四川省成都市石室天府中学2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题（原卷版+解析版）

这是一份四川省成都市石室天府中学2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题（原卷版+解析版），共21页。
命题人：熊川 考试时间：120分钟
【考情提示】
梧桐学院（贯通部）与高中部的教学进度与考试内容均存在差异，请注意区分.
本次考试考试范围：高中数学必修一1.1-5.4
一、单选题（每小题5分）
1. 命题的否定为（ ）
A. B. C. D.
2 设全集，集合，则等于（ ）
A. B. C. D.
3. 设、为两个互不相同的集合.命题；命题或.则是的条件.
A. 充分且必要B. 充分非必要C. 必要非充分D. 非充分且非必要
4. 的值为（ ）
A B. C. D.
5. 已知是两个锐角，且满足，则实数t所有可能值的和为（ ）
A. B. C. 1D.
6. 函数的部分图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
7. 若锐角满足，则下列各式中正确的是（ ）
A. B. C. D. 以上说法均不对
8. 为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间的关系为．如果在前18个小时消除了19%的污染物，那么从过滤开始到污染物共减少10%需要花的时间为（ ）
A. 8小时B. 9小时C. 10小时D. 11小时
二、多选题（每小题6分）
9. 在我校棒垒球小组赛中，梧桐学院北斗班、揽月班学生积极拼搏，展现风采.如表所示，满足以下关系时，我方在小组赛与对方的竞争中一定出线？（小组赛胜得2分，平得1分，负不得分.积分相同且对打平局时，比较双方的大小，较大者出线.（）（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的值可能为（ ）
A. B. C. D. 5
11. 下列说法正确的有（ ）
A. 函数关于点对称
B. 函数的图象过定点
C. 方程在区间上有且只有1个实数解
D. 若，则在时取到最小值
三、填空题（每小题5分）
12. 已知扇形的面积为9cm2，其圆心角弧度数为2rad，则其周长为________cm.
13. 设是定义在R上的函数，满足，则函数__________.
14. 给定函数，若在其定义域内存在使得，则称为“函数”，为该函数的一个“点”．设函数，若1n2是的一个“点”，则实数a的值为______；若为“函数”，则实数a的取值范围为______．
四、解答题
15. 已知不等式的解集为，设不等式的解集为集合.
（1）求集合.
（2）设全集为R，集合，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围.
16. 设，满足：.求下面各式的值.
（1）
（2）
（3）
17. 某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量吨与年促销费用万元之间满足函数关系式（为常数），若不开展促销活动，则年销量.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完.
（1）求的值；
（2）求下一年的利润（万元）关于促销费（万元）的函数；
（3）该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？最大利润为多少？
（注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用）
18. 函数（且）是定义在R上的奇函数．
（1）求a值.
（2）判断并用定义法证明的单调性.
（3）若存在，使得成立，求实数取值范围．
19 已知函数．
（1）解关于x的不等式；

（2）若关于x的方程有三个实根，满足．
（i）求参数和实根的值；
（ii）求函数的值域．
石室天府中学梧桐学院2024-2025学年度下期2022级期中素养检测
数学试卷
命题人：熊川 考试时间：120分钟
【考情提示】
梧桐学院（贯通部）与高中部的教学进度与考试内容均存在差异，请注意区分.
本次考试考试范围：高中数学必修一1.1-5.4
一、单选题（每小题5分）
1. 命题的否定为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】特称命题的否定是全称命题，同时需要否定结论，由此即可得出答案.
【详解】特称命题的否定是全称命题，需要将特称改为全称，并将结论否定，
即将“”改为“”，将“”改为“”，
所以原命题的否定为，
故选：A.
2. 设全集，集合，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式可化解集合A，然后由补集概念可得答案.
【详解】因或，则.
又，则.
故选：B
3. 设、为两个互不相同的集合.命题；命题或.则是的条件.
A 充分且必要B. 充分非必要C. 必要非充分D. 非充分且非必要
【答案】B
【解析】
【详解】命题成立，但是命题或一定成立，所以是的充分条件；
命题或成立，但是命题不一定成立，所以是的非必要条件.
故答案为B
4. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据终边相同角的三角比相同求解即可.
【详解】，
故选：A.
5. 已知是两个锐角，且满足，则实数t所有可能值的和为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题设，将两式相加可得，进而解方程即可求解.
【详解】由，，
则，
则，解得（舍去）或，
所以实数t所有可能值的和为1.
故选：C.
6. 函数的部分图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由偶函数的图象性质，以及指数函数、三角函数的值域即可求解.
【详解】由题意函数定义域全体实数，
且，所以函数是偶函数，排除CD，
当时，，排除A，经检验，B选项符合题意.
故选：B.
7. 若锐角满足，则下列各式中正确的是（ ）
A. B. C. D. 以上说法均不对
【答案】B
【解析】
【分析】由题意根据三角函数的性质逐一分析即可.
【详解】锐角满足，又在上单调递增，
所以，
对于：在上单调递减，所以，故错误；
对于：在上单调递增，所以，故正确；
对于：，由不等式的性质可得，故错误.
故选：.
8. 为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间的关系为．如果在前18个小时消除了19%的污染物，那么从过滤开始到污染物共减少10%需要花的时间为（ ）
A. 8小时B. 9小时C. 10小时D. 11小时
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，求得，得到，设污染物共减少10%需要花的时间，得到，结合对数的运算性质，求得的值，即可得到答案.
【详解】根据题意，过滤过程中废气的污染物数量与时间的关系为
由在前18个小时消除了19%的污染物，可得，
解得，所以，
设污染物共减少10%需要花的时间，
可得，
所以，可得，解得.
故选：B.
二、多选题（每小题6分）
9. 在我校棒垒球小组赛中，梧桐学院北斗班、揽月班学生积极拼搏，展现风采.如表所示，满足以下关系时，我方在小组赛与对方的竞争中一定出线？（小组赛胜得2分，平得1分，负不得分.积分相同且对打平局时，比较双方的大小，较大者出线.（）（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】此题的难点在于理清题意，由表格的比赛数据知道共有四支队伍，由计算公式可知进攻分数代表得分，防守分数代表失分，
由此可以分析对方和我方的比赛胜负平局情况，发现积分相同，需要比较双方的大小，
而对方的是固定的，再根据各个选项计算我方的大小，分别比较即得.
【详解】首先理清题意，由题干可知共有四支队伍，我方，对方，高一七班，高一国际部，两两比赛，共有种情况，
由最后的计算公式可知进攻分数代表得分，防守分数代表失分，由此可以分析对方的各场比赛成绩：
对方与高一七班的比赛，得分12，失分6，对方胜，积分为2；
对方与高一国际部的比赛，得分12，失分2，对方胜，积分为2；
对方与我方的比赛，得分11，失分11，平局，积分为1，因此对方的总积分为5，
对于A，当时，我方的比赛成绩如下：
对高一七班胜，积分为2；对高一国际部胜，积分为2，对对方平局，积分为1，总积分为5，
由小组赛规则积分相同且对打平局时，比较双方的大小，
对方的，
我方的，
对方和我方的相等，故我方不一定出线，故A错误；
对于B，我方的比赛胜负平局情况同样如上所述，故需计算我方的大小，
我方的TQB我方=x+17+112+3+2-y+6+112+2+2=x+287-y+176=6x-7y+4942=115-y42≥115-242>83，
故我方一定出线，故B正确；
对于C，我方的比赛胜负平局情况同样如上所述，故需计算我方的大小，
我方的TQB我方=14+17+113+3+2-1+6+113+2+2=428-187=7528>83，故我方一定出线，故C正确；
对于D，我方的比赛胜负平局情况同样如上所述，故需计算我方的大小，
我方的，
不一定大于，比如当时，，所以我方不一定出线，故D错误；
故选：BC.
10. 已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的值可能为（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据一元二次不等式可求两个不等式的解，根据不等式组的解只有一个整数解，结合两不等式的解的交集，即可确定第二个不等式端点需要满足的关系，即可列不等式求解.
【详解】解不等式，得或
解方程，得
（1）当，即时，不等式的解为：
此时不等式组的解集为，依题意，则，即；
（2）当，即时，不等式的解为：，要使不等式组的解集中只有一个整数，
则需满足：，即；
所以k的取值范围为.
故选：ABD.
11. 下列说法正确有（ ）
A. 函数关于点对称
B. 函数的图象过定点
C. 方程在区间上有且只有1个实数解
D. 若，则在时取到最小值
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A选项：分离常数，结合反比例函数即可判断；对于B选项：由对数型函数的定点知识即可判断；对于C选项：结合零点存在定理即可判断；对于D选项：利用基本不等式计算即可.
【详解】对于A选项：，
该函数可由反比例函数先向左平移1个单位，
再向上平移1个单位，故的图象关于对称，故选项A正确；
对于B选项：由，
令，即，则，
故函数的图象过定点，故选项B错误；
对于C选项：由，得，令，
易知在上单调递增且图象连续不断，
因为，，所以，
所以方程在区间上有且只有1个实数解，故选项C正确；
对于D选项：因为，所以，
所以，
当且仅当时，即，有最小值为.
故选项D正确；
故选：ACD.
三、填空题（每小题5分）
12. 已知扇形的面积为9cm2，其圆心角弧度数为2rad，则其周长为________cm.
【答案】
【解析】
【分析】根据弧长公式以及扇形面积公式即可求解.
【详解】设弧长为，半径为，圆心角为，
由，可得，则，
故扇形的周长为.
故答案为：.
13. 设是定义在R上的函数，满足，则函数__________.
【答案】
【解析】
【详解】注意到，
故，
从而，.
故答案为
14. 给定函数，若在其定义域内存在使得，则称为“函数”，为该函数的一个“点”．设函数，若1n2是的一个“点”，则实数a的值为______；若为“函数”，则实数a的取值范围为______．
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】
【分析】（1）根据对数函数的概念可得，结合新定义函数可得，解之即可；
（2）根据新函数的定义可知当时，有，
当时，有，分别得和，结合指数函数的性质和基本不等式即可求解.
【详解】由题意知，当时，，
由新定义的函数知，，则，
有，即，
解得；
若函数为“函数”，则存在使得，
当时，，
，即，
得，即，得，
当且仅当即时等号成立.；
当时，，
，即，
得，
当且仅当即时等号成立.
所以a的取值范围为.
故答案为：；.
四、解答题
15. 已知不等式的解集为，设不等式的解集为集合.
（1）求集合.
（2）设全集为R，集合，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）

（2）实数的取值范围为
【解析】
【分析】（1）利用不等式的解集与方程的方程的根的关系求出，再去解不等式即可得到集合，
（2）由是成立的必要不充分条件，得到之间的包含关系，再去求解的取值范围.
【小问1详解】
因为不等式的解集为，
则是的两根，由韦达定理可得，即，
所以不等式为的解集，
【小问2详解】
因为是成立的必要不充分条件，则是的真子集，
当时，，即，符合题意；
当时，在上有一个或两个根，又由韦达定理可知方程两根同号，
则即解得，符合题意，
综上所述，实数的取值范围为.
16. 设，满足：.求下面各式的值.
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）1 （2） （3）1
【解析】
【分析】（1）由题干条件及同角三角恒等式可得结果；
（2）首先将解出来，再利用题干条件化简，最后代入的值即可得结果；
（3）先进行降次，发现可以连续使用题干条件，由此可得计算结果.
【小问1详解】
由题干条件及恒等式可得，
所以；
【小问2详解】
将题干条件看作关于的一元二次方程，可解得，
因为，所以，
所以
【小问3详解】
.
17. 某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量吨与年促销费用万元之间满足函数关系式（为常数），若不开展促销活动，则年销量.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完.
（1）求值；
（2）求下一年的利润（万元）关于促销费（万元）的函数；
（3）该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？最大利润为多少？
（注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用）
【答案】（1）
（2）
（3）当促销费投入万元时，企业年利润最大为万元
【解析】
【分析】（1）当时，，代入求得；
（2）由（1）得，进而求得年生产（万件）时，年生产成本为，销售收入为，结合题意，即可求得利润关于促销费的函数关系式；
（3）由（2）知，结合基本不等式，即可求解.
【小问1详解】
由题意知，当时，，
代入，得，解得.
【小问2详解】
由（1）得，，
当年生产（万件）时，年生产成本为，
当销售（万件）时，年销售收入为，
所以利润（万元）表示为促销费（万元）的函数关系式为：
，
即.
【小问3详解】
由（2）知，，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以当促销费投入万元时，企业年利润最大为万元.
18. 函数（且）是定义在R上的奇函数．
（1）求a的值.
（2）判断并用定义法证明的单调性.
（3）若存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）2 （2）证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由奇函数的性质可得，求出的值，再利用函数奇偶性的定义验证即可，
（2）判断出函数在R上为增函数，然后利用函数单调性的定义证明即可；
（3）由（1）知在上单调递增，得，问题转化为，利用函数单调性求出最值得解.
【小问1详解】
由题意，得，解得，
当时，，则，
所以函数奇函数，适合题意，故.
【小问2详解】
函数为R上的增函数.证明如下：
任取，且，则
，
，，即，，，
所以，即，
所以函数为R上的增函数.
【小问3详解】
由（1）得在上单调递增，，
存在，使得成立，即，
令，易知在上单调递增，
所以，即，当且仅当时等号成立，
，所以实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：由在上单调递增，得，将原问题转化为，只需即可，换元令，在上单调递增，求出最小值可得的取值范围.
19. 已知函数．
（1）解关于x的不等式；

（2）若关于x的方程有三个实根，满足．
（i）求参数和实根的值；
（ii）求函数的值域．
【答案】（1）
（2）；.
【解析】
【分析】根据题意，分和两种情况讨论，结合不等式的解法，即可求解;
（i）由(1)得到，转化为有三个实根求解即可；（ii）由（i）可知为关于a的表达式，且a的范围已知，视为定区间函数求最值即可.
【小问1详解】
由，定义域为，
当时，令，
设，则，此时，
，即，即，解出得，即，则；
当时，不等式为，即，等价于，
整理得，解集为，
综上可得，不等式的解集为.
【小问2详解】
（i）由，可得定义域为，
由（1）可知，当时，，
当时，，
令，
关于x的方程有三个实根，
即有三个实根，且，
当时，可得，解得，
且，解得，
当时，有，
可得，解得，
综上可得：.
（ii），
由（i）知，，其中
可得，
设，在时单调递减，
则，所以的取值范围是，
综上可得：的值域为.
高一七班
高一国际部
双方对打
进攻
防守
进攻
防守
进攻
防守
对方分数
12
6
12
2
11
11
对方局数
2
2
2
2
2
2
我方分数
x
y
17
6
11
11
我方局数
z
z
3
2
2
2
高一七班
高一国际部
双方对打
进攻
防守
进攻
防守
进攻
防守
对方分数
12
6
12
2
11
11
对方局数
2
2
2
2
2
2
我方分数
x
y
17
6
11
11
我方局数
z
z
3
2
2
2