浙江省湖州市2023-2024学年高二下学期6月期末调研测试数学试卷（解析版）

这是一份浙江省湖州市2023-2024学年高二下学期6月期末调研测试数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了 在中，“”是“”的， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答.
2.本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设向量，如果与共线且方向相同，则的值为（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】B
【解析】因为，且与共线，
所以，得，
因与方向相同，所以.
故选：B
2. 若复数（为虚数单位），则（ ）
A. 0B. 1C. D.
【答案】D
【解析】,
所以,
所以.
故选：D.
3. 在中，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为是三角形的内角，且，
所以，
因为在上单调递减，所以，故充分性成立；
反之，在上单调递减，，
若，则，故必要性成立，
所以在中，“”是“”的充要条件，
故选：C.
4. 的展开式中常数项的值为，记展开式的二项式系数和为，系数和为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由的展开式中常数项是第四项：
，解得，
所以的展开式系数和为，即，
而的展开式二项式系数和为，即，
所以，
故选：A.
5. 若函数为偶函数，则实数a的值为（ ）
A. B. 0C. D. 1
【答案】A
【解析】的定义域为，
，
由于为偶函数，故，
即，
故，解得
故选：A
6. 已知随机变量满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为随机变量，满足，且，所以，
对于A，，
所以A不正确；
对于B，，，
，所以B不正确；
对于C，，，
，所以C不正确；
根据,
由,
则，，
故选：D.
7. 商家为了解某品牌电风扇的月销售量（台）与月平均气温之间的关系，随机统计了某4个月该品牌电风扇的月销售量与当月平均气温，其数据如下表；
由表中数据算出线性回归方程中的，据此估计平均气温为的那个月，该品牌电风扇的销售量约为（ ）台.
A. 63B. 61C. 59D. 57
【答案】A
【解析】根据表格中的数据，
可得，
又由点在回归方程上，其中，
所以，解得，即，
当时，，即估计平均气温为的那个月，该品牌电风扇的销售量约为件.
故选：A.
8. 若曲线在点处的切线方程为，则的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意得，所以，，
将代入中得，
所以，
，
令，则，
令得，令得，
所以在上单调递增，1,+∞上单调递减，
所以，即的最大值为.
故选：C.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数越接近于1
B. 正态曲线当一定时，越小，正态曲线越“瘦高”；越大，正态曲线越“矮胖”
C. 在刻画回归模型的拟合效果时，决定系数的值越大，说明拟合的效果越好
D. 对于独立性检验，随机变量的值越大，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
【答案】BC
【解析】对于A选项，两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，故A错误；
对于B选项，正态曲线中，当一定时，越小，总体分布越集中，则正态曲线越“瘦高”； 越大，总体分布越分散，则正态曲线越“矮胖”，故B正确；
对于C选项，在刻画回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，相关指数的值越大，说明拟合的效果越好，故C正确；
对于D选项，对于独立性检验，随机变量的值越大，判定“两变量有关系”犯错误的概率越小，故D错误.
故选：BC
10. 如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为为线段的中点，射线与单位圆交于点，则（ ）
A.
B.
C. 当面积为时，点在圆上运动
D. 点的坐标为
【答案】ABD
【解析】由已知，得，则，依题意为的中点，则，故A正确；
由题意，得，，
则，，
所以，
故B正确；
由题意可得，，因为的中点，
则，其中，
因
故，故D正确；
由，则，，
设，则，将两式平方相加得，
即，
即点在园上运动，故C错误.
故选：ABD
11. 有个编号分别为的盒子，1号盒子中有1个白球和2个黑球，其余盒子中均有2个白球和2个黑球.现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；；以此类推，记“从号盒子取出的球是白球”为事件，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】对于A，，所以A错误；
对于B，，
所以，所以B正确；
对于C，因为，，
所以，所以C正确，
对于D，由题意可得，，
，
所以，
所以数列是以为公比，为首项的等比数列，
所以，所以，
所以，则，所以D正确.
故选：BCD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 边长为2的正方形中，分别为的中点，则______.
【答案】4
【解析】，，
所以.
故答案为：4.
13. 2024年3月14日是第十九届世界肾脏日.某社区服务站将从5位志愿者中选3人到两个不同的社区宣传这届肾脏日的主题：“全民肾脏健康”，其中1人去社区,2人去B社区,则不同的分配方案有__________种（用数字作答）.
【答案】30
【解析】由题意，去社区的有5种分法，去社区的有种，
由分步乘法计数原理得不同的分配方案为种.
故答案：
14. 已知对任意恒成立，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】令，，则，
由题意可知对任意恒成立，且，
若，令，
则，
所以在上递增，
所以，
即对任意恒成立，
则在上递增，可得
若，则，故存在，使得任意,
总有，故在上为减函数，
故任意，总有,
这与题设矛盾，
综上，当符合题意，
所以实数的取值范围为.故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知分别为三个内角的对边，且.
（1）求；
（2）若边的中线，且面积为，求的值.
解：（1），
由正弦定理得，
即，
即，又，
所以，即，，
（2）依题意，得，两边平方得，
而，
代入得，得到(∗)；
又因为，，化简得到(∗∗)；
(∗)与(∗∗)联立得到，，
又，即，所以，
则，.
16. 2024年3月28日，小米集团在北京举行主题为“向前”小米汽车上市发布会，正式发布小米SU7.在发布会上，小米集团创始人､董事长兼CEO雷军表示：“这是小米SU7第一次正式亮相，这个时代的梦想之车必须要有最先进的智能科技和最出色的驾驶质感”.小米汽车首款产品的推出引起了购车者的热议，为了了解购车者对该款汽车的购买意愿与年龄是否具有相关性，在某购车市场随机抽取了100名中青年购车意向者进行调查，现定义小于45周岁的为青年，大于等于45周岁小于60周岁的为中年，所得数据统计如下表所示：
（1）请根据小概率值的独立性检验，分析购车意向者对小米SU7的购买意愿与年龄段是否有关；
（2）在以上随机抽取不愿购买的调查者中，按年龄比例分层抽样抽取8名，然后在被抽取的8名中再随机抽取5名进行面对面访谈.设面对面访谈中的青年人数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望.（参考公式：，其中.）
解：（1）零假设为：意向者对该款汽车的购买意愿与年龄段无关.
根据表中数据可得
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为意向者对该款汽车的购买意愿与年龄段有关.
（2）按性别比例分层抽样抽取8名调查者中，有青年3名，中年5名，
若在被抽取的8名中再随机抽取5名，则
故随机变量的分布列
故随机变量的数学期望为.
17. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为正方形，且PA⊥AB,E为线段的中点,为线段上的动点，BF=λBC0≤λ≤1.
（1）证明：；
（2）求实数值，使得平面与平面所成锐二面角的平面角的正弦值最小.
解：（1）因为且PA⊥AB,E为线段的中点，
所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以；
（2）因为平面，平面，则，
又，，面，所以平面，
因为平面，则平面平面ABCD,PA⊥AB，
平面平面，平面，
所以平面，
如图分别以所在的直线为轴，
不妨设，
则B1,0,0，C1,1,0，D0,1,0，P0,0,1，E12,0,12，A0,0,0
BF=λBC0≤λ≤1，设Fx,y,z，BF=x-1,y,z，BC=0,1,0，
则x-1,y,z=λ0,1,0，解得F1,λ,0，
设平面的法向量为n1=x1,y1,z1，AE=12,0,12,AF=1,λ,0，
则，
所以12x1+12z1=0x1+λy1=0，取，则，即n1=λ,-1,-λ，
设平面的法向量为n2=a,b,c，DC=1,0,0，PD=0,1,-1，
则DC⋅n2=a=0PD⋅n2=b-c=0，取n2=0,1,1，
设平面与平面所成锐二面角的平面角为，
则csα=n1⋅n2n1⋅n2=-1-λ1+2λ22=221+λ1+2λ2，
所以csα=22(1+λ)21+2λ2=2212+2λ+122λ2+1，
令t=12+2λ∈12,52，则，
所以csα=2212+2λ+122λ2+1=2212+t212t-142+1
=2212+t12t2-12t+98=2212+112t+98t-12，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以当时，即时，csαmax=32，则(sinα)min=12.
18. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.由于技术原因，每次传输信号的准确率为，即发送1时，收到1的概率为0.9，收到0的概率为0.1；发送0时，收到0的概率为0.9，收到1的概率为0.1,现进行多节点信号传输，由信号源发送信号至节点1，节点1把收到的信号重新发送至节点2，节点2再把收到的信号重新发送至节点3，以此类推，最终发送至节点.
（1）若信号源发出信号1，求节点2收到信号1的概率；
（2）为确保信号传输的有效性，要求节点收到信号的准确率不低于，求的最大值.参考数据：.
解：（1）记“节点收到信号1”，“节点收到信号”，
则，
且.
，
所以节点2收到信号1的概率为.
（2）不妨计算信号源发出信号1，求节点收到信号1的概率：
记，则，
则，
即，
构造得，又，
所以，
即节点收到信号1的概率为.
由，得，
两边取以10为底的对数，，
所以，即的最大值为7.
19. 已知函数.
（1）讨论函数的单调区间与极值；
（2）若且恒成立，求的最大值；
（3）在（2）的条件下，且取得最大值时，设，且函数有两个零点，求实数的取值范围，并证明：.
解：（1）
当时，f'x≥0恒成立，在0,+∞递增，无极值；
当时，f'x>0得；f'x