，
∴函数在区间上单调递增.故选：A
【变式1-3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据正弦函数的单调性和参数范围即可求解.
【详解】若函数区间上单调递增，
则令，，解得，，
结合是区间，所以，解得.
“”是“”的充分不必要条件,故选：A.
.
题型02 求周期
【解题攻略】
【典例1-1】（2023下·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设函数，则的最小正周期（ ）
A．与有关，且与有关B．与有关，但与无关
C．与无关，且与无关D．与无关，但与有关
【答案】D
【分析】根据三角函数的周期性，结合周期成倍数关系的两个函数之和，其周期为这两个函数的周期的最小公倍数这一结论，解答即可.
【详解】，
对于，其最小正周期为，对于，其最小正周期为，
所以对于任意，的最小正周期都为，
对于，其最小正周期为，
故当时，，其最小正周期为；
当时，，其最小正周期为，
所以的最小正周期与无关，但与有关.
故选：D.
【典例1-2】（2023上·福建厦门·高三福建省厦门第二中学校考阶段练习）以下函数中最小正周期为的个数是（ ）

A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】对于A，直接画出函数图象验证即可；对于BCD，举出反例推翻即可.
【详解】画出函数的图象如图所示：

由图可知函数的最小正周期为，满足题意；
对于而言，，即函数的最小正周期不是，不满足题意；
对于而言，，即函数的最小正周期不是，不满足题意；
对于而言，，即函数的最小正周期不是，不满足题意；综上所述，满足题意的函数的个数有1个.故选：A.
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】D
【分析】确定和，为偶函数，排除，验证D选项满足条件，得到答案.
【详解】对选项A：，函数定义域为，，
函数为偶函数，排除；
对选项B：，函数定义域为，，
函数为偶函数，排除；
对选项C：，函数定义域为，，
函数为偶函数，排除；
对选项D：，函数定义域为，
，函数为奇函数，，满足条件；
故选：D.
【变式1-2】（2023·广东·统考二模）已知函数，的定义域为R，则“，为周期函数”是“为周期函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据通过反例和周期的性质判断即可.
【详解】两个周期函数之和是否为周期函数，取决于两个函数的周期的比是否为有理数，若为有理数，则有周期，若不为有理数，则无周期.
的周期为，的周期为，则当时，只有周期的整数倍才是函数的周期，则不是充分条件；
若，，
则为周期函数，但，为周期函数不正确，故不是必要条件；因此为不充分不必要条件.故选：D
【变式1-3】（2023上·江苏·高三专题练习）在函数①，②，③，④中，最小正周期为π的函数有（ ）
A．①③B．①④
C．③④D．②③
【答案】D
【分析】根据函数图象的翻折变换和周期公式可得.
【详解】①由余弦函数的奇偶性可知，，最小值周期为；
②由翻折变换可知，函数的图象如图：
由图知的最小值周期为；
③由周期公式得，所以的最小值周期为；
④的最小值周期为.
故选：D
题型03 非同名函数平移
【解题攻略】
【典例1-1】（2023秋·山东·高三山东省实验中学校考期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度
【答案】B
【解析】根据，可判断.
【详解】，
所以先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度可得到的图象.
故选：B.
【典例1-2】（2021春·河南许昌·高三许昌实验中学校考）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移1个单位长度D．向右平移1个单位长度
【答案】C
【分析】把化成可得平移的发现及其长度.
【详解】因为，
所以要得到函数的图象，
只需把函数的图象上所有的点向左平移1个单位长度.
故选：C.
【变式1-1】（2020春·全国·高三校联考阶段练习）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平栘个单位
【答案】C
【解析】由题意利用函数的图象变换规律，得出结论．
【详解】解：要得到函数的图象，
只需将函数的图象向左平移个单位即可，
故选：C．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）为得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】D
【分析】先得到，再利用平移变换求解.
【详解】解：因为，
将其图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象.A，B，C都不满足.故选：D
【变式1-3】（2022·河南鹤壁·鹤壁高中校考模拟预测）已知函数，为了得到函数的图象只需将y=f（x）的图象（ ）
A．向右平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向左平移个单位
【答案】C
【分析】根据诱导公式，即可得到平移方法.
【详解】函数，
，
所以为了得到函数的图象只需将y=f（x）的图象向左平移个单位.
故选：C
题型04 对称轴最值应用
【解题攻略】
【典例1-1】已知函数的最大值为，若存在实数，使得对任意实数，总有成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
湖北省荆州市沙市中学2021-2022学年高三上学期数学试题
【答案】B
【分析】
结合三角恒等变换求得的最大值和最小值，并求得的最小值.
【详解】
，
当时取得最大值为.
当时取得最小值为.
依题意，存在实数，使得对任意实数，总有成立，
，
，
是整数，为奇数，所以的最小值为.
故选：B
【典例1-2】（2022届湘赣十四校高三联考第二次考试理数试题=）已知函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若为的一条对称轴，则__________．
【答案】
【分析】
直接利用三角函数关系式的恒等变换和平移变换得，，再利用三角函数对称性列方程求解即可．
【详解】
设，则，，
，则，，
∴，即，
∴，，
又是的一条对称轴，
∴ ，即.故答案为
【变式1-1】已知把函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数的图象，若，若，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
先化简函数，然后根据图像的变换得函数的解析式，通过判断得，同时令取得最大值或最小值时，，再结合函数的图像，即可求得的最大值.
【详解】
．将图象向右平移至个单位长度，
再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数，可得，
所以，，
∴，同时令取得最大值或最小值时，．当，时，，
根据函数的图象可知的最大值为个周期的长度，即
故选：C.
【变式1-2】（河南省三门峡市2021-2022学年高三上学期阶段性检测理科数学试题）.将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移个单位长度，然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据三角函数平移变换,先求得的解析式.根据,可知,即.根据可分别求得的最大值和的最小值,即可求得的最大值.
【详解】
根据平移变换将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,再把所得的图象向左平移个单位长度,然后再把所得的图象向下平移1个单位长度,
可得
由,
可知
即
所以
的最大值为,的最小值为
则的最大值为,的最小值为
所以的最大值为
故选:A
【变式1-3】（2021届安徽省马鞍山二中高三下学期4月高考模拟数学试题）将函数的图象向左平移（）个单位长度后得到函数的图象，若使成立的a、b有，则下列直线中可以是函数图象的对称轴的是
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
根据三角函数平移关系求出的解析式，结合成立的有，求出的关系，结合最小值建立方程求出的值即可.
解：将函数的图象向左平移（）个单位长度后得到函数的图象，
即，若成立，即，即，
则与一个取最大值1，一个取最小值−1，不妨设，
则，得，则，
∵，∴当时，，当时，，
，则或，即或（舍），
即，由，得，
当时，对称轴方程为.故选：D.
题型05 对称中心最值应用
【解题攻略】
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为，则下列点的坐标为的对称中心的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据相邻对称轴之间距离可得最小正周期为，由此可求得，得到解析式；利用正弦型函数对称中心的求法可求得对称中心，对比选项可得结果.
【详解】两条相邻对称轴之间的距离为，最小正周期，
解得：，，
令，解得：，此时，
的对称中心为，
当时，的一个对称中心为.
故选：C.
【典例1-2】（2022·天津南开·二模）函数，其图象的一个最低点是，距离点最近的对称中心为，则（ ）
A．
B．是函数图象的一条对称轴
C．时，函数单调递增
D．的图象向右平移个单位后得到的图象，若是奇函数，则的最小值是
【答案】C
【分析】由函数的图像的顶点坐标求出，由周期求出，由最低点求出的值，可得函数的解析式，再利用三角函数的图像和性质，得出结论．
【详解】解：函数，的图象的一个最低点是，
距离点最近的对称中心为，
，，，
，，解得，，因为，
令，可得，
所以函数，故A错误；
，故函数关于对称，故B错误；
当时，，函数单调递增，故C正确；
把的图象向右平移个单位后得到的图象，
若是奇函数，则，，即，，
令，可得的最小值是，故D错误，
故选：C
【变式1-1】．（2022·四川凉山·三模（理））将函数的图象向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）得到函数的图象，且的图象上一条对称轴与一个对称中心的最小距离为，对于函数有以下几个结论：
（1）；
（2）它的图象关于直线对称；
（3）它的图象关于点对称；
（4）若，则；
则上述结论正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】先根据图像平移的性质求出的函数解析式，逐项代入分析即可.
【详解】解：由题意得：
，向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）得到函数.
对于选项A：由的图象上一条对称轴与一个对称中心的最小距离为，最小正周期，即
，解得，故，所以（1）错误；
当时，代入可知，故图像的一条对称轴是，故（2）正确；
当时，代入可知，故图像的一个对称点是，故（3）正确；
若，则，所以
因此在上的取值范围是，故（4）正确；
由上可知（2）（3）（4）正确，正确的个数为个.
故选：C
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）将函数的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则的最小值为（ ）
A．B．2C．3D．6
【答案】A
【分析】根据三角函数的图象变换求得和，根据函数与的对称中心重合，得到，即可求解.
【详解】解：将函数的图象分别向左平移个单位长度后，
可得
将函数的图象分别向右各平移个单位长度后，
可得，
因为函数与的对称中心重合，所以，
即，解得，所以的最小值为.故选：A.
【变式1-3】（2021·安徽·六安一中高三阶段练习（理））已知的一个对称中心为，把的图像向右平移个单位后，可以得到偶函数的图象，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式将函数化简，即可求出函数的对称中心坐标，再根据三角函数的平移变换规则得到的解析式，结合函数的奇偶性，求出的取值，从而计算可得；
【详解】解：因为，令，，解得，，即函数的对称中心坐标为，，所以，，把的图像向右平移个单位得到，因为为偶函数，所以，解得，因为，所以，所以，且，所以当时；故选：D
题型06 辅助角最值
【解题攻略】
【典例1-1】（江西省上饶市（天佑中学、余干中学等）六校2021届高三下学期第一次联考数学试题已知函数，的最小值为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由可得出不等式对任意的恒成立，化简得出，分、两种情况讨论，结合可求得实数的取值范围.
【详解】
且，
由题意可知，对任意的，，
即，即，
，则，，，可得.
当时，成立；
当时，函数在区间上单调递增，则，此时.
综上所述，实数的取值范围是.故选：C.
【典例1-2】已知函数在上的值域为，则的取值范围为______.
【答案】
【分析】
化简得，其中，，，再结合三角函数的性质可求解.
【详解】由题意得
，其中，，，
令，.因为，，故，
因为，且，所以，，
故，则.
又当时，单调递减，且，
，故.
【变式1-1】.已知函数，周期，，且在处取得最大值，则使得不等式恒成立的实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先根据三角恒等变换和三角形函数的性质，以及同角的三角函数的关系可得，①，再根据，可得，②，通过①②求出的值，再根据三角函数的性质可得，，求出，根据不等式恒成立，则，即可求出答案．
【详解】，其中，处取得最大值，，即，，，①，，
，，，②，
①②得，，即，解得，（舍去），
由①得，，，在第一象限，取，，
由，即，，，，，
使最小，则，即，若不等式恒成立，则，故选：B
【变式1-2】（浙江省绍兴市诸暨市海亮高级中学2021-2022学年高三上学期12月选考数学试题）已知当时，函数取到最大值，则是（ ）
A．奇函数，在时取到最小值；B．偶函数，在时取到最小值；
C．奇函数，在时取到最小值；D．偶函数，在时取到最小值；
【答案】B
【分析】由辅助角公式可得，根据时有最大值可得
，求出，再根据奇偶性并计算、可得答案.
【详解】，取，
当时，有最大值，即，所以，可得，
所以，，则，
因为，所以，为偶函数，
，，故B正确，故选：B.
【变式1-3】（江苏省淮安市淮阴中学2020届高三下学期5月高考模拟数学试题）若存在正整数m使得关于x的方程在上有两个不等实根，则正整数n的最小值是______．
【答案】4
【分析】化简，因为，则，在上有两个不等实根，转化为在上有两个不等实根，故，即可得出答案．
【详解】，
其中，，
因为，则，+
在上有两个不等实根，
在上有两个不等实根，
则，所以
①对任意，，恒成立．由②得，存在，成立，
所以，，所以．故答案为：4
题型07 正余弦换元型最值
【解题攻略】
【典例1-1】（2021下·上海徐汇·高三南洋中学校考阶段练习）已知函数，则的值域为 ．
【答案】
【分析】利用换元法，令，进而可得，再利用函数的单调性即可求解.
【详解】由令，则，
所以，又对勾函数的单调递减区间为，；
单调递增区间为，，结合对勾函数的图象，如下：
所以，所以，所以函数的值域为.
故答案为：.
【典例1-2】（2022·高三单元测试）函数的值域为 ．
【答案】
【分析】利用通过换元将原函数转化为含未知量的函数，再解出函数的值域即为函数的值域.
【详解】令，，
则，即，所以，
又因为，所以，
即函数的值域为．
故答案为：.
【变式1-1】已知函数，则的最大值为___________.
【答案】##
【分析】设，用换元法化为二次函数求解．
【详解】设，则，，
，
∴时，，即．
故答案为：．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】化简函数f（x），根据f（x）在区间上单调递减，f′（x）≤0恒成立，由此解不等式求出a的取值范围．
【详解】由函数，且f(x)在区间上单调递减，
∴在区间上,f′(x)=−sin2x+3a(csx−sinx)+2a−1≤0恒成立，∵设，
∴当x∈时,,t∈[−1,1]，即−1≤csx−sinx≤1，令t∈[−1,1],sin2x=1−t2∈[0,1]，
原式等价于t2+3at+2a−2≤0，当t∈[−1,1]时恒成立，令g(t)=t2+3at+2a−2，
只需满足或或，
解得或或，综上，可得实数a的取值范围是，故选：A.
【变式1-3】（河南省信阳高级中学2020-2021学年高三数学试题）已知实数a>0，若函数fx=asinx+csx-sinxcsx-ax∈R的最大值为92，则a的值为____________.
【答案】52+5
【分析】
利用换元法，令t=sinx+csx，结合同角三角函数的平方关系，将函数化为关于的函数g(t)，然后分类求最值.
【详解】设t=sinx+csx=2sin(x+π4)，则t∈[-2,2]，则t2=sin2x+cs2x+2sinxcsx=1+2sinxcsx，
∴sinxcsx=t2-12，∴gt=fx=asinx+csx-sinxcsx-a=at-t2-12-a=-12t2+at+12-a，
对称轴方程为t=a>0，当0