云南省红河哈尼族彝族自治州第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份云南省红河哈尼族彝族自治州第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共20页。试卷主要包含了 已知平面向量，且，则， 若，，，则，，的大小关系为， 古希腊数学家特埃特图斯， 已知函数等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等相关信息填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 不等式成立是不等式成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
3. 对平面内两向量，，若，则下列结论成立的是（ ）
A. ，方向相同
B. ，两向量中至少有一个为零向量
C. 存在一个实数，使
D. 存在不全为零的实数，，使
4. 已知平面向量，且，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
5. 已知，若M、P、Q三点共线，则（ ）
A. 1B. 2C. 4D. －1
6. 若，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数的图象是在上连续不断的曲线，在区间项上单调递增，且满足，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
8. 古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知，若，则（ ）

A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 关于平面向量，下列说法不正确的是（ ）
A.
B.
C. 若，且，则
D.
10. 已知函数（且，），则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则的图象过定点B. 若，则的最小值为4
C. 若，则D. 若，
11. 已知圆半径为2，弦，点为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 最大值为6
C. D. 满足的点只有一个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知平面内四个不同的点A，B，C，D满足，则_________.
13. 将余弦函数的图象向左平移个单位，再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的得到函数的图象，若在区间上恰有1个最小值和3个零点，则的取值范围为___.
14. 已知平面向量满足，则的最大值为_____.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知．
（1）若//，求的值；
（2）若，求的值．
16. 已知与的夹角为.
（1）求在方向上的投影向量;
（2）求的值;
（3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
17. 设函数，.
（1）求最小正周期和对称中心；
（2）若函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，求函数在区间上的值域.
18. 如图，互相垂直两条小路AM，AN旁有一长方形花坛ABCD，其中.现欲经过点修一条直路l，l交小路AM，AN分别为点P，Q.计划准备将长方形花坛ABCD扩建成一个更大的三角形花坛APQ.要求AP的长不小于40m且不大于90m.记三角形花园APQ的面积为
（1）设，试用表示AP，并求取值范围；
（2）当DQ的长度是多少时，取最小值？最小值是多少？
19. 设函数定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数
（1）若，求的“准不动点”：
（2）若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围：
（3）设函数若使得成立，求实数的取值范围.
红河州第一中学2024级高一下学期3月月考
数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等相关信息填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 不等式成立是不等式成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数不等式和一元二次不等式的解法解出对应的不等式，结合必要不充分条件的概念即可得出结果.
【详解】解不等式，得，
解不等式，得，
又，
所以不等式成立是不等式成立的必要不充分条件.
故选：B.
2. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由零点存在性定理逐个判断即可；
【详解】易知单调递增；
，
所以零点所在区间为，
故选：B
3. 对平面内两向量，，若，则下列结论成立的是（ ）
A. ，方向相同
B. ，两向量中至少有一个为零向量
C. 存在一个实数，使
D. 存在不全为零实数，，使
【答案】D
【解析】
【分析】根据共线向量的定义及性质一一判断即可.
【详解】由，可得与方向相同或者相反，或者与中至少一个为零向量，故A、B错误；
当，时满足，但是不存在实数，使，故C错误；
当时，由，可得，令，则，即，
当时，由，可得（存在），故D正确．
故选：D．
4. 已知平面向量，且，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据模的坐标运算得，根据垂直关系可得，再根据模长关系运算求解.
【详解】因为，所以，，
又因为，所以，则，
所以.
故选：C.
5. 已知，若M、P、Q三点共线，则（ ）
A. 1B. 2C. 4D. －1
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量共线定理，列方程组即可求解.
【详解】解：∵M、P、Q三点共线，则与共线，
∴，即，得，解得.
故选：A.
6. 若，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指对数函数及正弦函数的性质判断大小关系即可.
【详解】由，即.
故选：A
7. 已知函数的图象是在上连续不断的曲线，在区间项上单调递增，且满足，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过条件分析函数具有的性质，再把函数不等式转化为代数不等式求解.
【详解】由得：的图象关于点对称；
；
又在上连续不断，且在上单调递增，
所以在上单调递增.
.
故选：B
8. 古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知，若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果.
【详解】
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的坐标系，
由题意得，则，，，，，，．
因为，所以
解得所以．
故选：B．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 关于平面向量，下列说法不正确的是（ ）
A.
B.
C. 若，且，则
D.
【答案】CD
【解析】
【分析】由向量数量积的定义和运算律，对选项逐一进行判断即可.
【详解】对于A、B，根据向量的运算法则，及分配律，易知A、B正确；
对于C，当反向且都与垂直时满足题设，但，故C错误；
对于D，是与共线的向量，是与共线的向量，故D错误.
故选：CD.
10. 已知函数（且，），则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则的图象过定点B. 若，则的最小值为4
C. 若，则D. 若，
【答案】ABD
【解析】
【分析】A由可得的图象所过定点；B由题可得，然后由基本不等式可得答案；CD由指数函数单调性，结合作差法，正切函数单调性可判断选项正误；
【详解】对于A，令，，则的图象过定点，故A正确；
对于B，，，
当且仅当，即时取等号，故B正确；
对于C，因，则在R上单调递增，又，
则，故C错误；
对于D，因，则在R上单调递减，
又注意到时，函数单调递增，
则，故D正确.
故选：ABD
11. 已知圆半径为2，弦，点为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 的最大值为6
C. D. 满足的点只有一个
【答案】AB
【解析】
【分析】对于A，根据数量积的定义计算即可判断；对于B，由投影向量可找出最大值点的位置，计算即可判断；对于C，作图得到，再由可确定最值点的位置，计算判断即可；对于D，当重合或者时都可以得到，从而可判断.
【详解】对于A选项，圆半径为2，弦，故为等边三角形，
取的中点，连接，则，所以，A正确；
对于选项，过点作平行于，交圆与点，
过点作，交延长线于点，连接，
则四边形为菱形，
由投影向量可知，当点与点重合时，取得最大值，
此时，
故的最大值为，B正确；
对于C选项，，
因为四边形为菱形，所以，且，
因为为定值，
故当与平行且方向相同时，取得最大值，最大值为，
当与平行且方向相反时，取得最小值，最小值为，
故，C错误；
对于D选项，因为点为圆上任意一点，故当重合时，，
又当时，满足，故满足的点有2个，D错误.
故选：AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知平面内四个不同的点A，B，C，D满足，则_________.
【答案】3
【解析】
【分析】先对等式进行变形，将其转化为与和有关的形式，然后再求的值.
【详解】已知，根据向量的减法法则，
则.因为，又，所以，移项可得.
由于，那么，所以.
故答案为：.
13. 将余弦函数的图象向左平移个单位，再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的得到函数的图象，若在区间上恰有1个最小值和3个零点，则的取值范围为___.
【答案】
【解析】
【分析】根据图像变换可得，再以为整体，结合余弦函数性质列式求解即可.
【详解】余弦函数的图象向左平移个单位，可得，
再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，可得，
因为，且，则，
由题意可得：，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：.
14. 已知平面向量满足，则的最大值为_____.
【答案】30
【解析】
【分析】根据向量模的几何意义构造几何图形，再根据向量数量积的公式，结合图形，即可求解.
【详解】设，则，
由，则，，
故 点在以为圆心3为半径的圆周上，点在以为圆心，2为半径的圆周上，如图所示，
而，
由图可知，当三点共线，在如图所示的位置时，
有最大值有最大值5，此时取最大值1，
所以的最大值为30.
故答案为：30
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知．
（1）若//，求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据向量平行的坐标表示，结合同角三角函数关系求得，再求齐次式的值即可；
（2）根据向量垂直坐标表示，求得，再根据其与的关系即可求得结果.
【小问1详解】
，//，
．
【小问2详解】
，
又，故，则，故，
.
16. 已知与的夹角为.
（1）求在方向上的投影向量;
（2）求的值;
（3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）直接根据投影向量的概念求解；
（2）通过展开计算；
（3）根据，且与不共线计算求解.
【小问1详解】
在方向上的投影向量为；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
因为向量与的夹角为锐角，
所以，且与不共线，
对于，
得，
解得，
若与共线，
则存在，得，解得，
所以若向量与的夹角为锐角，实数的取值范围为.
17. 设函数，.
（1）求的最小正周期和对称中心；
（2）若函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，求函数在区间上的值域.
【答案】（1）的最小正周期为，对称中心为；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简函数的解析式为，根据正弦函数的图象与性质即可求解的最小正周期与对称中心；（2）根据三角函数图象变换规则求出的解析式，判断函数在上的单调性从而求得值域.
【详解】（1）
令，解得，
所以的最小正周期为，对称中心为；
（2）函数的图像向左平移个单位得到函数，
令，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，
所以函数在区间上的值域为.
【点睛】本题考查三角恒等变换，求正弦型函数的周期性、对称性与单调性，三角函数图象变换规则，属于中档题.
18. 如图，互相垂直的两条小路AM，AN旁有一长方形花坛ABCD，其中.现欲经过点修一条直路l，l交小路AM，AN分别为点P，Q.计划准备将长方形花坛ABCD扩建成一个更大的三角形花坛APQ.要求AP的长不小于40m且不大于90m.记三角形花园APQ的面积为
（1）设，试用表示AP，并求的取值范围；
（2）当DQ的长度是多少时，取最小值？最小值是多少？
【答案】（1）
（2）m时，取得最小值1200.
【解析】
【分析】（1）利用三角形相似表示出，再由不等关系即可解得的取值范围；
（2）求得面积的表达式，再利用基本不等式可求得当m时，取得最小值1200.
【小问1详解】
依题意可得，
所以，即，可得；
因此，
又要求AP的长不小于40m且不大于90m，即，
解得，
即；
【小问2详解】
易知，
所以
由基本不等式可得；
当且仅当时，即时，等号成立，
此时取得最小值1200；
因此m时，取得最小值，最小值为1200.
19. 设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数
（1）若，求的“准不动点”：
（2）若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围：
（3）设函数若使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）0或1；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）依题意可得，利用换元法计算可得；
（2）依题意可得在上有解，参变分离可得在上有解，结合对勾函数的单调性求出的取值范围，即可得解；
（3）依题意可得，根据的单调性，求出的最值，即可得到，换元得到，参变分离，结合函数的单调性，计算可得.
【小问1详解】
当时，由可得，，
令，则，解得或，
即或，解得或，
的“准不动点”为0或1；
【小问2详解】
由得，，
即在上有解，
令，由可得，则在上有解，
故，当时，在上单调递增，，则，解得，
取值范围；
【小问3详解】
由得，，
即，则，
又由指数函数的性质可知在上单调递增，，则，
即，
令，则，从而，则，
又在上均增函数，则，，
，即，所以实数的取值范围为.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，，，
（1）若，，有成立，则；
（2）若，，有成立，则；
（3）若，，有成立，则；
（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集.