四川省绵阳市江油市八校联考2024-2025学年八年级下学期开学数学试题（原卷版+解析版）

这是一份四川省绵阳市江油市八校联考2024-2025学年八年级下学期开学数学试题（原卷版+解析版），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为，它与π的误差小于．将用科学记数法可以表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列从左到右的变形，是因式分解的是( )
A. 2(a﹣b)＝2a﹣2bB.
C. D.
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知一个多边形的内角和与一个外角的和是度，则这个多边形是（ ）
A. 五边形B. 六边形C. 七边形D. 八边形
6. 如图，AB∥CD，AD∥BC，AC与BD相交于点O，AE⊥BD，CF⊥AC，垂足分别是E，F．则图中共有（ ）对全等三角形．
A. 5B. 6C. 7D. 8
7. 若分式的值为0，则应满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上的动点，则的最小值是（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 11
9. 如果是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A 6B. C. 或D. 以上都不正确
10. 某新能源环保汽车去年第四季度销售总额为2000万元，由于受全球经济下行压力的影响，今年第一季度每辆车的销售价格比去年降低1万元，销售数量与去年第四季度相同，销售总额比去年第四季度减少20%，今年第一季度每辆车的销售价格是多少万元？设今年第一季度每辆车的销售价格为x万元，根据题意列方程为（ ）
A. ＝B. ＝
C. ＝D. ＝
11. 如图，在等边中，是的中点，于点，于点，已知，则的长为（ ）

A. 3B. 4C. 5D. 6
12. 等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC的中点，EC⊥BD于E，交BA的延长线于F，若BF＝10，则△FBC的面积为（ ）
A B. C. 40D. 48
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
13. 点关于x轴对称的点坐标是______．
14. 一个二次二项式分解后其中的一个因式为，请写出一个满足条件的二次二项式______．
15. 若等腰三角形顶角为，则它的底角为______．
16. 已知，则的值是______．
17. 如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线ED相交于点D，过点D作DF⊥AC交AC延长线于点F，若AB=8，AC=4，则CF的长为_________．
18. 关于的分式方程的解是非负数，且使得关于的不等式组．有且仅有4个整数解，则所有满足条件的整数的值之和是__________．
三、解答题：本题共6小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19. （1）计算：
（2）解分式方程：
20. 先化简，再求值：，其中与1，3构成的三边且为整数．
21. 如图，在中，，垂足为D，， ．
（1）求和的度数．
（2）若是的平分线，求的度数．
22. 如图，点E、F是线段上的两个点，与交于点M．已知，，．

（1）求证：；
（2）若．求证：是等边三角形．
23. 为了丰富校园文体活动，某学校准备一次性购买若干个足球和排球．已知用160元购买足球的数量与用130元购买排球的数量相同，足球的单价比排球的单价多15元．
（1）求足球和排球单价各是多少元；
（2）根据学校实际情况，需要一次性购买足球和排球共100个，若要求总费用不超过7100元，则学校最多可以购买_______个足球．
24. 用一条直线分割一个三角形，如果能分割出一个等腰三角形，那么就称这条直线为该三角形的一条等腰分割线．在直角三角形中，，，．
（1）如图1，O为的中点，则直线 的等腰分割线．（填“是”或“不是”）．
（2）如图2，点P是边上一个动点，当直线是的等腰分割线时，求的长度．
（3）如图3，若将放置在如图所示的平面直角坐标系中，点Q是边上的一点，如果直线是的等腰分割线，则点Q的坐标为 ．(直接写出答案)．
2024-2025学年四川省绵阳市江油市八校联考八年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．根据定义逐一判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2. 我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为，它与π的误差小于．将用科学记数法可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数数，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：．
故选：A．
3. 下列从左到右的变形，是因式分解的是( )
A. 2(a﹣b)＝2a﹣2bB.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据因式分解的定义，把一个多项式变形为几个整式的积的形式是分解因式进行分析即可得出．
【详解】解：由因式分解的定义可知：
A． 2(a﹣b)＝2a﹣2b，不是因式分解，本选项不符合题意；
B． ，不是因式分解，本选项不符合题意；
C． ，左右两边不相等，本选项不符合题意；
D． 是因式分解，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查了因式分解的定义，熟知因式分解的定义和分解的规范要求是解题关键．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的除法，零指数幂，负整数指数幂，单项式乘以单项式，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，零指数幂，负整数指数幂，单项式乘以单项式，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
5. 已知一个多边形的内角和与一个外角的和是度，则这个多边形是（ ）
A. 五边形B. 六边形C. 七边形D. 八边形
【答案】D
【解析】
【分析】设多边形的边数为n，多加的外角度数为x，根据内角和与外角度数的和列出方程，由多边形的边数n为整数求解可得．
【详解】设多边形的边数为n，多加的外角度数为x，
根据题意列方程得，
（n－2）•180°＋x＝1160°，
∵0°＜x＜180°，
∴1160°－180°＜（n－2）×180°＜1160°，
∴5＜n−2＜6，
∵n是整数，
∴n＝8．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，利用多边形的内角和是180°的倍数是解题的关键．
6. 如图，AB∥CD，AD∥BC，AC与BD相交于点O，AE⊥BD，CF⊥AC，垂足分别是E，F．则图中共有（ ）对全等三角形．
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质可得∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD，∠BAC＝∠DCA，利用ASA即可分别证出ABD≌CDB，ABC≌CDA，得出AB＝CD，BC＝DA，再利用AAS即可分别证出AOB≌COD、AOD≌COB、ABE≌CDF、AOE≌COF、ADE≌CBF．
【详解】解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD，∠BAC＝∠DCA，
在ABD和CDB中，
，
∴ABD≌CDB（ASA），
同理：ABC≌CDA（ASA）；
∴AB＝CD，BC＝DA，
在AOB和COD中，
，
∴AOB≌COD（AAS），
同理：AOD≌COB（AAS）；
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠AEO＝∠CFD＝∠CFO＝90°，
在ABE和CDF中，
，
∴ABE≌CDF（AAS），
同理：AOE≌COF（AAS），ADE≌CBF（AAS）；
图中共有7对全等三角形；
故选：C．
【点睛】此题考查的是平行线的性质和全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的各个判定定理是解决此题的关键．
7. 若分式的值为0，则应满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分式的值为0的条件：分子为0且分母不为0，根据原理列方程与不等式，从而可得答案．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴
由①得：，
由②得：，
综上：．
故选：A．
【点睛】本题考查的是分式的值为0的条件，掌握“分式的值为0的条件”是解本题的关键．
8. 如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上的动点，则的最小值是（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用以及线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，连接，由题意得，推出，即可求解；
【详解】解：连接，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故选：B
9. 如果是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A. 6B. C. 或D. 以上都不正确
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方公式的特点是解此题的关键，注意：完全平方公式有和两个．根据完全平方式得出，求出即可．
【详解】解：是一个完全平方式，
，
解得：，
故选：C
10. 某新能源环保汽车去年第四季度销售总额为2000万元，由于受全球经济下行压力的影响，今年第一季度每辆车的销售价格比去年降低1万元，销售数量与去年第四季度相同，销售总额比去年第四季度减少20%，今年第一季度每辆车的销售价格是多少万元？设今年第一季度每辆车的销售价格为x万元，根据题意列方程为（ ）
A. ＝B. ＝
C. ＝D. ＝
【答案】B
【解析】
【分析】设今年第一季度每辆车的销售价格为x万元，则去年第四季度每辆车的销售价格为（x＋1）万元，根据数量＝总价÷单价，结合今年第一季度的销售数量与去年第四季度销售量相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】设今年第一季度每辆车的销售价格为x万元，则去年第四季度每辆车的销售价格为（x＋1）万元，由题意得：
＝
故选：B．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是正确解读题意，找准等量关系，列出分式方程．
11. 如图，在等边中，是的中点，于点，于点，已知，则的长为（ ）

A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据等边三角形和DE⊥AC求出∠ADE=30°，利用直角三角形中30°的角的性质得出AD的值，结合D是AB中点得到三边的长度，进而求出CE的长度，再根据EF⊥BC求出∠FEC=30°，再一次利用直角三角形中30°的角的性质即可得出答案.
【详解】∵ABC是等边三角形，DE⊥AC
∴∠A=∠C=60°，∠AED=90°
∴∠ADE=90°-∠A=30°
又AE=2
∴AD=4
又D是AB的中点
∴AB=2AD=8
进而AC=AB=8
∴CE=AC-AE=6
又∵EF⊥BC
∴∠FEC=90°-∠C=30°
∴CF=CE=3
故答案选择：A.
【点睛】本题考查的是等边三角形，运用到了“在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半”这一基本性质.
12. 等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC的中点，EC⊥BD于E，交BA的延长线于F，若BF＝10，则△FBC的面积为（ ）
A. B. C. 40D. 48
【答案】A
【解析】
【分析】求出∠ABD=∠ACF，根据ASA证△ABD≌△ACF，推出AD=AF，得出AB=AC=2AD=2AF，求出AF长，求出AB、AC长，根据三角形的面积公式得出△FBC的面积等于BF×AC，代入求出即可．
【详解】解：∵CE⊥BD，
∴∠BEF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠CAF=90°，
∴∠FAC=∠BAD=90°，∠ABD+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，
∴∠ABD=∠ACF，
∵在△ABD和△ACF中
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴AD=AF，
∵AB=AC，D为AC中点，
∴AB=AC=2AD=2AF，
∵BF=AB+AF=10，
∴3AF=10，
∴AF=，
∴AB=AC=2AF=，
∴△FBC的面积是×BF×AC=×10×=，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的面积，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的应用，关键是求出AF=AD，主要考查学生运用性质进行计算的能力．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
13. 点关于x轴对称的点坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
【详解】解：与点关于x轴对称的点的坐标是．
故答案为：．
14. 一个二次二项式分解后其中的一个因式为，请写出一个满足条件的二次二项式______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据因式分解的结果，乘以一个单项式即可求解．
详解】解：∵，
∴出一个满足条件的二次二项式可以是：（答案不唯一）.
故答案为：（答案不唯一）.
【点睛】本题考查了因式分解与整式乘法的联系，掌握因式分解是解题的关键．
15. 若等腰三角形的顶角为，则它的底角为______．
【答案】##69
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：等腰三角形的顶角为，
它的底角，
故答案为：．
16. 已知，则的值是______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法运算法则整理，再整体代入，最后结合零指数幂法则计算即可．
【详解】解：
故答案为：1．
【点睛】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，零指数幂．熟练掌握各运算法则是解题关键．
17. 如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线ED相交于点D，过点D作DF⊥AC交AC延长线于点F，若AB=8，AC=4，则CF的长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】连接CD，DB，过点D作DM⊥AB于点M，证明△AFD≌△AMD，得到AF=AM，FD=DM，证明Rt△CDF≌Rt△BDM，得到BM=CF，结合图形计算，得到答案．
【详解】如图，连接CD，DB，过点D作DM⊥AB于点M，
∵AD平分∠FAB，
∴∠FAD=∠DAM，
在△AFD和△AMD中，
，
∴△AFD≌△AMD（AAS）
∴AF=AM，FD=DM，
∵DE垂直平分BC
∴CD=BD，
在Rt△CDF和Rt△BDM中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△BDM（HL）
∴BM=CF，
∵AB=AM+BM=AF+MB=AC+CF+MB=AC+2CF，
∴8=4+2CF，
解得，CF=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
18. 关于的分式方程的解是非负数，且使得关于的不等式组．有且仅有4个整数解，则所有满足条件的整数的值之和是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的解及根据一元一次不等式组解集求参数，利用不等式的解集及方程的解得出m的取值范围是解题关键．分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，不等式组整理后，由有且仅有4个整数解确定出m的范围，再找出符合条件的整数求和即可得答案．
【详解】解：∵，
∴
∴
∴
∴
∴，
∵关于x的分式方程的解是非负数，
∴且，
∴且．
∵，
∴．
∴．
∵
∴
∴
∵关于y的不等式组有且仅有4个整数解，
∴
∴．
又∵且，a为整数，
∴．
∴所有满足条件的整数a的值之和是．
故答案为：．
三、解答题：本题共6小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19. （1）计算：
（2）解分式方程：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）运用积的乘方和整式乘除法运算法则计算即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
解得，
检验，是原分式方程的解．
【点睛】题考查了整式的乘除运算和解分式方程，掌握整式乘除运算法则及分式方程的解法是解本题的关键．
20. 先化简，再求值：，其中与1，3构成的三边且为整数．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查分式混合运算以及三角形的三边关系，先进行括号内分式的加法运算，再进行分式的除法运算，最后运算加法计算，根据三角形三边的关系确定出的值，然后代入进行计算即可.
【详解】解：
，
又∵与1，3构成的三边，
∴，
又∵为整数，
∴，
∴原式．
21. 如图，在中，，垂足为D，， ．
（1）求和的度数．
（2）若是的平分线，求的度数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．
（1）根据三角形的内角和得到；根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和三角形的内角和即可得到结论．
【小问1详解】
解：，，
；
，
，
，
；
【小问2详解】
解：是的平分线，
，
．
22. 如图，点E、F是线段上的两个点，与交于点M．已知，，．

（1）求证：；
（2）若．求证：是等边三角形．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】(1)证明即可．
(2)根据得到，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形证明．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，
∵，
∴等边三角形．
【点睛】本题考查了三角形全等的判断和性质，等边三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判断和性质，等边三角形的判定是解题的关键．
23. 为了丰富校园文体活动，某学校准备一次性购买若干个足球和排球．已知用160元购买足球的数量与用130元购买排球的数量相同，足球的单价比排球的单价多15元．
（1）求足球和排球的单价各是多少元；
（2）根据学校的实际情况，需要一次性购买足球和排球共100个，若要求总费用不超过7100元，则学校最多可以购买_______个足球．
【答案】（1）80元；65元
（2）40
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，解题的关键是：审清题意、正确列出分式方程、一元一次不等式成为解题的关键．
（1）设足球的单价是x元，则排球的单价是元，根据数量、总价、单价的关系，结合用160元购买足球的数量与用130元购买排球的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之并经检验即可；
（2）设学校可以购买m个足球，则可以购买个足球，利用总价、单价、数量的数量关系，结合购买足球和排球的总费用不超过7100元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可解答．
小问1详解】
解：设足球的单价是x元，则排球的单价是元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：足球的单价是80元，排球的单价是65元；
【小问2详解】
解：设学校可以购买m个足球，则可以购买个排球，
依题意得：，
解得：．
又∵m为正整数，
∴m可以取的最大值为40．
∴学校最多可以购买40个足球．
故答案：40．
24. 用一条直线分割一个三角形，如果能分割出一个等腰三角形，那么就称这条直线为该三角形的一条等腰分割线．在直角三角形中，，，．
（1）如图1，O为的中点，则直线 的等腰分割线．（填“是”或“不是”）．
（2）如图2，点P是边上一个动点，当直线是的等腰分割线时，求的长度．
（3）如图3，若将放置在如图所示的平面直角坐标系中，点Q是边上的一点，如果直线是的等腰分割线，则点Q的坐标为 ．(直接写出答案)．
【答案】（1）是 （2）或
（3）或或或
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得两个等腰三角形；
（2）设，①当，根据勾股定理列方程得：，解出x即可，②当时；可得；
（3）分情况进行讨论：先分是等腰三角形时，分三种情况讨论，当时可求出点；当时，可求出，当时，Q不在边上，舍去．再分是等腰三角形时，同理分三种情况讨论可出点Q的坐标为或；
【小问1详解】
解：，O为中点，
在中，，
和等腰三角形，
则直线是的等腰分割线；
故答案为：是．
【小问2详解】
解： ①当时，，
设，
①当，
在中，，
，
解得：，
即：；
②时，；
即的长为或；
【小问3详解】
解：，，，
，
，
，
，
①若为等腰三角形，
如图1，当时，，，
，
；
如图2，当时，Q为中点，，
，
，
当时，Q不在边上，舍去．
②若为等腰三角形．
如图3，当时，
，
；
如图4，当时，，
，
，
如图2，当时，Q为中点，，
此时；
综合以上可得点Q的坐标为或或或
故答案为：或或或
【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形等知识，解决此类题目需要熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．解题的关键是正确理解题意，了解等腰分割线的意义．