上海市青浦区协和双语学校2024-2025学年七年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份上海市青浦区协和双语学校2024-2025学年七年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 以下列数据为三边长能构成三角形的是（ ）
A. 1，2，3B. 2，3，4C. 14，4，9D. 7，2，4
2. 下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A. B. C. D.
3 下列命题：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线；
④从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
⑤垂直于同一条直线的两条直线垂直，其中的假命题有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题一定有逆命题B. 真命题一定是定理
C. 真命题的逆命题一定是真命题D. 假命题的逆命题一定是假命题
5. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 三角形的高、中线是线段，角平分线是射线
B. 三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部
C. 钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部
D. 在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线
6. 平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（ ）
A. 1B. 2C. 7D. 8
二、填空题（每题2分，共36分）
7. 命题“对顶角相等”的逆命题是_______．
8. 把命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为________．
9. 若等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长是___________．
10. 在同一平面内，若∠A与∠B两边分别平行，且∠A比∠B的3 倍少40°，则∠A的度数为____．
11. 如图，已知为的中线，，的周长为，则的周长为______．

12. 如图，已知直线、相交于点，，，，___________．
13. 如图，，，平分，则___________
14. 如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、位置，的延长线与相交于点，若，则________．
15. 如图，，，则=___________．
16. 如图，，，且三角形面积为9，则点到的距离是______．
17. 将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，两个三角板的一条直角边共线，含角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则的度数是______度．
18. 如图，，，若使，则可将直线b绕点A逆时针旋转___________度．
19. 如图，中，，于E，，点D在上移动，则的最小值是_________．
20. 在中，为边上的高，，，则是___________度．
21. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为___________．
22. 清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时，____．

23. 如图，在中，点分别为中点，且，则阴影部分的面积为______．
24. 如图，在长方形中，为的中点．动点P从点A出发，以每秒的速度沿的方向运动，最终到达点E．若点P的运动时间为x秒，则当_________时，的面积等于8．

三、解答题
25. 已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数．
（1）若，且c为偶数．求周长．
（2）化简：．
26. 如图，在中，分别为的中线和高，为的角平分线．
（1）若，求的大小．
（2）若的面积为40，，求的长．
27. （1）如图，平分，平分．与有什么数量关系？请证明．
（2）如图，平分外角，平分外角，与数量关系为：___________；
（3）如图，点为内角平分线与外角平分线的交点，与数量关系为：___________：
28. 在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分）
【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明．
【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________
【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________；
2.27七年级下学期数学练习1
一、单选题（每题3分，共18分）
1. 以下列数据为三边长能构成三角形的是（ ）
A. 1，2，3B. 2，3，4C. 14，4，9D. 7，2，4
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角形三边关系进行判定即可．
【详解】解：A、，不符合三角形三边关系，错误，不符合题意；
B、，成立，符合题意；
C、，不符合三角形三边关系，错误，不符合题意；
D、，不符合三角形三边关系，错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查三角形三边关系，判定形成三角形的标准是两小边之和大于最大边，熟练掌握运用三角形三边关系是解题关键．
2. 下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】三角形的高线的定义可得，D选项中线段BE是△ABC的高．
故选：D
3. 下列命题：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线；
④从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
⑤垂直于同一条直线的两条直线垂直，其中的假命题有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；
②在同一平面上，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题；
③把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线，原命题是真命题；
④从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短是真命题；
⑤垂直于同一条直线的两条直线平行，原命题是假命题，
故选：B．
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题一定有逆命题B. 真命题一定是定理
C. 真命题的逆命题一定是真命题D. 假命题的逆命题一定是假命题
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查命题与定理、命题的真假判断、逆命题的概念，解题的关键是掌握：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题；定理是通过逻辑推理证明为真的命题或公式．据此判断即可．
【详解】解：A．命题一定有逆命题，故此选项符合题意；
B．真命题不一定是定理，故此选项不符合题意；
C．真命题的逆命题不一定是真命题，故此选项不符合题意；
D．假命题的逆命题不一定是假命题，故此选项不符合题意．
故选：A．
5. 下列说法中，正确是（ ）
A. 三角形的高、中线是线段，角平分线是射线
B. 三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部
C. 钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部
D. 在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查与三角形有关的线段，解题的关键是理解三角形的高、中线、角平分线的定义，据此分析即可．
【详解】解：A．三角形的高、中线、角平分线都是线段，故此选项不符合题意；
B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部，故引选项符合题意；
C．钝角三角形的三条角平分线都在三角形的内部，故此选项不符合题意；
D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，故此选项不符合题意．
故选：B．
6. 平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（ ）
A. 1B. 2C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】如图（见解析），设这个凸五边形为，连接，并设，先在和中，根据三角形的三边关系定理可得，，从而可得，，再在中，根据三角形的三边关系定理可得，从而可得，由此即可得出答案．
【详解】解：如图，设这个凸五边形为，连接，并设，
在中，，即，
在中，，即，
所以，，
在中，，
所以，
观察四个选项可知，只有选项C符合，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，通过作辅助线，构造三个三角形是解题关键．
二、填空题（每题2分，共36分）
7. 命题“对顶角相等”的逆命题是_______．
【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
【解析】
【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，把原命题的条件与结论互换写出对应的逆命题即可．
【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，
故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．
8. 把命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为________．
【答案】如果两个角相等，那么这两个角的余角也相等．
【解析】
【分析】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是命题的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
命题中的条件是两个角是等角，放在“如果”的后面，结论是这两个角的余角相等，应放在 “那么”的后面．
【详解】解：题设为：两个角是等角；结论为：这两个角的余角相等，
故写成“如果……，那么……”的形式是：如果两个角相等，那么这两个角的余角也相等．
故答案为：如果两个角相等，那么这两个角的余角也相等．
9. 若等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长是___________．
【答案】##12厘米
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形性质及三角形三边关系，解题的关键是根据三角形三边关系及分类讨论腰即可得到答案．
【详解】解：当是腰长时，，无法组成三角形，不符合题意；
当是腰长时，，符合题意，此时周长为：；
综上所述，这个等腰三角形的周长是．
故答案为：．
10. 在同一平面内，若∠A与∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的3 倍少40°，则∠A的度数为____．
【答案】20°或125°
【解析】
【分析】根据平行线性质得出∠A+∠B=180°①，∠A=∠B②，再根据∠A=3∠B-40°，分两种情况分别求出两个角的度数即可．
【详解】解：∵∠A与∠B的两边分别平行，
∴∠A+∠B=180°①或∠A=∠B②，
∵∠A比∠B的3倍少40°，
∴∠A=3∠B-40°③，
把③代入①得：3∠B-40°+∠B=180°，
解得∠B=55°，∠A=125°；
把③代入②得：3∠B-40°=∠B，
解得∠B=20°，∠A=20°，
故答案为：20°或125°．
【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，解题时注意：如果一个角的两边分别和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
11. 如图，已知为的中线，，的周长为，则的周长为______．

【答案】23
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边、的长度的差是解题的关键．根据三角形中线的定义可得，再表示出和的周长的差就是、的差，然后计算即可．
【详解】解：∵是边上的中线，
∴，
∴
，
∵的周长为，
∴周长为：．
故答案为：23．
12. 如图，已知直线、相交于点，，，，___________．
【答案】##30度
【解析】
【分析】本题考查三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和定理得，由对顶角相等得，再利用三角形内角和定理即可得出结论．解题的关键是掌握：三角形内角和为．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案：．
13. 如图，，，平分，则___________
【答案】##151度
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质得，由角平分线的定义得，再根据平行线的性质得，即可得出答案．解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
14. 如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、位置，的延长线与相交于点，若，则________．
【答案】##度
【解析】
【分析】先根据平行线的性质得，，再根据折叠的性质得，则，所以．
【详解】解：∵，
∴，，
∵长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置，
∴，
即，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了折叠的性质．
15. 如图，，，则=___________．
【答案】##70度
【解析】
【分析】根据平行线的性质得出，再根据角的和差关系即可求解．
【详解】∵，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，关键是熟悉两直线平行，同旁内角互补的知识点．
16. 如图，，，且三角形的面积为9，则点到的距离是______．
【答案】3
【解析】
【分析】先利用三角形ABC的面积，求出其BC边上的高AE=3，再利用平行线间距离处处相等，得到C到AD的距离为3．
【详解】解：如图，过A作AE⊥BC于E，
∵△ABC的面积为9，BC=6，
∴BC•AE=9，
∴AE=3，
过C作CF⊥AD于F，
∵AD∥BC，
∴CF=AE=3，
∴点C到AD的距离是3，
故答案为3．
【点睛】本题考查了三角形的面积，点到线段的距离的概念，利用平行间距离处处相等是解决本题的关键．
17. 将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，两个三角板的一条直角边共线，含角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则的度数是______度．
【答案】135
【解析】
【分析】过点E作，根据题意得出，，，根据平行线的性质，得出，求出，最后根据平行线的性质求出即可．
【详解】解：过点E作，如图所示：
根据题意可知，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：135．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线的性质．
18. 如图，，，若使，则可将直线b绕点A逆时针旋转___________度．
【答案】42
【解析】
【分析】先根据邻补角进行计算得到，根据平行线的判定当b与a的夹角为时，，由此得到直线b绕点A逆时针旋转．
【详解】解：如图：

∵，
∴，
∵，
∴当时，，
∴直线b绕点A逆时针旋转．
故答案为：42．
【点睛】本题考查的是平行线的判定定理，熟知同位角相等，两直线平行是解答此题的关键．
19. 如图，中，，于E，，点D在上移动，则的最小值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了与三角形高有关的计算，垂线段最短，根据题意，当时，有最小值，利用即可解答．
【详解】解：根据题意得：当时，有最小值，
中，，于E，，
，
，
，
故答案为：．
20. 在中，为边上的高，，，则是___________度．
【答案】40或80##80或40
【解析】
【分析】根据题意，由于类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形边上和高在三角形外部讨论求解．
【详解】解：根据题意，分三种情况讨论：
①高在三角形内部，如图所示：
在中，为边上的高，，
，
，
；
②高在三角形边上，如图所示：
可知，
，
故此种情况不存在，舍弃；
③高在三角形外部，如图所示：
在中，为边上的高，，
，
，
；
综上所述：或，
故答案：或．
【点睛】本题考查求角度问题，在没有图形的情况下，必须考虑清楚各种不同的情况，根据题意分情况讨论是解决问题的关键．
21. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为___________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查三角形三边关系，设第三边的长为，先根据三角形三边关系定理得，再根据是“倍长三角形”，分四种情况讨论并求解即可．正确理解题意并利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：设第三边的长为，
则，即，
∵是“倍长三角形”，则：
①若，则（不符合题意，舍去）；
②若，则；
③若，则；
④若，则（不符合题意，舍去）；
综上所述，第三条边的长为或．
故答案为：或．
22. 清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时，____．

【答案】
【解析】
【分析】根据公式求得，根据，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴
∴,
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的高的定义，正确的使用公式是解题的关键．
23. 如图，在中，点分别为的中点，且，则阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查根据中点性质求面积，涉及三角形中线将三角形面积等分的性质，熟练根据这个性质，逐渐找到各个三角形之间面积的关系，代值求解即可得到答案，熟记三角形中线将三角形面积等分，数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：点分别为的中点，
，
点分别为的中点，
，
，
，
，则，
故答案为：．
24. 如图，在长方形中，为的中点．动点P从点A出发，以每秒的速度沿的方向运动，最终到达点E．若点P的运动时间为x秒，则当_________时，的面积等于8．

【答案】4或
【解析】
【分析】本题考查了三角形的面积计算，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
分三种情况讨论：①分P在上；②P在上；③P在上三种情况，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵长方形，
∴，
分三种情况讨论：
①当P在上时．
∵的面积等于8，
∴，解得：；
②当P在上时．

∵面积等于8，
∴，
∴，
解得：；
③当P在上时，，
解得：（不合题意）．
故答案为4或．
三、解答题
25. 已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数．
（1）若，且c为偶数．求的周长．
（2）化简：．
【答案】（1）的周长为11或13
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，理解三角形的三边关系成为解题的关键．
（1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而c的值，最后求周长即可；
（2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答．
【小问1详解】
解：，
，即，
由于c是偶数，则或6，
当时，的周长为，
当时，的周长为．
综上所述，的周长为11或13．
【小问2详解】
解：的三边长为a，b，c，
，
．
26. 如图，在中，分别为的中线和高，为的角平分线．
（1）若，求的大小．
（2）若的面积为40，，求的长．
【答案】（1）
（2）8
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形外角性质和三角形面积公式．本题的关键是充分应用三角形的角平分线、高和中线的定义．
（1）先利用三角形的外角性质计算出，再利用角平分线定义得到，然后根据高的定义和互余两角的性质求出的度数；
（2）先根据三角形中线定义得到，然后利用三角形面积公式求的长．
【小问1详解】
解：，
，
平分，
，
为高，
，
；
【小问2详解】
解：为中线，
，
，
．
27. （1）如图，平分，平分．与有什么数量关系？请证明．
（2）如图，平分外角，平分外角，与数量关系为：___________；
（3）如图，点为内角平分线与外角平分线的交点，与数量关系为：___________：
【答案】（1），证明见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质．解题的关键是掌握：三角形外角等于与它不相邻两内角的和．
（1）根据角平分线定义可得，根据三角形内角和为可得，即可得证；
（2）根据角平分线定义可得，，根据三角形内角和为可得，即可得出结论；
（3）根据角平分线定义可得，，根据三角形外角的性质可得，即可得出结论；
【详解】（1）解：．
证明：∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（2）解：．
理由：∵平分，平分，
∴，，
∵，，
∴
，
∵，
∴，
即，
故答案为：；
（3）解：．
理由：∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
28. 在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分）
【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明．
【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________
【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________；
【答案】（1）作图见解析；，证明见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析
【解析】
【分析】本题属于三角形综合题，考查中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积，
（1）过点作交于一点，再根据列式化简，即可得证；
（2）同理得，根据点为中点时得，继而推出，可得结论；
（3）同理结合面积之间的关系列式化简，即可得出结论．
解题的关键是熟练运用数形结合思想．
【详解】解：（1）依题意，边上高如下图所示：
，，之间的数量关系：．
证明：∵，，，，
∴，
∴，
∴；
（2）与的数量关系为：．
理由：如图，过点作交于点，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，点为中点时，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：；
（3），，之间的数量关系：．
理由：如图，过点作交于点，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．