黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023届高三第二次模拟考试数学试题（含答案）

哈尔滨市第九中学2023届高三第二次模拟考试

数学试卷

（本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、学生代号填写清楚。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在稿纸、试题卷上答题无效。

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A．  B．  C．  D．

2．命题“，”是真命题的充要条件是（    ）

A．  B．  C．  D．

3．已知方程在复数范围内有一根为，其中i为虚数单位，则复数在复平面上对应的点在（    ）

A．第一象限  B．第二象限  C．第三象限  D．第四象限

4．已知随机变量X，Y分别满足，，且期望，又，则（    ）

A．  B．  C．  D．

5．密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫作1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“”，578密位写成“5-78”．若，则角α可取的值用密位制表示正确的是（    ）

A．  B．  C．  D．

6．定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作，比如：．已知满足，则p可以是（    ）

A．23   B．31   C．32   D．19

7．已知双曲线C：的左焦点为，直线与双曲线C交于P，Q两点，且，，则当取得最小值时，双曲线的离心率为（    ）

A．3  B．  C．2  D．

8．已知a，，，，则（    ）

A．  B．  C．  D．

二．多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．已知圆C：的圆心坐标为，则（    ）

A．，         B．圆C的半径为2

C．圆C上的点到直线距离的最小值为   D．圆C上的点到直线距离的最小值为

10．下列说法正确的是（    ）

A．若事件M，N互斥，，，则

B．若事件M，N相互独立，，，则

C．若，，，则

D．若， ，，则

11．已知函数，且，的最小正周期T，，则（    ）

A．  B．  C．为奇函数  D．关于对称

12．数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD的棱长为4，则下列结论正确的是（    ）

A．勒洛四面体最大的截面是正三角形

B．若P，Q是勒洛四面体ABCD表面上的任意两点，则PQ的最大值为4

C．勒洛四面体ABCD的体积是

D．勒洛四面体ABCD内切球的半径是

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

三，填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题纸指定位置上。

13．已知等比数列中，，，则________

14．设平面向量，的夹角为，且，则在上的投影向量是________

15．一组数据为148，150，151，153，153，154，155，156，156，158，163，165，则这组数据的第75百分位数是________

16．“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容．例如，用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如下图）．

步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；

步骤2：把纸片折叠，使圆周正好经过点F；

步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；

步骤4：不停重复步骤2和步骤3，就能得到越来越多的折痕．

圆面上所有这些折痕围成一条曲线，记为C．

现有半径为4的圆形纸片，定点F到圆心E的距离为2，按上述方法折纸，在C上任取一点M，O为线段EF的中点，则的最小值为________

四．解答题：本题共6小题，满分70分（17题10分，18题至22题12分）。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知

（1）求角C；

（2）若，D为BC中点，，求AD的长．

18．已知数列的首项，且满足．

（1）求证：数列为等比数列；

（2）设数列满足

若对一切正整数k均成立，求实数m的最小值．

19．为调查某地区植被覆盖面积x（单位：公顷）和野生动物数量y的关系，某研究小组将该地区等面积划分为200个区块，从中随机抽取20个区块，得到样本数据，部分数据如下：

经计算得：，，，．

（1）利用最小二乘法估计建立y关于x的线性回归方程；

（2）该小组又利用这组数据建立了x关于y的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一坐标系xOy下，横坐标x，纵坐标y的意义与植被覆盖面积x和野生动物数量y一致，

（i）求这两条直线的公共点坐标.

（ii）比较与的斜率大小，并证明；附：y关于x的线性回归方程中，

，，

20．已知函数

（1）求函数在点处的切线方程；

（2）证明：函数在上有且只有一个零点．

21．在直角梯形中，，，，直角梯形绕直角边旋转一周得到如下图的圆台，已知点P，Q分别在线段，BC上，二面角的大小为θ．

（1）若，，，证明：平面；

（2）若，点P为上的动点，点Q为BC的中点，求PQ与平面所成最大角的正切值，并求此时二面角的余弦值．

22．已知椭圆C：，设过点的直线l交椭圆C于M，N两点，交直线于点P，点E为直线上不同于点A的任意一点．

（1）若，求b的取值范围；

（2）若，记直线EM，EN，EP的斜率分别为，，问是否存在，，的某种排列，，（其中），使得，，成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明；若不存在，说明理由．

哈尔滨市第九中学2023届高三第二次模拟考试

数学试卷答案

一．单选题DBBCBADA

二．多选题9．AC   10．ABC   11．BD   12．BD

三．填空题

13．8      14．      15．157       16．

四．解答题

17．（1）∴∴    2分

∵          3分

由正弦定理得∴，∴

∴        4分，解得        5分

（2），，∴       7分

由正弦定理得          8分，

在中，由余弦定理得，解得     10分

18．（1）∵，∴，∴        2分

又∵，∴，

所以数列是首项，公比均为的等比数列      5分

（2）由（1）知，       8分

∴

           10分

∵单调递增，时，，

∴，∴           12分

19．（1），        2分；     4分，          5分

故回归方程为           6分

（2）设，的斜率分别为，，

x关于y的线性回归方程为，         7分

，         8分

（i）注意到两条直线都过，且（注：此条件在（2）中哪个位置体现均给分），

故公共点只有一个      9分；

（ii）∵，，，，∴        11分

若，则，即恒成立，代入表格一组数据得：

，矛盾，故           12分

20．（1）因为         1分

，             3分

所求切线方程为：，即        5分

（2）因为，所以分，，，

所以，所以           10分，

所以在上是减函数，且           11分

所以在上有且仅有一个零点             12分

21．（1）解法一：因为，所以，所以，

又，AB，面ABC，所以面ABC，

又面ABC，所以，                   1分

如图，以A为原点，AB，AQ，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由于，所以，

则，，        2分

又，所以，则

，所以          3分

又y轴面，故为平面的法向量

，又面         4分，

所以面            5分

解法二：因为，所以，所以，由于

，，所以，       1分，

取AC上一点M，使，∵，

连接QM，MP，

∴，又∵面，面∴面       2分

过点作的平行线交AC于点N，

在中，，∴，∵∴

又∵面，面∴面             4分

又∵，∴面面，∵面

∴面        5分

（2）因为，所以，所以

如图，以A为原点，AB，AQ，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，设

              6分

又x轴面，所以面的法向量

设PQ与面的成角为，

则        7分

所以当时，，即           8分

设此时平面APQ的法向量，，

∴          10分，

            11分，

因为二面角为锐角，即二面角的余弦值为，

所以PQ与面所成最大角的正切值为，

此时二面角的余弦值为          12分

22．（1）设点，其中，，则

        2分

由，得         4分

∵，，∴，，∴即

只需，∴               6分

（2），，或，，成等差数列．证明如下：             7分

若，则C：，设点，

①若直线l的斜率为0，则点，不妨令点，，则，，，

此时，，的任意排列均不构成等比数列，，，或，，成等差数列．       8分

②若直线l的斜率不为0，

设直线l：，，，易知点．

由得∴，        10分

因为，，，

所以

∴，，或，，成等差数列．

综上，，或，，成等差数列         12分