天津市宝坻区第九中学2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份天津市宝坻区第九中学2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（共9小题，每小题4分，共36分）
1. 解1道数学题，有三种方法，有3个人只会用第一种方法，有4个人只会用第二种方法，有3个人只会用第三种方法，从这10个人中选1个人能解这道题目，则不同的选法共有（ ）
A. 10种B. 21种C. 24种D. 36种
【答案】A
【解析】
【分析】利用分类加法计数原理计算即可.
【详解】根据分类加法计数原理得：
不同的选法共有（种）．
故选：A．
2. 若5名学生报名参加数学、物理、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式即得.
【详解】依题意，每名学生有4种报名方式，由分步乘法计数原理得不同的报名方式有种.
故选：A
3. 下列函数的求导正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据导数的计算公式与求导法则计算即得.
【详解】选项A：，故A错误；
选项B：，故B错误；
选项C：，故C错误；
选项D：，故D正确.
故选：D
4. 二项式的展开式的第4项的系数是（ ）
A. 8B. 35C. 280D. 60
【答案】C
【解析】
【分析】利用二项式定理的通项公式求解.
【详解】通项为，则，
则第4项的系数是.
故选：C.
5. 设函数的导函数为，若，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对函数求导后，令即可求解.
【详解】因为，
所以，令，则，
解得：.
故选：C.
6. 函数的单调递减区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接求导，再令，解出不等式即可.
【详解】，令，解得，
所以的单调递减区间为，
故选：A.
7. 设是函数的导函数，则的图象可能是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数求出原函数的单调性，选择图像即可.
【详解】由，得或，
由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
由图知，只有C选项的图象符合.
故选：C.
8. 从0，2，4中选一个数字．从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字三位数．其中奇数的个数为（ ）
A. 48B. 30C. 24D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】考虑到百位数字非零的限制，将三位奇数分成三类，分别用排列组合数表示方法数，最后运用分类加法计数原理计算即得.
【详解】依题意，这样的三位奇数分为三类：
①元素0被选中，则应放在十位，从1，3，5中选两个数字排在个位与百位，共有种方法；
②元素2被选中，则可放在百位或十位，再从1，3，5中选两个数字排在余下的两个数位，有种方法；
③元素4被选中，与②情况相同，有种方法.
由分类加法计数原理可得，奇数的个数为个.
故选：B.
9. 若函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用求导，将函数在给定区间上为增函数转化为不等式在上恒成立问题，即求出二次函数在上的最大值即得.
【详解】由可得，
因在上单调递增，故在上恒成立，
即在上恒成立，
而函数在上单调递减，则，
故，即a的取值范围是.
故选：A.
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
10. ______．
【答案】
【解析】
【分析】利用排列、组合数的计算公式计算即得.
【详解】因.
故答案为：.
11. 质点M按规律做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在时的瞬时速度为______m/s．
【答案】8
【解析】
【分析】利用质点M在时的瞬时速度即质点M 在时的位移的导函数，求出导函数在的函数值即可.
【详解】依题意，质点M在时的瞬时速度为，
故质点M在时的瞬时速度为.
故答案为：8.
12. 已知函数，则函数在点处切线方程 _________．
【答案】
【解析】
【分析】求导，求出斜率，写出切线方程.
【详解】由已知，
则，又，
所以切线方程为，
即.
故答案为：.
13. 在的展开式中，x的系数为______________．
【答案】
【解析】
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得展开式中含x项的系数．
【详解】的展开式中，通项公式为，
令，求得，可得展开式中含x项的系数，
故答案：．
14. 第十三届冬残奥会于2022年3月4日至3月13日在北京举行．现从4名男生，2名女生中选3人分别担任冬季两项、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，且至多有1名女生被选中，不同的选择方案的种数为______．
【答案】96
【解析】
【分析】分有一名女生的选法和没有女生的选法两种情况求解.
【详解】解：有一名女生的选法有种，没有女生的选法有种，
所以至多有1名女生被选中，不同的选择方案的种数为，
故答案为：96
15. 关于函数，下列判断正确序号是_____________.
①的单减区间为；
②是的极大值点；
③函数有且只有1个零点；
④存在正实数，使得恒成立.
【答案】③
【解析】
【分析】对于①，利用导数可判断②；令，利用导数判断出的单调性可判断③；转化为，令，利用导数判断出的单调性，求出值域可判断④.
【详解】对于①，，
当时，，单调递减，单调递减区间为，故①错误；
对于②，当时，，单调递增，
所以是的极小值点，故②错误；
对于③，，令，
所以，
所以在单调递减，
又因为，，
所以有且只有1个零点，且，故③正确；
对于④，由得，因为，所以，
即求，
令，，
令，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
可得，单调递减，当时，，无最小值，
所以的大致图象如下，
所以，要使，结合图象可得，，故④错误.

故答案为：③.
【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．
三、解答题（共5题，每题12分，共60分）
16. 名男生与名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算结果，用数字作答.
（1）从中选出名男生和名女生排成一列；
（2）全体站成一排，男生互不相邻；
（3）全体站成一排，甲不站排头，也不站排尾；
（4）全体站成一排，甲、乙必须站在一起；
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）根据条件，利用组合与排列先选后排，即可求解；
（2）根据条件，利用不相邻问题插入法，即可求解；
（3）利用特殊元素优先考虑，结合条件，即可求解；
（4）利用相邻问题捆绑法，即可求解.
【小问1详解】
从名男生中任选名有种选法，从名女生中任选名有种选法，
再将选取的人排列有种排法，由乘法原理共有种排法，
【小问2详解】
先将女生全排有种，再从个空隙中选出3个将3个男生插入到3个空隙中有种，
由乘法原理共有种排法.
【小问3详解】
先排甲，有种方法，其余人有种排列方法，共有种，
【小问4详解】
甲乙必须相邻，先将甲乙捆绑有种，再与剩下的个人排列有种，共有种.
17. 已知函数，且当时，取得极值
（1）求的解析式;
（2）求在上的单调区间和最值.
【答案】（1）
（2）的单调递减区间为，单调递增区间为，
最大值为，最小值为.
【解析】
【分析】（1）利用极值的性质结合导数建立方程求解即可.
（2）利用导数研究单调性，得到极值，再结合端点值求解最值即可.
【小问1详解】
因为，
所以，因为当时，取得极值，
所以，则，
也可得到，所以，解得，
代入中，解得，
所以解析式为，
此时，令，解得，
令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以极小值为，符合题意.
【小问2详解】
由上问知，
在上单调递减，在上单调递增，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
而，，，，
故最大值为，最小值为.
18. 完成下列问题.
（1）求的展开式中的常数项；
（2）求的展开式的中间项.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件，利用的展开式的通项公式，即可求解；
（2）根据条件，利用二项式展开式的通项公式，即可求解.
【小问1详解】
的展开式的通项为：，
其中且，令，得，
所以的展开式中的常数项为.
【小问2详解】
的展开式有项，中间项为第4项，则，
.
19. 已知函数的图象在点处的切线方程为
（1）求的解析式；
（2）若对任意有恒成立，求实数的取值范围；
（3）若函数在内有3个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，，即可求出、的值，从而得解；
（2）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而求出函数的最大值（），即可得解；
（3）由（1）可得，利用导数研究函数的单调性极值与最值，根据函数在区间内有3个零点，可得最值满足的条件，进而得出实数的取值范围．
【小问1详解】
因为，则，
依题意，，解得，，
所以；
【小问2详解】
由（1）可得，
当时恒成立，
所以在上单调递减，
所以当时，函数取得最大值，，
因为对任意有恒成立，所以，.
.
实数的取值范围为.
【小问3详解】
由（1）可得：，
，
令，解得或，
所以、、列表如下：
由表格可知：当时，函数取得极小值；当时，函数取得极大值，
且当时，当时，
要满足函数在区间内有3个零点，
则，解得，
所以实数的取值范围.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
20. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程；
（2）设，，利用导数可求得单调性，结合可得单调性，得到，由此可证得结论.
【小问1详解】
，，又，
所求切线方程为：.
【小问2详解】
设，则定义域为，，
令，则，
在上单调递增，又，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，，
即.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数几何意义求解切线方程、不等式的证明问题；本题证明不等式的关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数最值的求解问题，从而利用导数求解函数的最值.
1
0
0
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增