四川省成都市石室中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份四川省成都市石室中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共25页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若，“”是“”的（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 即不充分又不必要
3. 函数在区间内的大致图象是下列图中的（ ）
A B.
C. D.
4. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知平行四边形的两条对角线交于点，，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 满足：都有，，，，则，，的大小顺序为（ ）
A B.
C. D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
B. 是，共线的充分不必要条件
C. 若，则
D. 若，，则
10. 已知如图是函数，的部分图象，则（ ）

A. 函数的最小正周期为
B. 函数的在上单调递增
C. 若使得恒成立，则
D. 在上存在最大值，不存在最小值，则取值范围是
11. 已知函数，则（ ）
A. 当时，函数在区间上恰有3040个零点
B. 当时，函数在区间上恰有2026个零点
C. 当时，函数在区间上恰有2168个零点，则正整数的值是2168
D. 当时，函数在区间上恰有4054个零点
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若等边三角形的边长为，则_______ ;
13. 已知，，，，则________．
14. 已知函数的相邻两个对称中心的距离为，且，则函数的图像与函数（且）的图象所有交点横坐标之和为________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15 解答下列各题：
（1）证明：．
（2）化简并求值．
16. 如图所示，在中，是边上的中线，为中点，过点的直线交边，于，两点，设，，，（，与点，不重合）
（1）求和值；
（2）证明：为定值；
（3）求最小值，并求此时的，的值．
17. 某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为28米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1∼12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离与时间的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为分钟．

（1）求1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式；
（2）若只考虑前24分钟，
（i）求1号座舱与地面的距离为16米时的值；
（ii）记1号座舱与4号座舱高度之差的绝对值为米，求的最大值和当取得最大值时的值．
18. 如图，已知扇形半径为1，圆心角为，是扇形弧上的动点，记，
（1）请用来表示平行四边形的面积；
（2）求平行四边形面积的最大值，以及面积最大时角的值；
（3）设，若，求．
19. 已知函数，将的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位长度，最后再把所有点的纵坐标伸长到原来的3倍．得到函数的图象．
（1）求函数图象的对称中心，并写出函数的解析式；
（2）关于的方程在内有两个不同的解，；
①求实数的取值范围；
②用的代数式表示的值．
成都石室中学2024-2025学年度下期高2027届三月月考
数学试题
（满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正弦函数性质及交集的概念直接运算即可.
【详解】因为，所以.
故选：C
2. 若，“”是“”的（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 即不充分又不必要
【答案】A
【解析】
【分析】根据正余弦函数的图像性质，结合充分，必要条件概念判定.
【详解】因，根据正弦函数图象性质，由，得，所以；
而由，由余弦函数性质，得或，此时或．
因此若，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3. 函数在区间内的大致图象是下列图中的（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简，讨论函数在不同区间内的单调性.
【详解】
在上单调增，在上单调减.
【点睛】此题考查正切函数的性质及数形结合的思想.
4. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度
【答案】A
【解析】
【分析】先利用诱导公式化为同名三角函数，然后利用图像变换规律即可得到答案.
【详解】因为，
将图象向右平移个单位长度得到的图象，即函数的图象.
故选：A.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用余弦的二倍角公式结合诱导公式求解即可.
【详解】因为，
所以，
故选：A.
6. 已知平行四边形的两条对角线交于点，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量加法、减法的几何意义求解即可.
【详解】平行四边形的两条对角线交于点，作出图形如下：

由图可得：，故A、B不正确；
，故C不正确，D正确.
故选：D.
7. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将已知两式平方相加，可求出，即可得到的值.
【详解】由，得，①
由，得，②
则①+②并整理得，，
则，
所以
故选：C.
8. 满足：都有，，，，则，，的大小顺序为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由三角恒等变换化简得到，再结合单调性的定义得到为减函数，进而得出大小关系.
【详解】由已知，，
，
，
又在上单调递增，所以，
因为都有，
则，所以函数在上是减函数，
所以.
故选：C.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
B. 是，共线的充分不必要条件
C. 若，则
D. 若，，则
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，利用共线向量和相等向量的定义，即可求解；对于B，应用共线及充分必要条件定义即可判断；对于C，左右两侧平方化简计算即可判断，对于D，利用相反向量的定义，即可求取，即可求解.
【详解】对于选项A，单位向量是指模等于的向量，若两个单位向量平行，它们的方向可能相同或相反，
当方向相反时，这两个单位向量并不相等，所以选项A错误，
对于选项B，若，是零向量可以成立，
因为，则，
即，
即有，故与的方向相反或是零向量可以得出，共线，
，共线且同向时，不能得出，所以选项B正确，
对于选项C，因为，所以，
所以，所以，所以选项C正确，
对于选项D，当时，对于任意向量和，都有且，
但与不一定平行．因为零向量与任意向量都平行，所以选项D错误，
故选：BC.
10. 已知如图是函数，的部分图象，则（ ）

A. 函数的最小正周期为
B. 函数的在上单调递增
C. 若使得恒成立，则
D. 在上存在最大值，不存在最小值，则取值范围是
【答案】BC
【解析】
【分析】由函数过两点和及的范围，可得，的值，即求出函数的解析式，由函数的性质分别判断所给命题的真假．
【详解】由题意可得，即，而，可得，
又因为，即，
结合五点法作图可得，，可得，，
又因为，且，即，即，
可得，所以，
对于A，函数的最小正周期，故A不正确；
对于B，因为，可得，
所以函数在上是单调递增，故B正确；
对于C，当时，，
则，
若使得恒成立，则，故C正确；
对于D，当时，，
因在上存在最大值，不存在最小值，
则，则，故D不正确．
故选：BC.
11. 已知函数，则（ ）
A. 当时，函数在区间上恰有3040个零点
B. 当时，函数在区间上恰有2026个零点
C. 当时，函数在区间上恰有2168个零点，则正整数的值是2168
D. 当时，函数在区间上恰有4054个零点
【答案】ABD
【解析】
【分析】将函数变形为，利用换元法可得，，根据二次函数零点可得原题等价与在题中所给区间的零点问题，结合正弦函数图象分析即可逐一判断.
【详解】，
令，所以，
因为，函数有两个零点，
记的两个零点分别为， ，
则，设，，
，，，
对于，当时，，令，得或，
所以或.
当时，或或，
所以在上有个零点，
而，
所以函数在区间上有个零点，故正确；
对于，当时，，
，，
所以，，
所以函数在上没有零点，在上有两个零点，
而，
所以函数在区间上有个零点，故正确；
对于，当时，，
，，
所以，，
所以函数在上有两个零点，在上没有零点，
因为函数在区间上恰有2168个零点，
而，所以或，故错误；
对于，当时，，
，，
所以，，
所以函数在上有两个零点，在上有两个零点，
而，
所以函数在区间上有个零点，故正确；
故选：.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若等边三角形的边长为，则_______ ;
【答案】
【解析】
【分析】根据数量积的定义即可求出.
【详解】根据题意可得的夹角为，
根据数量积的定义可得.
故答案为：.
13. 已知，，，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据同角关系以及余弦的和差角公式即可求解.
【详解】由以及可得，故，
由以及可得，故，
故，，
故，
故答案：
14. 已知函数的相邻两个对称中心的距离为，且，则函数的图像与函数（且）的图象所有交点横坐标之和为________．
【答案】
【解析】
【分析】由已知条件先求出函数的表达式，探究出函数的对称性，分别画出函数与函数（且）的部分图象，利用函数的周期得到交点情况，从而求出结果.
【详解】依题意，因为函数的相邻两个对称中心的距离为，
则函数的最小正周期为，即，得，
则，
又，即，
所以，
因为，所以，
故，
又因为，所以关于中心对称，
而也关于中心对称，
作出两个函数在原点附近部分图象，
在且内，函数的最小正周期为，
又和也关于对称，，
因为在的右边从第一个周期起两个函数的图象交点都在前半个周期内，
则函数的图像与函数的图象的交点有对，
设两图象的交点的横坐标由小到大为：，
若是交点，则也是交点，则，
所以，所有交点横坐标之和为.
故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 解答下列各题：
（1）证明：．
（2）化简并求值．
【答案】（1）证明见析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）将等式右边按两角和(差)公式展开，再由商数关系化简即可；
（2）由商数关系可得，再代入，根据两角差的余弦公式及特殊三角函数值化简即可.
【小问1详解】
证明：因为
；
所以
【小问2详解】
解：因为
16. 如图所示，在中，是边上的中线，为中点，过点的直线交边，于，两点，设，，，（，与点，不重合）
（1）求和的值；
（2）证明：为定值；
（3）求的最小值，并求此时的，的值．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）最小值为，
【解析】
【分析】（1）根据向量加法的平行四边形法则即可求解；
（2）由已知可得，根据，，三点共线，即可求解；
（3）利用基本不等式即可求解.
【小问1详解】
因为是边上的中线，所以，
所以；
【小问2详解】
因为为中点，所以，
因为，，，
所以，即，
因为，，三点共线，所以，即，
即为定值；
【小问3详解】
由（2）知，
所以，
当且仅当，，即时，等号成立，
所以的最小值为，此时.
17. 某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为28米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1∼12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离与时间的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为分钟．

（1）求1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式；
（2）若只考虑前24分钟，
（i）求1号座舱与地面的距离为16米时的值；
（ii）记1号座舱与4号座舱高度之差的绝对值为米，求的最大值和当取得最大值时的值．
【答案】（1）
（2）（i）分或分；（ii）当或分时，取得最大值
【解析】
【分析】（1）先用正弦型函数设出1号座舱与地面的距离与时间的函数关系，再根据已知条件求出对应参数即可.
（2）把16代入（1）中所求的函数解析式求解即可，继续写出4号座舱与地面的距离与时间的函数关系，两距离作差化简结合正弦型函数性质求的最大值和当取得最大值时的值.
【小问1详解】
设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为，
则，，
所以，
依题意，所以，即
当时， ，所以，
所以.
【小问2详解】
（i）当1号座舱与地面的距离为16米时即，即，
所以，
又因为，所以，
所以或，解得或分，
所以当或分时，1号座舱与地面的距离为16米.
（ii）依题意可知1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为，
4号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为，
所以：
当时，即，
所以当或时，取得最大值.
18. 如图，已知扇形半径为1，圆心角为，是扇形弧上的动点，记，
（1）请用来表示平行四边形的面积；
（2）求平行四边形面积的最大值，以及面积最大时角的值；
（3）设，若，求．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据锐角三角函数可得即可根据面积公式求解,
（2）根据二倍角以及辅助公式化简即可利用三角函数的性质求解，
（3）根据余弦的和差角公式即可求解.
【小问1详解】
过点作的垂线，垂足为，在中，
在中，则
所以，
所以.
【小问2详解】
由题意可得，
由（1）知：
故平行四边形的面积
由于，故，
故当时，即时，取得最大值为
【小问3详解】
设,则
由于，所以，故，
，
19. 已知函数，将的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位长度，最后再把所有点的纵坐标伸长到原来的3倍．得到函数的图象．
（1）求函数图象的对称中心，并写出函数的解析式；
（2）关于的方程在内有两个不同的解，；
①求实数的取值范围；
②用的代数式表示的值．
【答案】（1）；；
（2）①；②答案见解析.
【解析】
【分析】（1）由二倍角的余弦，正弦，公式结合辅助角公式化简求出，再利用正弦函数的单调性求出单调区间即可；再三角函数平移的性质得到；
（2）①由与有两个交点再结合辅助角公式求出实数的取值范围；②设，则，或，利用两角和的正余弦展开式求出和，然后把，平方相加再利用二倍角及诱导公式等化简即可；
【小问1详解】
，
因为，
解得，
所以函数的对称中心为；
将的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍得到，
再向左平移个单位长度得到，最后再把所有点的纵坐标伸长到原来的3倍,可得.
【小问2详解】
① 由（1）可得，
因为关于的方程在内有两个不同的解，，
即与有两个交点，其中，
在，则，有两个交点则
所以；
② 不妨设，
则，，或，，，
当时，
，
，
因为，，
所以，，
两式相加之后可得
，
，
所以，
当时，
；
当时，
；