重庆市万州第三中学等多校联考2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份重庆市万州第三中学等多校联考2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题（原卷版+解析版），共21页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容， 已知是关于的方程的一个根，则， 下列结论正确是等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章到第八章第三节.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量满足，则（ ）
A B. 1C. D. 2
2. 复数的实部与虚部之和为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，在复平面内，复数对应的向量分别为，则（ ）

A. 3B. 4C. 5D. 6
4. 如图，是一个平面图形的直观图，其中是直角三角形，，则原图形的面积是（ ）
A. 4B. C. 8D.
5. 已知是关于的方程的一个根，则（ ）
A. B. C. 1D. 9
6. 已知向量，若向量的夹角是锐角，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 记的内角的对边分别为，已知为锐角，且，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
8. 设正四棱台上、下底面的边长分别为，高为，若，则正四棱台的体积为（ ）
A B. C. 140D. 142
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列结论正确是（ ）
A. 若的内角满足，则一定是钝角三角形
B. 绕直角三角形一条边所在直线旋转一周所形成的几何体是圆锥
C. 若是纯虚数，则
D. 若向量，则向量在向量上的投影向量是
10. “赵爽弦图”是中国古代数学的经典成果，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图，某人仿照“赵爽弦图”，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中分别是线段上靠近的三等分点，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 奔驰定理：已知是内一点，的面积分别为，则.设是内一点，的三个内角分别为，若，且为的垂心，则（ ）
A. B.
C. D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量满足，则______.
13. 已知复数，复数满足在复平面内对应点的集合为图形，则图形的面积为__________.
14. 已知某圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则该圆锥的外接球的表面积为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15 已知复数.
（1）若是实数，求的值；
（2）若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围；
（3）若，求的值.
16. 如图所示的几何体的上部是一个正四棱锥，下部是一个正方体，其中正四棱锥的高为是等边三角形，.
（1）求该几何体的表面积；
（2）求该几何体的体积.
17. 在锐角中，角的对边分别为，已知.
（1）求角；
（2）若的面积为，求的取值范围.
18. 如图，在正方形中，是线段的中点，在线段上（不包含端点），线段，相交于点.

（1）若是线段的中点，证明：.
（2）若，求的值.
（3）若，求的值.
19. 在中，角的对边分别是，且.
（1）证明：是等腰三角形.
（2）若（异于两点）在线段上，且点靠近点，求的取值范围.
重庆高一数学考试
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章到第八章第三节.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量满足，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据共线向量坐标运算列式求解即可.
【详解】因为向量满足，所以，解得.
故选：A
2. 复数的实部与虚部之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用复数的除法运算化简，再根据实部和虚部的定义即可求出.
【详解】因为，
则该复数的实部为，虚部为，
所以该复数的实部与虚部之和为.
故选：B
3. 如图，在复平面内，复数对应的向量分别为，则（ ）

A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的几何意义求解即可.
详解】由图可得，所以，所以.
故选：C
4. 如图，是一个平面图形的直观图，其中是直角三角形，，则原图形的面积是（ ）
A. 4B. C. 8D.
【答案】B
【解析】
【分析】还原，求出其边长即可求解直角三角形的面积.
【详解】如图，的直观图是，则，
则的面积为.
故选：B
5. 已知是关于的方程的一个根，则（ ）
A. B. C. 1D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据实系数一元二次方程的根的特征求另外一个根，再根据韦达定理，即可求解.
【详解】由题意可得关于的方程的另一个根为，
则，解得，则.
故选：D
6. 已知向量，若向量夹角是锐角，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量数量积的坐标运算求解，再根据向量的夹角是锐角与数量积与向量共线的关系列式求解即可.
【详解】因为，所以，
因为向量，的夹角是锐角，所以
解得且，所以的取值范围是.
故选：C.
7. 记的内角的对边分别为，已知为锐角，且，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由正弦定理化边为角化简得，进而求得，根据余弦定理求得，即可求解周长.
【详解】因为，所以，
又，则，又为锐角，所以.
由，得，解得，
则的周长为.
故选：B
8. 设正四棱台上、下底面的边长分别为，高为，若，则正四棱台的体积为（ ）
A. B. C. 140D. 142
【答案】A
【解析】
【分析】设正方形的中心为，正方形的中心为，再根据几何关系求解，进而可得，结合正四棱台的体积公式求解即可.
【详解】设正方形的中心为，正方形的中心为，在直角梯形中，，
由，得，解得（负值已舍去），
从而，
所以正四棱台的体积.

故选：A
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 若的内角满足，则一定是钝角三角形
B. 绕直角三角形一条边所在直线旋转一周所形成的几何体是圆锥
C. 若是纯虚数，则
D. 若向量，则向量在向量上的投影向量是
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用正弦定理角化边，再用余弦定理判断A；利用圆锥的定义判断B；利用纯虚数的定义判断C；求出投影向量判断D.
【详解】对于A，设的内角所对的边分别为，由，
得，由余弦定理得，是钝角，是钝角三角形，A正确；
对于B，绕直角三角形的斜边所在直线旋转一周所形成的几何体是共底面的两个圆锥，B错误；
对于C，由是纯虚数，得，解得，C正确；
对于D，向量在向量上的投影向量是， D正确.
故选：ACD
10. “赵爽弦图”是中国古代数学的经典成果，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图，某人仿照“赵爽弦图”，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中分别是线段上靠近的三等分点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】运用向量运算加减法则，结合基本定理得解.
【详解】由题意可得.
因为是平行四边形，所以，所以，
所以，则A正确，B错误.
因为，
所以，则C正确，D错误.
故选：AC.
11. 奔驰定理：已知是内一点，的面积分别为，则.设是内一点，的三个内角分别为，若，且为的垂心，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据垂心性质判断AB，结合垂心性质及数量积的定义可得，结合已知根据奔驰定理得，根据面积公式可得，设，由及两角和的正切公式列方程求得，即可得解.
【详解】因为为的垂心，所以，A正确，B错误.
由上知，
同理，.
因为，所以，
所以，同理，，
所以.
因为，所以.
设，
因为，所以，
所以，解得，所以，C正确，D错误.
故选：AC
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量满足，则______.
【答案】1
【解析】
【分析】利用向量垂直的坐标形式列式即可求解.
【详解】因为向量满足，
所以，解得.
故答案为：1
13. 已知复数，复数满足在复平面内对应的点的集合为图形，则图形的面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的几何意义求解即可.
【详解】因为，所以，
则在复平面内对应的点的集合是以点为圆心，5为半径的圆，图形的面积为.
故答案为：
14. 已知某圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则该圆锥的外接球的表面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据外接球的性质，求外接球的半径，再列式求解.
【详解】设该圆锥的高为，外接球的半径为，则.
由，解得，
所以该圆锥的外接球的表面积.
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知复数.
（1）若是实数，求的值；
（2）若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围；
（3）若，求的值.
【答案】（1）.
（2）.
（3）或.
【解析】
【分析】（1）先算出表达式，实数虚部是，让虚部对应式子为求.
（2）已知形式，按条件列不等式组，分别解不等式，取交集得范围.
（3）由模的值列等式，两边平方去掉根号，展开合并得方程，因式分解求解.
【小问1详解】
，
因为是实数，所以，解得.
【小问2详解】
因为，所以
解得，即的取值范围为.
【小问3详解】
因为，所以，
化简得，
解得或.
16. 如图所示的几何体的上部是一个正四棱锥，下部是一个正方体，其中正四棱锥的高为是等边三角形，.
（1）求该几何体的表面积；
（2）求该几何体的体积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设是的中点，连接，进而可证明，从而可得计算正四棱锥的侧面积与正方体的五个面积求解；
（2）根据锥体与正方体体积求解即可.
【小问1详解】
设是的中点，连接.
因为是边长为6的正三角形，
所以，且，
所以该几何体的表面积.
【小问2详解】
连接，设交点为，连接，则是四棱锥的高，
则，所以.
又正方体的体积为，
所以该几何体体积.
17. 在锐角中，角的对边分别为，已知.
（1）求角；
（2）若的面积为，求的取值范围.
【答案】（1）.
（2）.
【解析】
【分析】（1）化简结合余弦定理求解即可
（2）根据面积与正弦定理可得，结合可得，再根据三角关系可得，进而可得取值范围.
【小问1详解】
因为，
所以，
整理得，
所以.
因为，所以.
【小问2详解】
因为的面积，
所以.
又，所以，则.
又因所以，
所以，
故，即的取值范围是.
18. 如图，在正方形中，是线段的中点，在线段上（不包含端点），线段，相交于点.

（1）若是线段的中点，证明：.
（2）若，求的值.
（3）若，求的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）1 （3）.
【解析】
【分析】（1）利用基底表示向量和，再求数量积；
（2）首先设，再代入数量积的运算，即可求解；
（3）利用基底表示向量，再根据三点共线，即可求解.
【小问1详解】
证明：因为分别是线段的中点，所以，
则，
所以
由正方形的性质可知，则
即，故.
【小问2详解】
设，则.
由（1）可知，则.
因为，所以，
解得，则.
【小问3详解】
设，则.
因为，所以.
因为是线段的中点，所以，所以.
因为三点共线，所以，解得，
则，故.
19. 在中，角的对边分别是，且.
（1）证明：等腰三角形.
（2）若（异于两点）在线段上，且点靠近点，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）首先根据正弦定理边化为角，再结合三角恒等变换，即可证明；
（2）首先根据，求角，再根据（1）的结果，利用正弦定理，用三角函数表示边，再根据三角函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
证明：因为，
所以，
所以，
所以.
因为，所以，
所以，所以，即是等腰三角形.
【小问2详解】
因为，所以，即，
解得舍去.
因为，所以.
由（1）可知，所以.
设，则.
在中，由正弦定理可得，
则.
在中，由正弦定理可得，
则.
因为，所以.
因为，所以，所以，
所以，即的取值范围为.