黑龙江省哈尔滨市第九中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份黑龙江省哈尔滨市第九中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题（Word版附解析），文件包含黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题原卷版docx、黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题Word版含解析docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的）
1. 设复数 满足 ，则它的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
【详解】 ，
复数 的虚部为 ．
故选：B．
2. 已知非零向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知可得 ，结合已知计算可求得 ，进而可求夹角．
【详解】因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，又因为 ，所以 ．
所以 与 的夹角为 ．
故选：A．
3. 中，角 所对的边分别为 ，若 ，则 （ ）
第 1页/共 18页
A. B. C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】由正弦定理可得 ，再由边角关系确定角的大小即可.
【详解】由题意，在 中 ，则 ，所以 ，
因为 ，所以 或 ，又 ，所以 ．
故选：A
4. 已知 ， 是平面内的一组基底， ， ， ，若 A，B，C 三
点共线，则实数 k 的值为（ ）
A. 9 B. 13 C. 15 D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】先求出 ， ，再结合三点共线的定义求解即可.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，
，
又因为 A，B，C 三点共线，所以 ，
即 ，
所以 解得 ， ．
故选：C．
5. 中国古代四大名楼之首黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，因唐代诗人崔颢登楼所题《黄鹤楼》一诗而
名扬四海.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度 ，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物 ，高约为 26
，在地面上点 处（ 三点共线）测得建筑物顶部 ，黄鹤楼顶部 的仰角分别为 和 ，在
第 2页/共 18页
处测得楼顶部 的仰角为 ，则黄鹤楼的高度约为（ ）
A 64 B. 74 C. 52 D. 91
【答案】C
【解析】
【分析】求出 ， ， ，在 中，由正弦定理求出 ，从而
得到 的长度.
【详解】在 中， ，
， ，
在 中， ，
由 ， ，
在 中， m.
故选：C.
6. 已知向量 ， 满足 ， 且 ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用 计算 ，再利用投影向量的公式计算即可.
【详解】 ， ，则 ，
得 ，
则 在 方向上的投影向量为 .
故选：D
第 3页/共 18页
7. 已知 ， 均为单位向量，且满足 ， 为 ， 所在平面内的向量， ，则 的最大
值为（ ）
A. 4 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可设 分别是 轴与 轴正方向上的单位向量， ，从而可得 表示点
到点 的距离，利用圆的性质即可求解.
【详解】已知 是两个单位向量，且 ，
设 分别是 轴与 轴正方向上的单位向量，
则 ， ， ，
设 ，则 ，
令 ，因为 ，所以点 的轨迹是以 为圆心， 2 为半径的圆，
因为 ，表示点 到点 的距离.
因为 到原点的距离为 ，
所以 ．
故选：C．
8. 在 中 ， 为 线 段 上 的 动 点 ， 且
，则 的值为（ ）
A. 12 B. 8 C. 4 D. 1
【答案】A
第 4页/共 18页
【解析】
【分析】根据题意利用数量积结合正弦定理求得 ，再求得 ，可得到 .
【详解】设 ，
因为 ，则 ，①
又因为 ，且 ，
则 ，由正弦定理可得 ，②
且 ，即 ，③
由①，②，③解得 ，
由余弦定理可得 ，
因为 ，
因为点 三点共线，则 ，即 .
故选：A.
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中有多项符合题目
要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分）
9. 若复数 （ 为虚数单位），其中真命题为（ ）
A. B. 若 ，则
C. 若 ，则 D.
【答案】AB
【解析】
【分析】利用共轭复数的定义计算 判断 A，由复数的乘方的模的运算法则计算后判断 BCD．
【详解】由已知, ，A 正确；
时， ， ，B 正确；
第 5页/共 18页
时， ，C 错误；
， ，显然 D 错误．
故选：AB．
10. 下列说法中正确的有（ ）.
A 若 ，则 有两组解
B. 在 中，已知 ，则 是等边三角形
C. 若 ，则直线 AP 一定经过这个三角形的外心
D. 若 为锐角三角形，则 ，且
【答案】AD
【解析】
【分析】对于选项 A，利用正弦定理求出 ，再根据三角形的内角和定理判断即可；对于选项 B，利用
正弦定理和同角三角函数的基本关系式化简已知条件，由此判断三角形的形状；对于选项 C，利用向量的
运算和三角形的性质判断；对于选项 D，利用三角形的性质和正弦定理的单调性判断.
【详解】对于选项 A，由正弦定理得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 有两组解，故选项 A 正确；
对于选项 B，由 及正弦定理得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 是等腰三角形，
无法判断 是等边三角形，故选项 B 错误；
对于选项 C，因为 分别表示与 同方向的单位向量，
所以 表示与 的角平分线共线的向量，所以直线 AP 一定经过这个三角形的内心，
故选项 C 错误；
对于选项 D，因为 为锐角三角形，所以 ，所以 ，
第 6页/共 18页
因为 ， ，所以 ，即 ，
同理可得 ，故选项 D 正确.
故选：AD.
11. 所在平面内一点 满足 ，则下列选项正确的是（ ）
A.
B 延长 交 于点 ，则
C. 若 ，且 ，则
D 若 ，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题设条件，结合向量的线性运算可判断 A，设 ， ，结合向量的线性
运算可判断 B；由向量数量积的性质及运算可判断 CD.
【详解】选项 A：因为 ，
所以 ，故 A 错；
选项 B：延长 交 于点 ，设 ， ，
所以 ，
由 ，得 ，
所以 ，
第 7页/共 18页
即 ，解得： ，则 ，故 B 正确；
选项 C：∵ ，∴ ，延长 交 于点 ，
∴ ，∵ ，由 B 选项知 ，∴ ，
故 C 正确；
选项 D：由 ， ，
两边平方得 ，∴ ，
∴
，故 D 正确.
故选：BCD.
三、填空题（本题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分）
12. 已知向量 ， ， ，且 ， ，则 ____________．
【答案】0
【解析】
【分析】根据平面向量的垂直与平行的坐标表示，可列出关于 的方程，求解可得 的取值，从而得
解.
【详解】由 ， ，且 ，可得 ，解得 ；
又 ， ，且 ，可得 ，解得 ；
所以 .
故答案为：0.
13. 已知△ 的角 的对边分别为 且 ，若 ， ，则
__________.
【答案】
【解析】
第 8页/共 18页
【分析】先根据同角三角函数关系化简得出 ，再应用正弦定理边角转化及余弦定理代入
求解即可.
【详解】因为 ，
，代入 ， ，则可得： .
故答案为： .
14. 已知正方形 的边长为 ， ，若 ， 其中 ， 为实数，则
__________；设 是线段 上的动点， 为线段 的中点，则 的最小值为_________.
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】结合图形，根据向量的线性运算法则可得 ，再根据平面向量基本定理求 ， ，
由此可得 ；根据向量线性运算法则结合数量积运算律可得 ，结合图形
确定 的最小值，由此可求 的最小值.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
因为 为线段 的中点，所以 ，又 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
因为设 是线段 上的动点，又 为钝角，
第 9页/共 18页
所以 ，
因为正方形 的边长为 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以当点 与点 重合时， 取最小值，最小值为 .
故答案为： ； .
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知向量 ， ， ， ．
（1）求 ；
（2）若 和 的夹角为锐角，求 的取值范围；
（3）求 的最小值．
【答案】（1） ；
（2） 且 ；
（3） ．
第 10页/共 18页
【解析】
【分析】（1）由平面向量的线性运算，可求得 的坐标，结合向量的夹角公式即可求解；
（2）由平面向量的线性运算，可求得 的坐标，又 和 的夹角为锐角，所以 且
与 不共线，结合数量积及向量的共线坐标运算即可求解；
（3）由（2）得 的坐标，结合向量的模长公式，可得关于 的二次函数，结合二次函数的性质即可求
解.
【小问 1 详解】
由 ， ，可得 ，
，所以 ．
【小问 2 详解】
由 ， ，可得 ，
因为 与 的夹角为锐角，所以 且 与 不共线，
由（1）得 ，
所以 ，解得 ，
若 与 共线则 ，解得 ，
所以 且 ．
【小问 3 详解】
由（2）得 ，
所以 ．
当 时， 的最小值为 ．
16. 如图所示，圆内接四边形 中， ， 为圆周上一动点， ．
第 11页/共 18页
（1）若 为直径，求 的长和四边形 的面积；
（2）求四边形 周长的最大值．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）先由余弦定理可得 ，再由勾股定理即可得到 ，再由三角形的面积公式代入计算，即可
得到结果；
（2）在 中由正弦定理可得 ，再由三角函数的性质代入计算，即可得到最值.
【小问 1 详解】
连接 BD，
根据圆内接四边形对角互补可得 ，
在 中已知 ，
由余弦定理得
，
所以 ，
第 12页/共 18页
因为 为直径，所以 ，
，
，
，
∴．四边形 的面积 .
【小问 2 详解】
设 ，在 中， ，
∴ ，
四边形 的周长
，
，
∴当 时周长取得最大值 .
17. 已知复数 满足 ．
（1）求复数 ；
（2） ，求 ；
（3）复数 是关于 的方程 的一个根，求出方程 的两个复数根．
【答案】（1）
第 13页/共 18页
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到 ，结合复数的运算法则，即可求解；
（ 2） 由 （ 1） 得 ， 根 据 ， 求 得 ， 结 合
，即可求解.
（3）将 代入带入方程，得到 ，得出方程组，求得 和 的值，得
到 ，进而确定方程的根.
【小问 1 详解】
解：由复数 ，可得 .
【小问 2 详解】
解：由（1）知 ，可得 ，
又由 ，则
，可得 ，
则
，
所以 .
【小问 3 详解】
解：由（1）知： ，
将 代入带入方程得 ，
整理得 ，
所以 ，解得 ，即方程 ，
第 14页/共 18页
则方程 的复数根为 .
18. 在 锐 角 中 ， 内 角 所 对 的 边 分 别 为 ， 且 满 足
．
（1）求角 ；
（2）求 的取值范围；
（3）当 时，角 的平分线交 于 ，求 长度的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得到 ，再利用余弦定理，求得 ，进而
求得 的大小；
（2）由正弦定理，可得 ，根据 为锐角三角形，求得 ，利用
三角函数的性质，即可求解；
（3）设 长度为 ，由 ，求得 ，得到 ，再由余弦定理，
化简得到 ， 设 ，进而求得 长度的最大值.
【小问 1 详解】
因为 ，
由正弦定理，可得 ，整理得 ，
又由余弦定理，可得 ，
第 15页/共 18页
又因为 ，所以 .
【小问 2 详解】
由正弦定理，可得
，
因为 为锐角三角形，且 ，可得 ，
则 ，可得 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以 的取值范围 .
【小问 3 详解】
设 长度为 ，
由 ，可得 ，
因为 ，可得 ，
所以 ，可得 ，
又由余弦定理得 ，所以 ，
则 ，
设
，
第 16页/共 18页
由 ，可得 ，
所以 长度的最大值为 ．
19. 如图，设 是平面内相交成 角的两条数轴， ， 分别是与 轴、 轴同方向的单
位向量．若向量 ，则把有序数对 叫做 在斜坐标系 中的斜坐标．
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，且 与 的夹角为 ，求 ；
（3）若 ， ，求 的面积的取值范围．
【答案】（1） ， ，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据向量的运算法则计算即可；
（2）根据向量的夹角及向量的运算法则即可求解；
（3）由面积公式、同角关系式和向量的夹角公式可得 ，根据向量的
运算法则可得 ，根据三角函数的值域即可求解.
【小问 1 详解】
，
所以 ，
第 17页/共 18页
，
.
小问 2 详解】
，
解得 .
【小问 3 详解】
，
，
，
设 的夹角为 ，
.
第 18页/共 18页