浙江省台州市路桥区2024-2025学年上学期八年级数学期末试卷（原卷版+解析版）

这是一份浙江省台州市路桥区2024-2025学年上学期八年级数学期末试卷（原卷版+解析版），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（满分：120分 考试时间：120分钟）
温馨提示：本卷分试题卷和答题卷两部分，答案一律做在答题卷上，做在试题卷上无效．
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1. 壮丽祖国，一山一水皆是画卷；秀美江山，一草一木皆是诗篇，一个符号一座城．下列四个省份的徽标中，是轴对称图形的是（ ）
A B. C. D.
2. “纳米机器人”是机器人工程学的一种新兴科技，我国首创的一款溶栓纳米机器人的体积极小，长度约为，将数据0.00000117用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算正确是（ ）．
A B. C. D.
4. 工人师傅准备把一根长为的木条截成三段，围成一个等腰三角形支架，若第一段木条的长为，则第二段木条的长是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列式子从左到右运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图1是路桥博物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图2所示，为了测量其底部内径，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，量出两点之间的距离，即可得到的长度，其依据的数学基本事实是（ ）
A. 三边分别相等的两个三角形全等
B. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
C. 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
D. 两点之间，线段最短
7. 如图，正八边形和正六边形的一边重合，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8. 四张全等的梯形硬纸板可拼成平行四边形（如图1），也可拼成正方形（如图2），根据两个图形中阴影部分面积的关系，可以得到一个关于的等式为（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，是的边上的一点，点关于的对称点恰好落在上，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在中，为上一点，，为上一点，，若要求和的周长之差，则只需要知道（ ）
A. 的值B. 的值C. 的值D. 的值
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11. 因式分解：______．
12. 使分式等于0的的值是______．
13. 如图中的两个三角形全等，则的度数为______．
14. 如图，在中，，，是的平分线，若的面积为12，则的长为______．
15. 如图，在中，，，垂足为点，若，，则和的面积之比为______．

16. 如图，在中，，，，是的中点，是上一动点，若以为边在其右侧作等边三角形，连接，则的最小值为______．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
18. 先化简，再求值：，其中．
19. 如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上．

（1）点关于轴对称的点的坐标为______；
（2）作出与关于轴对称的．
20. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）求证：．
21. 观察下列两位数相乘的运算规律：
，
，
，
……
设其中一个两位数的十位上的数字为，另一个两位数的十位上的数字为（均为小于10的正整数）．
（1）请用含的等式表示上述运算规律：______；
（2）请证明上述运算规律．
22. 尺规作图问题：
已知：，求作：的平分线．
小聪的作法：如图1，以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，再以点为圆心，大于长为半径画弧，交于点．连接，交于点，画射线，则射线即为所求．
小慧的作法：如图2，以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，在上任取一点，再以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，交于点，画射线，则射线即为所求．
老师的观点：小聪的作法是正确的，小慧的作法不一定是正确的．
（1）如图1，证明平分；
（2）如图2，说明小慧的作法中可能存在的问题．
23. 某农场将800千克的葡萄平均分给甲、乙两家水果店销售，甲店不分类直接销售，乙店分为小、中、大果进行销售，其中小果免费品尝，大果的售价是中果的倍，两家水果店的销售信息如表所示．已知用60元钱在乙店购买中果的质量比购买大果的质量多0.5千克，当甲、乙两家水果店的葡萄全部售完时，乙店的总售价比甲店多260元．
（1）乙店大果和中果的售价各是多少元／千克？
（2）求乙店小果的质量；
（3）若甲店先以元／千克的批发价售卖千克的葡萄，再以元／千克的零售价卖完剩下的葡萄，总售价恰好与乙店相等，若均为正整数，求的值．
24. 【概念呈现】
有一组角互补，另一组角相等，且相等两个角对边也相等的两个三角形称为“和合”三角形．如图1，在与中，若，，，则与是“和合”三角形．

【性质探究】
（1）如图2，线段交于点，，，容易知道与是“和合”三角形．爱思考的小涛发现，在该组“和合”三角形中可构造出全等三角形，他的作法如下：过点作，交于点．
请证明；
【拓展应用】
（2）如图3，是等边三角形的边上的一动点，在的延长线上，，连接交于点，连接．
①若，求的度数；
②当值为多少时，与是“和合”三角形．
2024学年第一学期八年级期末试卷
数 学
（满分：120分 考试时间：120分钟）
温馨提示：本卷分试题卷和答题卷两部分，答案一律做在答题卷上，做在试题卷上无效．
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1. 壮丽祖国，一山一水皆是画卷；秀美江山，一草一木皆是诗篇，一个符号一座城．下列四个省份的徽标中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形．熟练掌握轴对称图形的概念，是解决问题的关键．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
根据轴对称图形的概念逐一判断，即得．
【详解】A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意．
故选：C．
2. “纳米机器人”是机器人工程学的一种新兴科技，我国首创的一款溶栓纳米机器人的体积极小，长度约为，将数据0.00000117用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的个数所决定．确定a与n的值是解题的关键．这里的．
【详解】解：．
故选：A．
3. 下列计算正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法运算，积的乘方运算法则逐一分析判断即可．
【详解】解：，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故C符合题意；
，故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法运算，同底数幂的除法运算，积的乘方运算，掌握基础的运算法则是解本题的关键．
4. 工人师傅准备把一根长为的木条截成三段，围成一个等腰三角形支架，若第一段木条的长为，则第二段木条的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，也考查了三角形三边的关系，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．分两种情况：当边长为的边为底边时；当边长为的边为腰长时，分别进行求解即可得到答案．
【详解】解：当边长为的边为底边时，两腰长，
此时三角形另两边长分别为，，能组成三角形；
当边长为的边为腰长时，另一腰长，
则底边长
，
不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不能组成三角形；
综上所述，三角形另边长分别为，．
故选D．
5. 下列式子从左到右运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式的性质，以及分式的加减，根据分式的性质可判断A，B，C，根据分式的加减可判断D．
【详解】解：A．，故不正确；
B．，故不正确；
C．，正确；
D．，故不正确；
故选C．
6. 如图1是路桥博物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图2所示，为了测量其底部内径，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，量出两点之间的距离，即可得到的长度，其依据的数学基本事实是（ ）
A. 三边分别相等两个三角形全等
B. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
C. 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
D. 两点之间，线段最短
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质．先根据中点的定义，得出，，再根据对顶角相等得到，从而证得即可．正确运用三角形全等的判定定理是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，设两根细木条的中点为，
点O为、的中点，
，，
由对顶角相等得，
在和中，
，
（两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等），
，
即只要量出的长度，就可以知道底部内径的长度，
故选：B．
7. 如图，正八边形和正六边形的一边重合，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正多边形的内角和公式，可得正八边形的内角、正六边形的内角，根据角的和差，可得答案．本题考查了正多边形和圆，利用正多边形的内角公式得出相应正多边形的内角是解题关键．
【详解】解：依题意，正八边形的内角，正六边形的内角，
故．
故选：B．
8. 四张全等的梯形硬纸板可拼成平行四边形（如图1），也可拼成正方形（如图2），根据两个图形中阴影部分面积的关系，可以得到一个关于的等式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式的应用，解题关键是熟练掌握平行四边形和正方形面积公式表示出阴影部分的面积．
根据平行四边形面积公式求出第一个图形的面积，根据正方形面积公式求出第二个图形阴影的面积．即可求出答案．
【详解】解：由第二个图形看出，第一个图形的高为，
面积是，
第二个图形阴影的面积是，
∵两个图形阴影部分的面积相等，
∴，
故选：A．
9. 如图，是的边上的一点，点关于的对称点恰好落在上，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形折叠．熟练掌握轴对称性质，三角形外角性质，平角性质，是解题的关键．
根据轴对称知，由三角形外角性质得，由轴对称得，由平角性质即得．
【详解】解：由轴对称知，，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
10. 如图，在中，为上一点，，为上一点，，若要求和的周长之差，则只需要知道（ ）
A. 的值B. 的值C. 的值D. 的值
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角，先在上取一点，使得，证明，则，结合的周长为，的周长为，且。列式计算化简，即可作答．
【详解】解：在上取一点，使得，
∴
∴
∴，
∵，，
∴
∵
∴
∴，
∵的周长为，的周长为，且
∴；
∴和的周长之差为的值，
故选：A．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【详解】
12. 使分式等于0的的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的值为0，即分子为0，分母不为0，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵分式等于0，
∴，
解得，
故答案为：
13. 如图中的两个三角形全等，则的度数为______．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质定理、三角形内角和定理，由全等三角形的性质可得，，再由三角形内角和定理计算即可得解．
【详解】解：如图，
∵，
∴，，
∴，
故答案为：．
14. 如图，在中，，，是的平分线，若的面积为12，则的长为______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
过点D作点于E，根据的面积求出，根据角平分线的性质定理可得．
【详解】解：过D作于E，
∵，，
∴，
∵是角平分线，，
∴．
故答案为：4．
15. 如图，在中，，，垂足为点，若，，则和的面积之比为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中线与面积的关系，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．运用等腰三角形的性质，且通过证明，，因为，再类比中线与面积的关系，推出，即可作答．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴，
∴
∴和的面积之比为
故答案为：
16. 如图，在中，，，，是的中点，是上一动点，若以为边在其右侧作等边三角形，连接，则的最小值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】此题主要考查含30度的直角三角形，熟练掌握含30度的直角三角形性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，添加辅助线段，是解题关键．
在上取点G，使，过点G作于点H，连接，则是等边三角形，由是等边三角形，证明，得， 有最小值，，得的最小值为．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∵是的中点，
∴，
在上取点G，使，过点G作于点H，连接，
则是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴（或），
∴，
∴，
∴，
当点E与点H重合时，有最小值，为，
∴的最小值为．
故答案为：．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了单项式乘多项式，多项式乘多项式等内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据单项式乘多项式的法则进行计算，即可作答．
（2）根据多项式乘多项式的法则进行计算，即可作答．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，先把除法转化为乘法，然后约分化简，再把代入计算．
【详解】解：
，
当时，
原式．
19. 如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上．

（1）点关于轴对称的点的坐标为______；
（2）作出与关于轴对称的．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答；
（2）根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”描点连线．
【小问1详解】
解：∵，
∴点关于轴对称的点的坐标为
故答案为：
【小问2详解】
解：∵，
∴，
作出与关于轴对称的．

20. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用已知条件证明三角形全等，再根据全等三角形的性质得出对应边相等．
（1）先由推出，再结合已知的另外两组相等边，根据判定定理证明；
（2）根据（1）中得到的全等三角形得出对应角相等，再利用判定定理证明，进而得到．
【小问1详解】
证明：，
，
，
在和中，
，
；
【小问2详解】
证明：
在和中
21. 观察下列两位数相乘的运算规律：
，
，
，
……
设其中一个两位数的十位上的数字为，另一个两位数的十位上的数字为（均为小于10的正整数）．
（1）请用含的等式表示上述运算规律：______；
（2）请证明上述运算规律．
【答案】（1）
（2）见详解
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘多项式，数字规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据题干的信息，得，即可作答．
（2）先运用多项式乘多项式法则展开等式左边，合并同类项，则等式的左边等于等式的右边，即可作答．
【小问1详解】
解：∵，
，
，
……
设其中一个两位数的十位上的数字为，另一个两位数的十位上的数字为
∴，
故答案为：；
小问2详解】
解：由（1）得，
故等式的左边等于等式的右边，
即，
∴此等式成立．
22. 尺规作图问题：
已知：，求作：的平分线．
小聪的作法：如图1，以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，再以点为圆心，大于长为半径画弧，交于点．连接，交于点，画射线，则射线即为所求．
小慧的作法：如图2，以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，在上任取一点，再以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，交于点，画射线，则射线即为所求．
老师的观点：小聪的作法是正确的，小慧的作法不一定是正确的．
（1）如图1，证明平分；
（2）如图2，说明小慧的作法中可能存在的问题．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】本题考查了作角平分线，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据作图过程，先证明，然后结合，，证明，然后运用证明，即可作答．
（2）认真分析题干小慧的作法，得出以点C为圆心，长为半径画弧，交于点F，可能有两个交点F，，得到的或，即可作答．
【小问1详解】
解：由作图步骤可知，，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴平分；
【小问2详解】
解：如图所示：
依题意，小慧的作法中，以点C为圆心，长为半径画弧，交于点F，可能有两个交点F，，得到的或，
故不能证明．
23. 某农场将800千克的葡萄平均分给甲、乙两家水果店销售，甲店不分类直接销售，乙店分为小、中、大果进行销售，其中小果免费品尝，大果的售价是中果的倍，两家水果店的销售信息如表所示．已知用60元钱在乙店购买中果的质量比购买大果的质量多0.5千克，当甲、乙两家水果店的葡萄全部售完时，乙店的总售价比甲店多260元．
（1）乙店大果和中果的售价各是多少元／千克？
（2）求乙店小果的质量；
（3）若甲店先以元／千克的批发价售卖千克的葡萄，再以元／千克的零售价卖完剩下的葡萄，总售价恰好与乙店相等，若均为正整数，求的值．
【答案】（1）乙店中的大果的售价为元/千克，中果的售价为元/千克；
（2）乙店小果的质量为千克；
（3）
【解析】
【分析】此题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用、二元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．
（1）设乙店中的中果的售价为元/千克，则大果的售价为元/千克，用60元钱在乙店购买中果的质量比购买大果的质量多0.5千克，据此列方程，解方程并检验即可；
（2）设乙店的大果有千克，乙店的总售价比甲店多260元．据此列方程，解方程即可；
（3）根据总售价恰好与乙店相等列方程，由均为正整数，，即可求出答案．
【小问1详解】
解：设乙店中的中果的售价为元/千克，则大果的售价为元/千克，
则，
解得
经检验，是方程的解且符合题意，
，
答；乙店中的大果的售价为元/千克，中果的售价为元/千克；
【小问2详解】
设乙店的大果有千克，
则，
解得，
∴，
答：乙店小果的质量为千克；
【小问3详解】
由题意可得，
方程可化为，
∵均为正整数，，
∴
24. 【概念呈现】
有一组角互补，另一组角相等，且相等两个角的对边也相等的两个三角形称为“和合”三角形．如图1，在与中，若，，，则与是“和合”三角形．

【性质探究】
（1）如图2，线段交于点，，，容易知道与是“和合”三角形．爱思考的小涛发现，在该组“和合”三角形中可构造出全等三角形，他的作法如下：过点作，交于点．
请证明；
【拓展应用】
（2）如图3，是等边三角形的边上的一动点，在的延长线上，，连接交于点，连接．
①若，求的度数；
②当的值为多少时，与是“和合”三角形．
【答案】（1）见解析；（2）①；②
【解析】
分析】（1）根据平行线性质得，由，可得，得,可得，可得
（2）①过点D作，交于点G，可得是等边三角形，证明，得,可得，可得；②连接并延长，交于点H，根据“和合”三角形定义知，得，得，可得垂直平分，可得，得，得，根据，得．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）①∵是等边三角形，
∴，
过点D作，交于点G，
则，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；

②连接并延长，交于点H，
当与是“和合”三角形时，，
∵，
∴，
∴，
由①知，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即当的值为时，与是“和合”三角形．
【点睛】本题考查了新定义——“和合”三角形．熟练掌握新定义，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度的直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线性质，是解题有关键．
水果店
销售方式
质量
单价
甲
不分类
400千克
25元／千克
乙
小果
免费
中果
240千克
大果
水果店
销售方式
质量
单价
甲
不分类
400千克
25元／千克
乙
小果
免费
中果
240千克
大果