2024-2025学年浙江省湖州市高二数学下学期6月期末调研测试试卷（附答案）

这是一份2024-2025学年浙江省湖州市高二数学下学期6月期末调研测试试卷（附答案），共18页。试卷主要包含了 在中，“”是“”的， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答.
2.本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设向量，如果与共线且方向相同，则的值为（）
A. B. C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由两向量共线列方程求出的值，再由两向量方向相同确定的值》
【详解】因为，且与共线，
所以，得，
因与方向相同，所以.
故选：B
2. 若复数（为虚数单位），则（）
A. 0B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据复数的代数运算化简复数再求模即可.
【详解】,
所以,
所以.
故选：D.
3. 在中，“”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合余弦函数的单调性即可判断.
【详解】因为是三角形的内角，且，
所以，
因为在上单调递减，所以，故充分性成立；
反之，在上单调递减，，
若，则，故必要性成立，
所以在中，“”是“”的充要条件，
故选：C.
4. 的展开式中常数项的值为，记展开式的二项式系数和为，系数和为，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用展开式的通项公式求出常数项，并求值，再由二项式系数和是，而各项系数和是用赋值变量得到，从而解得结果.
【详解】由的展开式中常数项是第四项即：，解得，
所以的展开式系数和为，即，
而的展开式二项式系数和为，即，
所以，
故选：A.
5. 若函数为偶函数，则实数a的值为（）
A. B. 0C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据偶函数满足的关系即可化简求解.
【详解】的定义域为，，
由于为偶函数，故，即，
故，解得
故选：A
6. 已知随机变量满足，且，则下列说法正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】因为，可判断A；因为可求出，由方差和标准差的性质，可判断B、C、D.
【详解】因为随机变量，满足，且，所以
对于A，，所以A不正确；
对于B，，，
，所以B不正确；
对于C，，，
，所以C不正确；
根据,
由,
则，，
故选：D.
7. 商家为了解某品牌电风扇的月销售量（台）与月平均气温之间的关系，随机统计了某4个月该品牌电风扇的月销售量与当月平均气温，其数据如下表；
由表中数据算出线性回归方程中的，据此估计平均气温为的那个月，该品牌电风扇的销售量约为（）台.
A. 63B. 61C. 59D. 57
【答案】A
【解析】
【分析】根据表格中的数据，求得的值，将代入回归方程，求得的值，得出回归直线方程，代入时，即可求解.
【详解】根据表格中的数据，可得，
又由点在回归方程上，其中，
所以，解得，即，
当时，，即估计平均气温为的那个月，该品牌电风扇的销售量约为件.
故选：A.
8. 若曲线在点处的切线方程为，则的最大值为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据导数的几何意义得到，然后构造函数，求导，根据导函数分析单调性得到，即可得到的最大值.
【详解】由题意得，所以，
，
将代入中得，
所以，
，
令，则，
令得，令得，
所以在上单调递增，上单调递减，
所以，即的最大值为.
故选：C.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（）
A. 已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数越接近于1
B. 正态曲线当一定时，越小，正态曲线越“瘦高”；越大，正态曲线越“矮胖”
C. 在刻画回归模型的拟合效果时，决定系数的值越大，说明拟合的效果越好
D. 对于独立性检验，随机变量的值越大，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
【答案】BC
【解析】
【分析】直接利用独立性检验和变量间的关系、回归直线的相关系数、正态分布曲线的特点，对选项逐一判断即可.
【详解】对于A选项，两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，故A错误；
对于B选项，正态曲线中，当一定时，越小，总体分布越集中，则正态曲线越“瘦高”；越大，总体分布越分散，则正态曲线越“矮胖”，故B正确；
对于C选项，在刻画回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，相关指数的值越大，说明拟合的效果越好，故C正确；
对于D选项，对于独立性检验，随机变量的值越大，判定“两变量有关系”犯错误的概率越小，故D错误.
故选：BC
10. 如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为为线段的中点，射线与单位圆交于点，则（）
A.
B.
C. 当面积为时，点在圆上运动
D. 点的坐标为
【答案】ABD
【解析】
【分析】结合已知即可判断A与B选项，再利用任意角的三角函数和三角形的面积公式，积化和差公式，即可判断.
【详解】由已知，得，则，依题意为的中点，则，故A正确；
由题意，得，，
则，，
所以，故B正确；
由题意可得，，因为的中点，则，其中，
因
故，故D正确；
由，则，，
设，则，将两式平方相加得，即，即点在园上运动，故C错误.
故选：ABD
11. 有个编号分别为的盒子，1号盒子中有1个白球和2个黑球，其余盒子中均有2个白球和2个黑球.现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；；以此类推，记“从号盒子取出的球是白球”为事件，则（）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，根据独立事件的概率公式求解判断，对于B，根据条件概率公式求解判断，对于C，根据和事件的概率公式求解判断，对于D，由题意可得，，然后求出比较即可.
【详解】对于A，，所以A错误；
对于B，，
所以，所以B正确；
对于C，因为，，
所以，所以C正确，
对于D，由题意可得，，
，
所以，
所以数列是以为公比，为首项的等比数列，
所以，所以，
所以，则，所以D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题D选项解决的关键是，利用全概率公式得到，从而利用构造法求得，由此得解.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 边长为2的正方形中，分别为的中点，则__________.
【答案】4
【解析】
【分析】利用线性运算将转化为，，然后利用数量积的运算律计算即可.
【详解】
，，
所以.
故答案为：4.
13. 2024年3月14日是第十九届世界肾脏日.某社区服务站将从5位志愿者中选3人到两个不同的社区宣传这届肾脏日的主题：“全民肾脏健康”，其中1人去社区，2人去B社区，则不同的分配方案有__________种（用数字作答）.
【答案】30
【解析】
【分析】直接利用分步乘法计数原理计算即可.
【详解】由题意，去社区的有5种分法，去社区的有种，由分步乘法计数原理得不同的分配方案为种.
故答案：
14. 已知对任意恒成立，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】令，，则转化为对任意恒成立，而，然后转化为，求出的范围，再检验即可.
【详解】令，，则，
由题意可知对任意恒成立，且，
可得，得，
若，令，
则，
所以在上递增，
所以，
即对任意恒成立，
则在上递增，可得
综上，当符合题意，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是将问题转化为，然后检验即可，考查数学转化思想，属于较难题.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知分别为三个内角的对边，且.
（1）求；
（2）若边的中线，且面积为，求的值.
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】（1）由正弦定理边角互化，后用三角恒等变换计算即可；
（2）运用中线长的向量表达式，两边平方，后将向量转化为三角形的边角，得到，再用余弦定理得到，最后用面积公式得到，
求出、和，进而求出即可.
【小问1详解】
，
由正弦定理得，
即，
即，又，
所以，即，，
.
【小问2详解】
依题意，得，两边平方得，
而，
代入得，得到(∗)；
又因为，，化简得到(∗∗)；
(∗)与(∗∗)联立得到，，
又，即，所以，
则，.
16. 2024年3月28日，小米集团在北京举行主题为“向前”的小米汽车上市发布会，正式发布小米SU7.在发布会上，小米集团创始人､董事长兼CEO雷军表示：“这是小米SU7第一次正式亮相，这个时代的梦想之车必须要有最先进的智能科技和最出色的驾驶质感”.小米汽车首款产品的推出引起了购车者的热议，为了了解购车者对该款汽车的购买意愿与年龄是否具有相关性，在某购车市场随机抽取了100名中青年购车意向者进行调查，现定义小于45周岁的为青年，大于等于45周岁小于60周岁的为中年，所得数据统计如下表所示：
（1）请根据小概率值的独立性检验，分析购车意向者对小米SU7的购买意愿与年龄段是否有关；
（2）在以上随机抽取不愿购买的调查者中，按年龄比例分层抽样抽取8名，然后在被抽取的8名中再随机抽取5名进行面对面访谈.设面对面访谈中的青年人数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望.（参考公式：，其中.）
【答案】（1）认为意向者对该款汽车的购买意愿与年龄段有关
（2）分布列见解析，数学期望为.
【解析】
【分析】（1）利用参考公式计算后判断即可.
（2）利用比例分层抽样青年3名，中年5名，列出分布列，计算期望值即可.
【小问1详解】
零假设为：意向者对该款汽车的购买意愿与年龄段无关.
根据表中数据可得
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为意向者对该款汽车的购买意愿与年龄段有关.
【小问2详解】
按性别比例分层抽样抽取8名调查者中，有青年3名，中年5名，
若在被抽取的8名中再随机抽取5名，则
故随机变量的分布列
故随机变量的数学期望为.
17. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为正方形，且为线段的中点，为线段上的动点，.
（1）证明：；
（2）求实数的值，使得平面与平面所成锐二面角的平面角的正弦值最小.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意可得，由面面垂直得到平面，即可得证；
（2）首先证明平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【小问1详解】
因为且为线段的中点，
所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以；
【小问2详解】
因为平面，平面，则，
又，，面，所以平面，
因为平面，则平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
如图分别以所在的直线为轴，
不妨设，则，，，，，
，设，，，
则，解得，
设平面的法向量为，，
则，
所以，取，则，即，
设平面的法向量为，，，
则，取，
设平面与平面所成锐二面角的平面角为，
则，
所以，
令，则，
所以
，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以当时，即时，，则.
18. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.由于技术原因，每次传输信号的准确率为，即发送1时，收到1的概率为0.9，收到0的概率为0.1；发送0时，收到0的概率为0.9，收到1的概率为0.1,现进行多节点信号传输，由信号源发送信号至节点1，节点1把收到的信号重新发送至节点2，节点2再把收到的信号重新发送至节点3，以此类推，最终发送至节点.
（1）若信号源发出信号1，求节点2收到信号1的概率；
（2）为确保信号传输的有效性，要求节点收到信号的准确率不低于，求的最大值.参考数据：.
【答案】（1）0.82
（2）7
【解析】
分析】（1）记“节点收到信号1”，“节点收到信号”，得到，结合，即可求解；
（2）根据题意，节点收到信号1的概率，则，求得，结合对数的运算，即可求解.
【小问1详解】
解：记“节点收到信号1”，“节点收到信号”，
则，
且.
，
所以节点2收到信号1的概率为.
【小问2详解】
解：不妨计算信号源发出信号1，求节点收到信号1的概率：
记，则，
则，
即，
构造得，又，
所以，
即节点收到信号1的概率为.
由，得，
两边取以10为底的对数，，
所以，即的最大值为7.
19. 已知函数.
（1）讨论函数的单调区间与极值；
（2）若且恒成立，求的最大值；
（3）在（2）的条件下，且取得最大值时，设，且函数有两个零点，求实数的取值范围，并证明：.
【答案】（1）答案见解析
（2）.
（3），证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，讨论函数的单调区间与极值；
（2）当时，由（1）得，即可求的最大值；
（3）由（2）得，故，进而得到，结合整理得，令，再构造函数，证其单调性即可证得结果.
【小问1详解】
当时，恒成立，在递增，无极值；
当时，得；得，
所以在递增，在递增，
故，无极大值；
【小问2详解】
当时，由（1）知.
由得，即，
故，当且仅当时成立，
即.
小问3详解】
由（2）知，当时，
令，则有两个零点，当且仅当.
有两个零点等价于的两个零点
即
由（*）式得
要证，即证，即证
即证
即证（令），即证
令在递增，故
，即成立，故原不等式成立，证毕
【点睛】关键点点睛:对参数分类讨论，求得函数取最值时满足条件;将双变量问题通过换元法转化为一个变量的函数问题，借助导数研究其最值，从而证得不等式.
平均气温
27
29
31
33
月销售量（台）
24
33
40
55
年龄段
购车意愿
愿意购买SU7
不愿购买SU7
青年
45
15
60
中年
15
25
40
合计
60
40
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
0
1
2
3