专题04+等腰三角形（3考点+3模型+2专项+2易错）2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲课件

这是一份专题04+等腰三角形（3考点+3模型+2专项+2易错）2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲课件，共60页。PPT课件主要包含了易错易混，题型剖析，考点透视，押题预测，专项突破一，专项突破二等内容，欢迎下载使用。
三大常考点：知识梳理+针对训练
三大解题模型+二大专项突破
二大易错易混经典例题+针对训练
精选3道期末真题对应考点练
(4)___________、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”.
(3)两个_______相等，简称“等边对等角”;
(2)是轴对称图形,等腰三角形的顶角平分线所在的直线是它的对称轴;
知识点一：等腰三角形的性质及判定
(1)有两边相等的三角形是等腰三角形;
(2)如果一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简写成“____________”）.
(1)等边三角形的三边都相等;
(2)等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于________;
(3)是轴对称图形，对称轴是三条高所在的直线;
(4)任意角平分线、角对边上的中线、对边上的高互相重合，简称“三线合一”.
知识点二：等边三角形的性质及判定
⑴三条边都相等的三角形是等边三角形;
⑵三个角都相等的三角形是等边三角形;
⑶有一个角是60°的___________是等边三角形.
性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离______.
判定：与线段两个______距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
知识点三：线段垂直平分线的性质和判定
考点 1 等腰三角形的性质与判定1. 在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ BAC ＝100°，点 D 在 BC 边 上，连接 AD ，若△ ABD 为直角三角形，则∠ ADB 的度 数是 ⁠.
2. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，作 AD ⊥ AB 交 BC 的延长线于点 D ，作 AE ∥ BD ， CE ⊥ AC ，且 AE ， CE 相交于点 E ，求证： AD ＝ CE .
证明：∵ AB ＝ AC ，∴∠ ABC ＝∠ ACB . ∵ AE ∥ BD ，∴∠ EAC ＝∠ ACB . ∴∠ ABC ＝∠ EAC . ∵ AD ⊥ AB ， CE ⊥ AC ，∴∠ BAD ＝∠ ACE ＝90°.∴△ ABD ≌△ CAE . ∴ AD ＝ CE .
3. 如图，在△ ABC 中， BA ＝ BC ， BF ⊥ AC 于点 F . (1)若∠ A ＝36°，求∠ FBC 的度数；
(1)解：∵ BA ＝ BC ，∠ A ＝36°， ∴∠ C ＝∠ A ＝36°.∵ BF ⊥ AC ，∴∠ FBC ＝90°－∠ C ＝54°.
(2)若点 D 在边 AB 上， DE ∥ BC 交 BF 的延长线于点 E ， 求证：∠ E ＝∠ ABF .
(2)证明：∵ BA ＝ BC ， BF ⊥ AC ，∴∠ ABF ＝∠ CBF . ∵ DE ∥ BC ，∴∠ E ＝∠ CBF . ∴∠ E ＝∠ ABF .
3. 如图，在△ ABC 中， BA ＝ BC ， BF ⊥ AC 于点 F .
4. 如图，点 E 在△ ABC 的 AC 边的延长线上， D 点在 AB 上， DE 交 BC 于点 F ， DF ＝ EF ， BD ＝ CE . 求证：△ ABC 是等腰三角形.
证明：过点 D 作 DG ∥ AC 交 BC 于点 G ，∵ DG ∥ AC ，∴∠ GDF ＝∠ CEF ，又∵ DF ＝ EF ，∠ DFG ＝∠ EFC ，∴△ GDF ≌△ CEF (ASA)，∴ GD ＝ CE . 又∵ BD ＝ CE ，∴ BD ＝ DG ，∴∠ DBG ＝∠ DGB ，∵ DG ∥ AC ，∴∠ DGB ＝∠ ACB ，∴∠ ABC ＝∠ ACB ，∴ AB ＝ AC ，∴△ ABC 是等腰三角形.
考点 2 等边三角形的性质与判定5.如图， BD 是等边三角形 ABC 的边 AC 上的高，以点 D 为圆心， DB 长为半径作弧交 BC 的延长线于点 E ，则∠ DEC ＝ ​.
6. 如图，等边三角形纸片 ABC 的边长为6， E ， F 是边 BC 上的三等分点，分别过点 E ， F 沿着平行于 BA ， CA 方向各剪一刀，则剪下的△ DEF 的周长是 ​.
7.如图，在△ ABC 中， AB ＝ BC ＝ AC ， AE ＝ CD ， AD 与 BE 相交于点 P ， BQ ⊥ AD 于点 Q . 求证：
（1）△ ADC ≌△ BEA ；
（2） BP ＝2 PQ .
证明：∵△ ADC ≌△ BEA ，∴∠ CAD ＝∠ ABE . ∵∠ CAD ＋∠ BAD ＝60°，∴∠ ABE ＋∠ BAD ＝60°.∴∠ BPQ ＝60°.∵ BQ ⊥ AD ，∴∠ PBQ ＝30°.∴ BP ＝2 PQ .
8. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ BAC ＝120°，AD⊥ BC ，垂足为 G ，且 AD ＝ AB ，∠ EDF ＝60°，其两边分别交边 AB ， AC 于点 E ， F ，连接 BD . 求证：
（1）△ ABD 是等边三角形；
（2） BE ＝ AF .
10. 如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AD 平分∠ BAC ， DE ⊥ AB 于点 E . (1)若∠ BAC ＝50°，求∠ EDA 的度数；
(2)求证：直线 AD 是线段 CE 的垂直平分线.
(2)证明：∵ DE ⊥ AB ，∠ ACB ＝90°，∴∠ AED ＝90°＝∠ ACB . 又∵ AD 平分∠ BAC ，∴∠ DAE ＝∠ DAC .
10. 如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AD 平分∠ BAC ， DE ⊥ AB 于点 E .
又∵ AD ＝ AD ，∴△ AED ≌△ ACD . ∴ AE ＝ AC ， DE ＝ DC . ∴点 A ，点 D 在线段 CE 的垂直平分线上，即直线 AD 是线段 CE 的垂直平分线.
11. 【情境题·生活应用】拟在新竣工的长方形广场的内部修 建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉 M 到广场的两个入口 A ， B 的距离相等，且到广场管理处 C 的距离等于 A 和 B 之间距离的一半， A ， B ， C 的位置如图所示，请在原图 上利用尺规作出音乐喷泉 M 的位置.
解：点 M 的位置如图所示.
【模型介绍】两个顶角相等的等腰三角形共用顶角顶点，分别连接对应 的两底角顶点，从而可以得到一个经典的全等模型.因为顶点相连的四 条边，形象可以看作两双手，通常称为“手拉手模型”.
文字说明：（1）点 A 为共用顶角顶点，看作头；（2）线段 AB ， AC 为等腰三角形 ABC 的两腰，看作两条手臂；线段 AM ， AN 为等腰三角形 AMN 的两腰，看作两条手臂；（3）点 B 与点 M 看作左手，线段 BM 看作左手拉左手；点 C 与点 N 看作右手，线段 CN 看作右手拉右手.
解题步骤：（1）找共用顶点，确定“四只手”；（2）连接对应顶点；（3）SAS证明全等.
模型一：等边三角形中三点共线的“手拉手”模型
已知：△ ABC 和△ AMN 都为等边三角形（ A ， B ， N 三点共线），连 接 BM ， CN 交于点 O ，连接 AO .
结论：（1）△ ABM ≌△ ACN ；
（2）∠ MON ＝60°（拉手线的夹角等于顶角）；
（3） AO 平分∠ BON .
1. 如图，点 C 为线段 AB 上一点，△ ACM ，△ CBN 都是等边三角形，连接 AN ， BM 交于点 O ， AN 交 MC 于点 E ， BM 交 CN 于点 F . 求∠ BON 的度数.
模型二：等边三角形中三点不共线的“手拉手”模型已知：△ ABC 和△ AMN 都为等边三角形（ A ， B ， N 三点不共线）， 连接 BM ， CN 交于点 O ，连接 AO .
结论：（1）△ ABM ≌△ ACN ；（2）∠ MON ＝60°（拉手线的夹角等于顶角）；（3） AO 平分∠ BON .
2. 如图，△ ABC ，△ CDE 均为等边三角形，连接 BD ， AE 交于点 O .求证： AE ＝ BD .
模型三：等腰直角三角形（或正方形）中的“手拉手”模型已知：四边形 ABCD 和四边形 AEFG 都为正方形，连接 EB 和 GD 交于 点 O ，连接 AO .
结论：（1）△ AGD ≌△ AEB ；
（2） GD ⊥ EB ；（3） AO 平分∠ EOD .
3. 如图，两个等腰直角三角形△ ABC 和△ ADE 中， AB ＝ AC ， AE ＝ AD ，∠ BAC ＝∠ DAE ＝90°，连接 BD ， CE 交于点 P ，试判断 BD 和 CE 的数量关系和位置关系，并说明理由.
解： BD ＝ CE 且 BD ⊥ CE .
构造等腰三角形的常见方法
方法一　巧用角平分线、垂线合一构造等腰三角形1. 如图所示， D 为△ ABC 内一点， CD 平分∠ ACB ， BD ⊥ CD ，∠ A ＝∠ ABD ，若 BD ＝1， BC ＝3，求线段 AC 的长.
解：延长 BD 交 AC 于点 E ，∵∠ A ＝∠ ABD ，∴ BE ＝ AE . ∵ BD ⊥ CD ，∴ BE ⊥ CD ，∴∠ BDC ＝∠ EDC ＝90°，∴∠ BCD ＋∠ EBC ＝∠ ECD ＋∠ BEC ＝90°.∵ CD 平分∠ ACB ，∴∠ BCD ＝∠ ECD ，
∴∠ EBC ＝∠ BEC ，∴ BC ＝ CE . ∵ BE ⊥ CD ，∴ BE ＝2 BD . ∵ BD ＝1， BC ＝3，∴ BE ＝2， CE ＝3，∴ AE ＝ BE ＝2，∴ AC ＝ AE ＋ EC ＝2＋3＝5.
方法二　巧用平行线＋角平分线构造新等腰三角形2. 已知，如图△ ABC 中，∠ ABC ，∠ ACB 的平分线相交于 点 O ，过点 O 作 EF ∥ BC 分别交 AB ， AC 于点 E ， F . (1)如图①，若 AB ＝ AC ，图中有 个等腰三角形，且 EF 与 BE ， CF 的数量关系是 ⁠ ⁠.
EF ＝ BE ＋ CF ＝2 BE
(2)如图②，若 AB ≠ AC ，其他条件不变，(1)问中 EF 与 BE ， CF 间的关系还成立吗？请说明理由.
2. 已知，如图△ ABC 中，∠ ABC ，∠ ACB 的平分线相交于点 O ，过点 O 作 EF ∥ BC 分别交 AB ， AC 于点 E ， F .
解：(2) EF 与 BE ， CF 的数量关系 EF ＝ BE ＋ CF 成立， EF ＝2 BE ＝2 CF 不成立.理由如下：∵ BO 平分∠ ABC ， CO 平分∠ ACB ，∴∠ CBO ＝∠ ABO ，∠ BCO ＝∠ ACO . ∵ EF ∥ BC ，∴∠ BOE ＝∠ CBO ，∠ COF ＝∠ BCO ，∴∠ ABO ＝∠ BOE ，∠ ACO ＝∠ COF ，∴ BE ＝ OE ， CF ＝ OF ，∴ EF ＝ OE ＋ OF ＝ BE ＋ CF . ∵ AB ≠ AC ，∴易知 OE ≠ OF ，∴ EF ≠2 BE ≠2 CF .
(3)如图③，在△ ABC 中，若 AB ≠ AC ，∠ ABC 的平分线 与三角形外角∠ ACD 的平分线 CO 交于点 O ，过点 O 作 OE ∥ BC 交 AB 于点 E ，交 AC 于点 F . 请直接写出 EF 与 BE ， CF 间的数量关系.
解：(3) EF ＝ BE － CF .
(1)解：∵△ ABC 为等边三角形，∴∠ B ＝∠ BAC ＝60°， AB ＝ AC . ∵点 M 是 BC 的中点，∴∠ MAN ＝30°，∠ AMB ＝90°.∵∠ AMN ＝60°，∴∠ BMN ＝30°，∴ BM ＝2 BN ， AB ＝2 BM .
3. 已知：等边三角形 ABC 中.(2)如图②，点 I 在 AB 边上( I 为非中点，不与 A ， B 重合)，点 J 在 CB 的延长线上且∠ IJB ＝∠ ICB ，求证： AI ＝ BJ ；
(2)证明：如图②，过点 I 作 IG ∥ JC 交 AC 于点 G ，易得∠ A ＝∠ AIG ＝∠ AGI ＝60°，∴△ AIG 为等边三角形，∴ AI ＝ AG ，∴ BI ＝ CG . ∵∠ AGI ＝∠ ABC ＝60°，∴∠ IGC ＝∠ JBI ＝120°.∵ IG ∥ BC ，∴∠ GIC ＝∠ ICB .
∵∠ IJB ＝∠ ICB ，∴∠ GIC ＝∠ IJB ，∴△ IGC ≌△ JBI (AAS)，∴ IG ＝ BJ . ∵△ AIG 为等边三角形，∴ AI ＝ IG ，∴ AI ＝ BJ .
方法四　利用倍角关系构造新等腰三角形4. 如图①，在△ ABC 中，∠ B ＝2∠ C ， AD 是∠ BAC 的平 分线.求证： AB ＋ BD ＝ AC .
(1)解决问题：甲同学的证明思路：在 AC 上截取 AE ＝ AB ，连接 DE . (如图②)乙同学的证明思路：延长 CB 至点 E ，使 BE ＝ AB ，连 接 AE . (如图③)请你任意选择一种思路完成证明.
解：(1)选择甲的证明思路.证明：∵ AD 是∠ BAC 的平分线，∴∠ BAD ＝∠ EAD . 又∵ AB ＝ AE ， AD ＝ AD ，∴△ ABD ≌△ AED (SAS)，∴ BD ＝ DE ，∠ ABD ＝∠ AED . ∵∠ AED ＝∠ EDC ＋∠ C ，∠ ABD ＝2∠ C ，∴∠ EDC ＝∠ C ，∴ DE ＝ EC ，
∴ AB ＋ BD ＝ AE ＋ DE ＝ AE ＋ CE ＝ AC . (答案不唯一)
(2)问题升华：如图④，在△ ABC 中，若∠ ACB ＝2∠ B ，∠ ACB ≠90°， AD 是△ ABC 外角∠ CAF 的平分线，交 BC 的延长线于点 D ，则线段 AB ， AC ， CD 之间有怎样的数量关系？请证明.
4. 如图①，在△ ABC 中，∠ B ＝2∠ C ， AD 是∠ BAC 的平分线.求证： AB ＋ BD ＝ AC .
解：(2) AB ＝ CD － AC . 证明：在 AF 上取一点 E ，使 AE ＝ AC ，连接 DE ，∵ AD 平分∠ CAF ，∴∠ CAD ＝∠ EAD . 又∵ AD ＝ AD ，∴△ ACD ≌△ AED (SAS)，∴∠ ACD ＝∠ AED ， CD ＝ DE ，∴∠ ACB ＝∠ FED . ∵∠ ACB ＝2∠ B ，∴∠ FED ＝2∠ B .
∵∠ FED ＝∠ B ＋∠ EDB ，∴∠ EDB ＝∠ B ，∴ DE ＝ BE ，∴ BE ＝ CD ，∴ AB ＝ BE － AE ＝ CD － AC .
分类讨论思想在等腰三角形中的应用
类型一　底和腰不确定需分类讨论1. 用一条长20 cm的细绳围成一个等腰三角形，若一边长是 另一边长的2倍，则底边的长为 ⁠.
类型二　底角和顶角不确定需分类讨论2. 一个等腰三角形，其中两个内角的度数的比是2∶5，则它 的三个内角可能是(　C　)
类型三　与高有关的分类讨论3. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于30°，则这个 等腰三角形的顶角等于(　D　)
类型四　与中线有关的分类讨论4. 已知一个等腰三角形的周长为45 cm，一腰上的中线将这 个三角形的周长分为3∶2的两部分，则这个等腰三角形的 底边长为 ⁠.
9 cm或21 cm　
类型五　与腰的垂直平分线有关的分类讨论5. 已知在△ OPQ 中， OP ＝ OQ ， OP 的垂直平分线交 OP 于 点 D ，交直线 OQ 于点 E ，连接 EP ，∠ OEP ＝50°，则 ∠ POQ ＝ ⁠.
点拨：如图①，当△ OPQ 为锐角三角形时，
∵ DE 垂直平分 OP ，
∴∠ ODE ＝∠ PDE ＝90°， OE ＝ PE ，
∴∠ EOD ＝90°－25°＝65°；
如图②，当△ OPQ 为钝角三角形时，
∵ DE 垂直平分 OP ，∴∠ ODE ＝∠ PDE ＝90°， OE ＝ PE ，
∴∠ EOD ＝90°－25°＝65°，
∴∠ POQ ＝180°－65°＝115°.
综上，∠ POQ 的度数为65°或115°.
类型六　动点问题的分类讨论6. 如图，△ ABC 的顶点 A ， C 在直线 l 上，∠ B ＝130°， ∠ ACB ＝30°，若点 P 在直线 l 上运动，当△ ABP 是等腰 三角形时，∠ ABP 的度数是 ⁠ ⁠.
10°，80°，140°或
点拨：∵∠ ABC ＝130°，∠ ACB ＝30°，
∴∠ BAC ＝180°－130°－30°＝20°.
当 AP ＝ AB ，点 P 在 CA 的延长线上时，如图①，
∵∠ BAC 是△ ABP 的一个外角，
∴∠ BAC ＝∠ APB ＋∠ ABP ，
∵ AB ＝ AP ，∠ BAC ＝20°，
当 AP ＝ AB ，点 P 在 AC 上时，如图②，
当 BA ＝ BP 时，如图③，
∵ BA ＝ BP ，∴∠ BAP ＝∠ BPA ＝20°，
∴∠ ABP ＝180°－∠ BAP －∠ BPA ＝180°－20°－20°＝140°；
当 PA ＝ PB 时，如图④，
∵ PA ＝ PB ，∴∠ BAP ＝∠ ABP ＝20°.
综上所述：当△ ABP 是等腰三角形时，∠ ABP 的度数是 10°，80°，140°或20°.
7. 【新趋势·学科内综合】如图所示，在△ ABC 中， AB ＝ AC ＝2，∠ B ＝40°，点 D 在线段 BC 上运动(点 D 不与点 B ， C 重合)，连接 AD ，作∠ ADE ＝40°， DE 交线段 AC 于点 E .
(1)当∠ BDA ＝115°时，∠ BAD ＝ ；点 D 从点 B 向点 C 运动时，∠ BDA 逐渐变 (填“大”或 “小”).
(2)当 DC 的长为多少时，△ ABD 与△ DCE 全等？请说明 理由.
7. 【新趋势·学科内综合】如图所示，在△ ABC 中， AB ＝ AC ＝2，∠ B ＝40°，点 D 在线段 BC 上运动(点 D 不与点 B ， C 重合)，连接 AD ，作∠ ADE ＝40°， DE 交线段 AC 于点 E .
(3)在点 D 的运动过程中，△ ADE 的形状也在改变，请判 断当∠ BDA 等于多少度时，△ ADE 是等腰三角形.(直 接写出结论，不用说明理由)
解：(3)当∠ BDA 的度数为110°或 80°时，△ ADE 是等腰三角形.
类型七　与构造等腰三角形有关的分类讨论8. 在平面直角坐标系中， A (2，3)， O 为原点，若点 B 为坐 标轴上一点，且△ AOB 为等腰三角形，则这样的 B 点有 (　C　)
点方法：分别以点 O ， A 为圆心，以 OA 长为半径作圆， 与坐标轴的交点即为所求(不包含点 O )，再作线段 OA 的 垂直平分线，与坐标轴的交点也为所求，作出图形，利用 数形结合求解即可.
9. 【新视角·新定义题】定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线.
(1)如图①是顶角为36°的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，请你在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数.(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种)
(2)图③是顶角为45°的等腰三角形，请你在图③中画出 顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰 三角形顶角的度数.
解：(2)如图③.(答案不唯一)
(3)在△ ABC 中，∠ B ＝30°， AD 和 DE 是△ ABC 的三分 线，点 D 在 BC 边上，点 E 在 AC 边上，且 AD ＝ BD ， DE ＝ CE ，设∠ C ＝ x ，求出 x 所有可能的值.
解：(3)如图④，当 AD ＝ AE 时，∵2 x ＋ x ＝30°＋30°，∴ x ＝20°.如图⑤，当 AD ＝ DE 时，∵2 x ＋ x ＋30°＋30°＝180°，∴ x ＝40°.∴ x 的所有可能的值为20°或40°.
10. 【新考法·方程建模法】如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90°， AC ≤ BC ，将△ ABC 沿 EF 折叠，使点 A 落在直 角边 BC 上的 D 点处，设 EF 与 AB ， AC 边分别交于点 E 、点 F ，如果折叠后△ CDF 与△ BDE 均为等腰三角 形，求∠ B 的度数.
①如图①，当 DE ＝ DB 时，∠ B ＝∠ DEB ＝2 x °，由∠ CDE ＝∠ DEB ＋∠ B ，得45°＋22.5°＋ x °＝4 x °，
解得 x ＝22.5.此时∠ B ＝2 x °＝45°；
②如图②，当 BD ＝ BE 时，则∠ B ＝(180－4 x )°，由∠ CDE ＝∠ DEB ＋∠ B ，得45°＋22.5°＋ x °＝2 x °＋180°－4 x °，解得 x ＝37.5，此时∠ B ＝(180－4 x )°＝30°.
由∠ CDE ＝∠ DEB ＋∠ B ，
此方程无解.∴ DE ＝ BE 不成立.
综上所述，∠ B 的度数为45°或30°.
易错点1.利用等腰三角形的性质解题时，考虑问题不全面导致出错【例1】已知等腰三角形的一个角是62°，求等腰三角形的另外两个角 的度数.错解：∵180°－2×62°＝56°，∴等腰三角形的另外两个角分别为 62°，56°.错解分析：误认为题干所给的角就是底角，从而导致漏解.若题中没有 指出该角是顶角还是底角时，要注意分情况进行讨论.
【针对训练】已知一个等腰三角形的两个内角分别为（2 x －2）°和（3 x －5）°，求这个等腰三角形各内角的度数.
解：①当两个底角分别是（2 x －2）°和（3 x －5）°时，2 x －2＝3 x －5，解得 x ＝3.∴三个内角分别是4°，4°，172°；
③当顶角是（3 x －5）°时，3 x －5＋2（2 x －2）＝180，解得 x ＝27.∴三个内角分别是76°，52°，52°.综上所述，这个等腰三角形各内角的度数分别是4°，4°，172°或 46°，67°，67°或76°，52°，52°.
②当顶角是（2 x －2）°时，2 x －2＋2（3 x －5）＝180，解得 x ＝24.∴三个内角分别是46°，67°，67°；
易错点2.误用等腰三角形“三线合一”的性质【例2】如图Z13－1－8，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， BD ⊥ AC ，垂足为 D ，∠ A ＝40°，求∠ DBC 的度数.
【针对训练】如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ A ＝36°， BD 平分∠ ABC 交 AC 于点 D . 求证： BC ＝ BD .
1.(2023春·虹口区期末)已知等腰三角形的两条边长分别是3cm、7cm,那么这个等腰三角形的周长是 ____ cm.
【解析】解：∵等腰三角形的两条边长分别是3cm、7cm,∴当此三角形的腰长为3cm时，3+3＜7，不能构成三角形，故排除，∴此三角形的腰长为7cm,底边长为3cm,∴此等腰三角形的周长=7+7+3=17cm,故答案为：17．
两直线平行，内错角相等
所以△OCD≌OFE，( _____ )，所以CD=FE( ____________________________ )，因为AB=AC(已知)，所以∠ACB=∠B( _____________ )，所以∠EFB=∠B(等量代换)，所以BE=FE，所以CD=BE．
【解析】解：过点E作EF∥AC交BC于F，所以∠ACB=∠EFB(两直线平行，同位角相等)，∠D=∠OEF(两直线平行，内错角相等)，
全等三角形的对应边相等
3.(2023春·杨浦区期末 )已知在△ABC中，AB=AC，点D是边AB上一点，∠BCD=∠A．(1)如图1，试说明CD=CB的理由；(2)如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F．①试说明∠BCD=2∠CBE的理由；②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．________
【解析】解：(1)∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠BDC是△ADC的一个外角，∴∠BDC=∠A+∠ACD，∵∠ACB=∠BCD+∠ACD，∠BCD=∠A，∴∠BDC=∠ACB，∴∠ABC=∠BDC．∴CD=CB；
(2)①∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠CBE+∠ACB=90°，设∠CBE=α，则∠ACB=90°-α，∴∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°-α，∴∠BCD=180°-∠BDC-∠ABC=180°-(90°-α)-(90°-α)=2α，∴∠BCD=2∠CBE；