上海市七宝中学2024-2025学年高二下学期开学练习数学试题（原卷版+解析版）

这是一份上海市七宝中学2024-2025学年高二下学期开学练习数学试题（原卷版+解析版），共25页。试卷主要包含了03， 直线倾斜角是______．等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）1-6题每题4分，7-12题每题5分．
1. 若点直线，且直线平面，则________.（填合适的符号）
2. 直线倾斜角是______．
3. 用“斜二测画法”画水平放置的长为6，宽为4的矩形，则其直观图的面积为________．
4. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则_________.
5. 某公司利用随机数表对生产的900支新冠疫苗进行抽样测试，先将疫苗按000，001，…，899进行编号，从中抽取90个样本，若选定从第4行第4列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第3行至第5行），根据下图，读出的第5个数的编号是________．
1676622766 5650267107 3290797853 1355385859 8897541410
1256859926 9682731099 1696729315 5712101421 8826498176
5559563564 3854824622 3162430990 0618443253 2383013030
6. 曲线上的点到直线的最短距离是_______.
7. 如果直线与曲线有公共点，那么b取值范围是______．
8. 已知抛物线的焦点到准线距离为2，过焦点的直线交抛物线于，两点，且，点关于原点的对称点为，则________．
9. 已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，（其中）为其右焦点，设，若，则的取值范围为________．
10. 函数，，若，满足，则的最小值为__________.
11. 如图，在矩形中，，，和交于点，将沿直线翻折，则以下命题中，真命题的序号有________．（写出所有真命题的序号）
①存在，在翻折过程中存在某个位置，使得；
②存在，在翻折过程中存在某个位置，使得；
③存，在翻折过程中存在某个位置，使得平面；
④存在，在翻折过程中存在某个位置，使得平面.
12. 直线与曲线相切也与曲线相切，则称直线为曲线和曲线公切线，已知函数，，其中，若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分）13，14题每题4分，15，16题每题5分．
13. 若，则等于（ ）
A. ﹣3B. ﹣6C. ﹣9D. ﹣12
14. 空气质量指数是反映空气质量状况的指数，指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：
如图是某市10月1日-20日指数变化趋势：
下列叙述错误的是（ ）
A. 这20天中指数值的中位数略高于100
B. 这20天中的中度污染及以上的天数占
C. 该市10月的前半个月的空气质量越来越好
D. 总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好
15. 如图，正方体中，是侧面上的动点，且平面，为的中点．记与平面所成角为，与所成角为，则（ ）
A. B. C. D.
16. 已知函数，，的定义域均为，为的导函数．若为偶函数，且，．现有如下两个命题：①满足以上性质的函数必存在一个驻点为2025；②若数列满足，则数列的前2025项的和为2025．则（ ）
A. ①是真命题，②是假命题B. ①是假命题，②是真命题
C. ①是假命题，②是假命题D. ①是真命题，②是真命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17. 如图所示三棱锥P-ABC，底面为等边三角形ABC，O为AC边中点，且底面ABC，

（1）求三棱锥P-ABC的体积；
（2）若M为BC中点，求PM与平面PAC所成角大小（结果用反三角数值表示）.
18. 为了了解学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性等，某学校对在校1500名学生进行了一次坐位体前屈测试，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取75人，已知这1500名学生中男生有900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为和13.36，女生的平均数和方差分别为和17.56．
（1）求样本中男生和女生应分别抽取多少人；
（2）求抽取的总样本的平均数，并估计全体学生的坐位体前屈成绩的方差．
（参考公式：总体分为2层，各层抽取样本量、样本平均数和样本方差分别为：．记总样本的平均数为，样本方差为，则．
19. 如图所示的某种容器的体积为，它是由圆锥和圆柱两部分连结而成的，圆柱与圆锥的底面圆半径都为.圆锥的高为，母线与底面所成的角为；圆柱的高为.已知圆柱底面造价为元，圆柱侧面造价为元，圆锥侧面造价为元.
（1）将圆柱的高表示为底面圆半径的函数，并求出定义域；
（2）当容器造价最低时，圆柱的底面圆半径为多少？
20. 已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，下顶点为，是线段的中点．已知．
（1）求椭圆方程；
（2）设为椭圆上的点，若，求的取值范围；
（3）过点的动直线与椭圆有两个交点在轴上是否存在点使得恒成立．若存在，求出这个点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
21. 定义：若函数与在公共定义域内存在使得，则称与为“契合函数”．
（1）判断函数和是否为“契合函数”；
（2）若函数和不为“契合西数”，求的取值范围；
（3）若函数和在区间上为“契合函数”，求的取值范围．
七宝中学2024学年第二学期高二年级数学开学练习
2025.03
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）1-6题每题4分，7-12题每题5分．
1. 若点直线，且直线平面，则________.（填合适的符号）
【答案】
【解析】
【分析】由点线面的位置关系判断即可.
【详解】点直线，且直线平面，则，
故答案为：
2. 直线的倾斜角是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据直线方程可得斜率，进而可得倾斜角
【详解】解：由已知，则直线斜率，
又倾斜角的范围为.
故直线的倾斜角是.
故答案为：.
3. 用“斜二测画法”画水平放置的长为6，宽为4的矩形，则其直观图的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】作出直观图，利用平行四边形面积公式即可求解.
【详解】在矩形中，，作出其斜二测直观图，如下图所示：
由题意可知或，
由斜二测画法可知，四边形是平行四边形，
故矩形的直观图的面积为（或）.
故答案为：.
4. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则_________.
【答案】2
【解析】
【详解】试题分析：由双曲线方程可知渐近线方程为，所以.
考点：本题考查双曲线的渐近线.
5. 某公司利用随机数表对生产的900支新冠疫苗进行抽样测试，先将疫苗按000，001，…，899进行编号，从中抽取90个样本，若选定从第4行第4列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第3行至第5行），根据下图，读出的第5个数的编号是________．
1676622766 5650267107 3290797853 1355385859 8897541410
1256859926 9682731099 1696729315 5712101421 8826498176
5559563564 3854824622 3162430990 0618443253 2383013030
【答案】729
【解析】
【分析】找到第4行第4列数开始向右数，三个数字为一组，如果数据超过899则跳过，数到第5个899以内的数字即可.
【详解】从685开始向右数，即685，992，696，827，310，991，696，729，跳过992，991，696重复，跳过，
所以第5个数字为729.
故答案为：729.
6. 曲线上的点到直线的最短距离是_______.
【答案】
【解析】
【详解】时到直线的距离最短，
最短距离为.
7. 如果直线与曲线有公共点，那么b的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】将问题转化为直线与一个半圆有交点的问题，应用数形结合判断b的范围.
【详解】由题设，表示圆的上半部分，如下图：
当直线与圆在第一象限相切时，，则；
当直线过时，；
由上图，要使直线与曲线有公共点，只需.
故答案为：
8. 已知抛物线的焦点到准线距离为2，过焦点的直线交抛物线于，两点，且，点关于原点的对称点为，则________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出抛物线方程，设，则由两点间斜率公式和焦点弦长公式结合，，即可求解.
【详解】由题意知，故抛物线的方程为，
设，则，且，，
所以，
又，所以，
所以.
故答案为：.
9. 已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，（其中）为其右焦点，设，若，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据椭圆的对称性和性质得到四边形矩形，再结合三角函数关系得到与的关系，最后根据的取值范围求出的取值范围.
【详解】设椭圆的左焦点为，因为，关于原点对称，且，根据椭圆的对称性可知四边形为矩形，则.
在中，，则，.
由椭圆的定义可知，又因为，所以，即.
将变形可得：，则.
化简可得：.所以.
已知，则.
当时，；当时，.
所以，则.
那么，即.
故答案为：.
10. 函数，，若，满足，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先确定的单调性，然后证明，再由的单调性得到，最后给出取到等号的例子即可.
【详解】设，则，所以当时，，当时，.
从而在上递减，在上递增，故.
由于，故，即.
假设，则，矛盾；
假设，则，矛盾.
所以，故.
当，时，有，且.
所以的最小值是.
故答案为：.
11. 如图，在矩形中，，，和交于点，将沿直线翻折，则以下命题中，真命题的序号有________．（写出所有真命题的序号）
①存在，在翻折过程中存在某个位置，使得；
②存在，在翻折过程中存在某个位置，使得；
③存在，在翻折过程中存在某个位置，使得平面；
④存在，在翻折过程中存在某个位置，使得平面.
【答案】①②③；
【解析】
【分析】，可得面，可判断①；可得面，可判断②，取，将沿直线翻折到时，可判断③；若平面，又平面，可得，与已知矛盾，可判断④.
【详解】当时，所以此时矩形为正方形，则，
将沿直线翻折，若使得面面，由平面，
面面，所以面，又面，所以，故①正确；
当时，由，且，面，
所以面，又面，所以，故②正确；
在矩形中，，所以将沿直线翻折时，
总有，取，当将沿直线翻折到时，
有，即，且，平面，
此时满足平面，故③正确；
若平面，又平面，则，
所以在中，为斜边，这与相矛盾，故④不正确．
故答案为：①②③．
12. 直线与曲线相切也与曲线相切，则称直线为曲线和曲线的公切线，已知函数，，其中，若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】设切点求出两个函数的切线方程，根据这两个方程表示同一直线，可得方程组，化简方程组，可得得到变量关于其中一个切点横坐标的函数，求导，求出函数的单调区间，结合该函数的正负性，画出函数图象，利用数形结合求出的取值范围.
【详解】设曲线的切点为：，
所以过该切点的切线斜率为，
因此过该切点的切线方程为：
设曲线的切点为：，
所以过该切点的切线斜率为，
因此过该切点的切线方程为：，
则两曲线的公切线应该满足：，可得,
构造函数ht=4t21-1nt(t>0)⇒h't=4t1-2lnt
当t>e12时，单调递减，当时，h't>0,ht单调递增，
所以函数有最大值为，当时，，当0