江西省宜春市丰城市第九中学2024−2025学年高一下学期第一次段考 数学试题（含解析）

这是一份江西省宜春市丰城市第九中学2024−2025学年高一下学期第一次段考 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．将化成角度为（ ）
A．B．C．D．
2．下列命题：
①第四象限的角可表示为；
②第二象限角大于第一象限角；
③将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角为；
④若是第二象限角，则的终边在第一象限．
其中真命题的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
3．若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．函数y＝3cs2x－4cs x＋1，x∈的最小值是（ ）
A．－B．
C．0D．－
6．已知函数其中．若在区间上单调递增，则ω的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．记函数的最小正周期为，若，且的图像关于点中心对称，则（ ）
A．B．1C．D．3
8．已知是定义在上的奇函数，在上是减函数且有，若，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列各式中能化简为的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是函数的周期
B．函数在区间上单调递增
C．函数的图象可由函数向左平移个单位长度得到
D．函数的对称轴方程为
11．已知函数，函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．，
B．的最小正周期是
C．的对称中心，
D．若方程在上有且只有个根，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．函数的最小正周期为 .
13．如图，A，B和C，D分别为函数（，）图象上的两个最高点、两个最低点，若四边形ABCD的面积为，直线AD过点，则 ．
14．函数在上有定义，满足，当时，，则函数与的图像在区间上的所有交点的横坐标之和是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，且角的终边上一点的坐标是.
(1)求及的值；
(2)求的值.
16．已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径．
(1)当，求其弧所在弓形的面积．
(2)若该扇形的面积为，当它的圆心角和半径取何值时，该扇形的周长最小？最小值是多少？
17．设图象的一条对称轴是直线．
(1)求，并求函数的单调增区间；
(2)用“五点作图法”画出函数在区间上的图象．
18．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某市的摩天轮最高点距离地面的高度为，转盘直径为，设有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速转动，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周约需要.游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后，距离地面的高度为.
(1)在转动一周的过程中，求关于的函数关系式；
(2)求游客甲在开始转动后距离地面的高度；
(3)当游客距离地面的高度不低于时，可以俯瞰该市的全景，求游客甲在摩天轮转动一周的过程中能俯瞰该市全景的时长.
19．已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点．
(1)求函数的解析式；
(2)当，方程有解，求实数的取值范围；
(3)若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围．
参考答案
1．【答案】B
【详解】，
故选B.
2．【答案】B
【详解】对于①，第四象限的角可表示为，故①错误，
对于②，大小为的角在第二象限，大小为的角在第一象限，但，故②错误，
对于③，将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角为，故③正确，
对于④，大小为的角在第二象限，但的终边在第三象限；故④错误，
所以真命题的个数为1，
故选B.
3．【答案】C
【详解】在直线上取一点，根据三角函数定义可知，，当为锐角时，易知，
所以终边落在直线上的角的取值集合为，
故选C.
4．【答案】D
【详解】因为.
又因为，所以.
故选D
5．【答案】D
【详解】设，因为x∈，所以，
，
函数在上是减函数，
所以时，．
故选D．
6．【答案】D
【详解】当时，，
则，
即，解得，
当时，，又∵，则，
当时，，
当时，∵，此时无解，
∴.
故选D.
7．【答案】C
【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图像关于点对称，所以，且，
所以，所以，，
所以.
故选C.
8．【答案】B
【详解】已知是定义在上的奇函数，在上是减函数且有，
所以在上是减函数且有，
因为，
所以，
，
，
又因为，
所以，，
即，所以，
则，则，
又，所以，所以.
故选B.
9．【答案】ACD
【详解】对于A，
，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确．
故选ACD.
10．【答案】ACD
【分析】利用三角函数的图象与性质逐一判断选项即可.
【详解】因为，所以是函数的周期，故A正确；
因为，所以，又在上不单调，故B错误；
因为函数向左平移个单位长度得到，故C正确；
令，得，故D正确.
故选ACD．
11．【答案】ACD
【详解】对A，由图分析可知：，，得，或，
因为，所以，
由，得，即，
又，所以，
又，
所以，即得，，
又，所以，所以，故A正确；
对B，，
因为，
，
故函数的最小正周期不是，结合图象可知，函数的最小正周期为，故B错误；
对C，，
由可得，
因此，函数的对称中心为，故C正确；
对D，由，得，
因为，所以，
令、、、、、，
解得、、、、、．
又在上有个根，则根从小到大为、、、、、．
再令，解得，则第个根为，，故D正确．
故选ACD.
12．【答案】
【详解】函数的最小正周期为.
13．【答案】/
【详解】因为四边形ABCD的面积为，且（T为的最小正周期），
，梯形ABCD的高为2，所以，解得，
即．
又直线AD过点，由图象对称性可得的图象过点，
即，即．
又，所以，故．
故．
14．【答案】
【详解】由，则关于对称，
且也是的对称轴，则两函数交点也关于对称，
当时，，
函数在单调递增，且，
分别作出函数在区间的图象，
又在处无定义，故由图可知，两函数在有四个交点，
在区间上，从左到右设交点横坐标依次为，
所以由对称性得，，
故所有交点的横坐标之和为.
15．【答案】(1)，，
(2)
【详解】（1）因为角的终边上一点的坐标是，
由三角函数的定义可得，
，
.
（2）原式
.
16．【答案】(1)
(2)当扇形圆心角为，半径为时，该扇形的周长最小，最小为.
【详解】（1）
由题意，当时，扇形面积；
如图，扇形中，连接，则，
所以是正三角形，则，
故所求弓形面积为；
（2）设扇形弧长为，由已知扇形的面积，则，
则扇形的周长，
当且仅当，即时等号成立，
此时半径为，圆心角，该扇形的周长最小，最小为.
17．【答案】(1)，
(2)见解析
【详解】（1）因为直线是函数的一条对称轴，
所以，则，解得，
又，所以，
所以.
令，
解得，
所以函数的单调增区间为.
（2）由可知
故函数在区间上的图像如下：
18．【答案】(1)，；
(2)；
(3)10分钟.
【详解】（1）设游客甲乘坐的座舱距离地面最近的位置为点，以摩天轮的轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立平面直角坐标系，
当时，，此时，以为终边的角是，
因为该摩天轮转一周约需要，该摩天轮的角速度约为，
所以，.
（2）当时，，
即游客甲在开始转动后距离地面的高度约为.
（3）由题意可得，即.
因为，所以，
所以，解得，
则游客甲在摩天轮转动一周的过程中能俯瞰该市全景的时长为.
19．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设的最小正周期为，由题意得，得周期，
所以，得，
因为，所以，
所以，
因为的图象过点，所以，得，
因为，所以，
故．
（2），
即有解，
由，得，
所以，所以，
所以，即．
（3），设，则，
由“方程在区间上恰有三个实数根”，
得“方程在区间上恰有三个实数根”，
则的图象如下：
即，
由图得，，，
即，
综上．