天津市宝坻区第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份天津市宝坻区第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（共45分）
1. 下列各式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2 若，则（ ）
A 30B. 20C. 12D. 6
3. 函数在上可导,且,则
A. 0B. 1C. -1D. 不确定
4. 函数的大致图象为（ ）
A B.
C. D.
5. 若5名女生和2名男生去两地参加志愿者活动，两地均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（ ）种.
A. 30B. 40C. 60D. 80
6. 函数的极大值点是（ ）．
A. B. C. D. 3
7. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A. 为函数的零点
B. 函数在上单调递减
C. 为函数的极大值点
D. 是函数的最小值
8. 已知，，对，且，恒有，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9. 已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共30分）
10. 今年贺岁片，《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《熊出没·重启未来》引爆了电影市场，小明和他的同学一行五人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有_________种
11. 函数的图象在点处的切线的倾斜角为__________
12. 已知函数在处取得极小值10，则值为 ___.
13. 已知g（x）＝＋x2＋2aln x在[1，2]上是减函数，则实数a的取值范围为________.
14. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是____________．
15. 若函数与的图象存在公共切线，则实数的最大值为______
三、解答题（共75分）
16. 求下列函数的导数.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
17. 在12件产品中，有10件正品，2件次品，从这12件产品中任意抽取3件．
（1）共有多少种不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰有1件次品的抽法有多少种？
（3）抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？
18. 已知函数（a，），其图象在点处的切线方程为．
（1）求a，b的值；
（2）求函数的单调区间和极值；
（3）求函数在区间上的最大值．
19. 已知函数.
（1）当时，
（ⅰ）求在点处切线方程；
（ⅱ）求的最小值；
（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，证明.
20. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，直线是曲线的切线，求的最小值；
（3）若方程有两个实数根.证明：
宝坻一中2024-2025学年度第二学期高二年级
第三次练习数学试卷
一、单选题（共45分）
1. 下列各式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据基本初等函数的求导公式判断．
【详解】；；，，只有B正确．
故选：B．
2. 若，则（ ）
A. 30B. 20C. 12D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】先由组合的运算公式计算出的值，再代入中，由排列公式即可计算出结果.
【详解】若
故选：A.
3. 函数在上可导,且,则
A 0B. 1C. -1D. 不确定
【答案】C
【解析】
【分析】
求出代入求出，进而求出，即可求解.
【详解】，得，
，
.
故选:C
【点睛】本题考查函数的导数以及简单的运用，属于基础题.
4. 函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求导分析函数单调性,并根据函数的正负判断即可.
【详解】由题意可知，
当或时，，当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，且当时，.
故选：A.
5. 若5名女生和2名男生去两地参加志愿者活动，两地均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（ ）种.
A. 30B. 40C. 60D. 80
【答案】C
【解析】
【分析】由题，两地都需安排一个男生，随后将5名女生安排到两地，即其中一地有1名或2名女生即可.
【详解】将2名男生安排到两地有2种方法.若其中一地有1名女生，则有种安排方法，若一地有2名女生，则有种安排方法，则不同的分配方案有种.
故选：C
6. 函数的极大值点是（ ）．
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】求导，利用导数判断原函数单调性，进而可判断极值点.
【详解】由题意可得：，
令，解得或，
当或时，；当时，；
则在上单调递增，在上单调递减，
故函数的极大值点是.
故选：A.
7. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A. 为函数的零点
B. 函数在上单调递减
C. 为函数的极大值点
D. 是函数的最小值
【答案】B
【解析】
【详解】根据函数零点的概念可判断A；根据导数与函数单调性的关系判断B；根据函数极值点以及最值与导数的关系可判断C，D.
由的图象可知，当时，，
当时，，故为函数的极大值点，A错误；
当时，，故函数在上单调递减，B正确；
当时，，当时，，
故为函数的极小值点，C错误；
当时，，当时，，
故为函数的极小值点，而也为函数的极小值点，
与的大小不定，故不一定是函数的最小值，D错误,
故选：B
8. 已知，，对，且，恒有，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，确定函数单调递增，得到，设，求导得到函数的单调区间，计算最值得到答案.
【详解】设， ，
对，且，恒有，即，
在上单调递增，故恒成立，
即，设，，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
故，即，即.
故选：A
9. 已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构建，根据题意分析可知在上单调递减，结合函数单调性解不等式.
【详解】构建，则，
因为，则，即，
可知在上单调递减，且，
由可得，即，解得，
所以不等式的解集是.
故选：A．
【点睛】关键点点睛：根据构建，进而利用导数判断函数单调性，结合单调性解不等式.
二、填空题（共30分）
10. 今年贺岁片，《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《熊出没·重启未来》引爆了电影市场，小明和他的同学一行五人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有_________种
【答案】243
【解析】
【分析】由分步乘法计数原理即可求解；
【详解】由题意，每人都有3种选择，所以总共有，
故答案为：243
11. 函数的图象在点处的切线的倾斜角为__________
【答案】
【解析】
【详解】因为，
所以函数的图象在点处的切线的倾斜角为
12. 已知函数在处取得极小值10，则的值为 ___.
【答案】
【解析】
【分析】题意说明，，由此可求得值．然后代入检验1是极小值点．
【详解】，由题意，
解得或，
若，，不是极值点，舍去．
若时，，
当时，，当或时，，
是极大值点，是极小值点，满足题意．
∴．
故答案为：.
13. 已知g（x）＝＋x2＋2aln x在[1，2]上是减函数，则实数a的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】先求导，参变分离后问题转化为在上恒成立，求出，的最小值，从而求出实数a的取值范围.
【详解】，
由题意得：在上恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
设，，
因为在上恒成立，
所以在上单调递减，
故，
所以
故答案为：
14. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】直接求导得，再设新函数，讨论和的情况，求出函数的极值点，则由题转化为，解出即可.
【详解】因为，，令，
函数有两个极值点，则在区间上有两个不等实数根，
又，
当时，，则函数在区间单调递增，
因此在区间上不可能有两个实数根，舍去，
当时，令，解得，
令，解得，此时函数在单调递增，
令，解得，此时函数在单调递减，
当时，函数取得极大值，
当趋近于0与趋近于时，，要使在区间上有两个实数根，
则，解得，
实数的取值范围是．
故答案为：.
15. 若函数与的图象存在公共切线，则实数的最大值为______
【答案】
【解析】
【分析】由导数的几何意义将公共切线的斜率分别由两函数上的切点横坐标表示，并据此建立关系，将由切点坐标表示，进而将转化为关于的函数，通过求导求其最大值.
【详解】由题意得，，．
设公切线与的图象切于点，
与的图象切于点，
∴，
∴，∴，
∴，∴．
设，则，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴，
∴实数的最大值为，
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题关键点在于由导数的几何意义将公共切线的斜率分别由两函数上的切点横坐标表示，并据此建立关系，将由切点坐标表示，进而将转化为关于的函数，通过求导求其最大值.
三、解答题（共75分）
16. 求下列函数的导数.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【解析】
【分析】利用导数的求导法则与初等函数的导数公式可求解.
【小问1详解】
由，可得；
【小问2详解】
由，可得，
【小问3详解】
由，可得，
【小问4详解】
由，可得；
【小问5详解】
由，可得.
17. 在12件产品中，有10件正品，2件次品，从这12件产品中任意抽取3件．
（1）共有多少种不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰有1件次品的抽法有多少种？
（3）抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？
【答案】（1）220 （2）90
（3）100
【解析】
【分析】（1）根据题意利用组合数的定义直接求解；
（2）抽出的3件中恰有1件次品是指2件正品，1件次品，利用组合数公式和分步乘法原理求解，
（3）抽出的3件中至少有1件次品的方法，利用间接法求解.
【小问1详解】
从这12种产品中任意抽出3件，共有种不同的抽法，
【小问2详解】
抽出的3件中恰有1件次品是指2件正品，1件次品，则有种不同的抽法，
【小问3详解】
抽出的3件中至少有1件次品的抽法数，是在12件产品中任意抽出3件的抽法数，减去抽出的3件产品全是正品的抽法数，
所以共有种不同的抽法.
18. 已知函数（a，），其图象在点处的切线方程为．
（1）求a，b的值；
（2）求函数的单调区间和极值；
（3）求函数在区间上的最大值．
【答案】（1），；
（2）的增区间是和，减区间是，极大值是，极小值是；
（3）最大值是，最小值是．
【解析】
【分析】（1）由出导函数，计算和，由切线方程列方程组解得；
（2）由得增区间，由得减区间，从而可得极值；
（3）结合（2）可得函数在上的单调性，再计算出区间端点处的函数值，，与（2）中极值比较可得最值．
【小问1详解】
，，，
又图象在点处的切线方程为，
所以，解得；
【小问2详解】
由（1）得，，
或时，，时，，
所以的增区间是和，减区间是，
极大值是，极小值是；
【小问3详解】
由（2）知在和上递增，在上单调递减，
又，，
所以在上的最大值是，最小值是．
19. 已知函数.
（1）当时，
（ⅰ）求在点处的切线方程；
（ⅱ）求的最小值；
（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，证明.
【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）0
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）求导，（ⅰ）根据导数的几何意义即可得出答案；
（ⅱ）根据导数的符号求出函数的单调区间，从而可得函数的最小值；
（2）求出函数的导函数，根据分和两种情况讨论，从而可得出答案；
（3）由（2）可得，当时，，则要证，
只需要证明，只需要证明，构造函数，再利用导数证明即可得证.
【小问1详解】
解：当时，，，
（ⅰ），
所以在点处的切线方程为，
即；
（ⅱ）当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以；
【小问2详解】
解：，
令，则，
当，即时，，，
所以函数在上递增，
所以，即，，
所以函数在上递增，
所以，
所以满足题意；
当，即时，
令，则，
当时，，所以函数在上递减，
所以当时，，
即当时，，
所以函数在上递减，
此时，与题意矛盾，
综上所述，实数的取值范围为；
【小问3详解】
证明：由（2）得，当时，，
即，
要证，
只需要证明，
只需要证明，
只需要证明，
令，
则，
所以函数上递增，
所以，
所以，
所以.
【点睛】本题考查了导数的几何意义及利用导数求函数的最值，还考查了利用导数解决不等式恒成立及证明不等式问题，考查了分类讨论思想及转化思想，属于难题.
20. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，直线是曲线的切线，求的最小值；
（3）若方程有两个实数根.证明：
【答案】（1）当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）；
（3）详见解析.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论根据其正负判断函数的单调性，即得；
（2）根据导数的几何意义得切线方程，进而可得的表达式，构造函数，然后利用导数求最值即得；
（3）由题可得，利用换元法变形为，从而将证明，转化为证明，再构造函数，利用导数求其最值进而即得.
【小问1详解】
因为，所以，，
当时，在上恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，解得，函数在上单调递增，
由，解得，函数在上单调递减；
综上，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
【小问2详解】
当时，，设切点为，
则切线斜率，
切线方程为，，
∴，，
所以，
令，则，
由，可得，由，可得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
所以，即的最小值为；
【小问3详解】
由，可得，
令，则 ，
由，可得，由，可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，且，
∴，不妨设，则 ，故 ,
令，，所以，，，
要证，只要证，只要证，
令，则，
设，则，
由，可得，由，可得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∵，，，
则存在，使得，
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
∵，，
∴在上恒成立，
所以．
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.