上海市晋元高级中学附属学校2024-2025学年九年级上学期期末数学复习卷（原卷版+解析版）

这是一份上海市晋元高级中学附属学校2024-2025学年九年级上学期期末数学复习卷（原卷版+解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 计算的结果是 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知点D、E分别在的边AB、AC的反向延长线上，且ED∥BC，如果AD：DB＝1：4，ED＝2，那么BC的长是（ ）
A. 8B. 10C. 6D. 4
3. 在 Rt 中， ， 那么 的三角比值为 的是（ ）
A. B. C. D.
4. 在离旗杆20米处的地方，用测角仪测得旗杆项的仰角为，如测角仪的高为1.5米，那么旗杆的高为（ ）米
A. B. C. D.
5. 如图，已知，，那么下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，是平行四边形ABCD的对角线BD上一点，AM的延长线交BC于点，交DC的延长线于点，图中相似三角形有（ ）
A 6对B. 5对C. 4对D. 3对
二、填空题
7. 已知，那么________．
8. 已知向量、、满足，试用向量、表示向量，那么=________．
9. 在中，，，，则______．
10. 在一个边长为2的正方形中挖去一个小正方形，使小正方形四周剩下部分的宽度均为x，若剩下阴影部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是______．
11. 抛物线的对称轴是____．
12. 抛物线位于轴左侧的部分是______的．（填“上升”或“下降”）
13. 已知二次函数图像的对称轴为直线，则________．（填“＞”或“＜”）
14. 在直角坐标平面内有一点，点与原点的连线与轴的正半轴的夹角为，那么的值为______．
15 ，，，，那么_________．
16. 定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段MN长就是抛物线关于直线的“割距”．已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点B恰好是抛物线的顶点，则此时抛物线关于直线y的割距是______．
17. 如图，已知在中，，，，D是边上一点，将沿翻折，点A恰好落在边上点E处，那么_________．
三、解答题
18 计算：
19. 据说，在距今2500多年前，古希腊数学家就已经较准确地测出了埃及金字塔的高度，操作过程大致如下：如图所示，设AB是金字塔的高，在某一时刻，阳光照射下的金字塔在底面上投下了一个清晰的阴影，塔顶A的影子落在地面上的点C处，金字塔底部可看作方正形FGHI，测得正方形边长FG长为160米，点B在正方形的中心，BC与金字塔底部一边垂直于点K，与此同时，直立地面上的一根标杆DO留下的影子是OE，射向地面的太阳光线可看作平行线（AC∥DE），此时测得标杆DO长为1.2米，影子OE长为2.7米，KC长为250米，求金字塔的高度AB及斜坡AK的坡度（结果均保留四个有效数字）
20. 我们将平面直角坐标系中的图形D和点 P给出如下定义：如果将图形D绕点 P顺时针旋转得到图形，那么图形称为图形D关于点 P的“垂直图形”．
已知点A的坐标为，点B的坐标为，关于原点O的“垂直图形”记为，点A、B的对应点分别为点，．
（1）请写出：点的坐标为 ；点的坐标为 ；
（2）请求出经过点 A、B、的二次函数解析式：
（3）请直接写出经过点 A、B、A'的抛物线的表达式为 ．
21. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，csA＝．D是AB边中点，过点D作直线CD的垂线，与边BC相交于点E．
（1）求线段CE的长；
（2）求sin∠BDE的值．
22. 已知正方形和正方形，点E在边上，点G在边的延长线上，连接，并延长交于点K．
（1）求证：；
（2）如果与交于点H，求证：．
上海市晋元附校
2024－2025上初三期末数学复习卷
一、选择题
1. 计算的结果是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可．
【详解】解：，
故选A．
2. 已知点D、E分别在的边AB、AC的反向延长线上，且ED∥BC，如果AD：DB＝1：4，ED＝2，那么BC的长是（ ）
A. 8B. 10C. 6D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由平行线的性质和相似三角形的判定证明△ABC∽△ADE，再利用相似三角形的性质和求解即可．
【详解】解：∵ED∥BC，
∴∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，
∴△ABC∽△ADE，
∴BC：ED= AB：AD，
∵AD：DB＝1：4，
∴AB：AD=3：1，又ED＝2，
∴BC：2=3：1，
∴BC=6，
故选：C
【点睛】本题考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．
3. 在 Rt 中， ， 那么 的三角比值为 的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据锐角三角函数的正弦，余弦，正切，余切的定义判断即可．
【详解】解：在中，，，，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了锐角三角函数定义，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切，余切的区别．
4. 在离旗杆20米处的地方，用测角仪测得旗杆项的仰角为，如测角仪的高为1.5米，那么旗杆的高为（ ）米
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了已知角的邻边求对边，用正切值计算即可．
【详解】解：如图所示，BD=20米，DE=1.5米
在Rt△ABD中，∠ADB=α
∴
又四边形BCED是矩形，
∴BC=DE=1.5米
∴AC=AB+BC=
所以，旗杆的高为（1.5+20tanα）米．
故选：C
【点睛】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
5. 如图，已知，，那么下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．
【详解】解：，
，，
，故A错误；
，故D正确；
根据平行线分线段成比例定理无法判定B，C，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，正确理解平行线分线段成比例定理是解本题的关键．
6. 如图，是平行四边形ABCD的对角线BD上一点，AM的延长线交BC于点，交DC的延长线于点，图中相似三角形有（ ）
A. 6对B. 5对C. 4对D. 3对
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得到 ， ， ，根据相似三角形的判定定理解答即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ， ， ，
∵，
∴ ，
∵，
∴
∴，
则图中相似三角形有6对，它们分别是：，，，
故选：A．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
二、填空题
7. 已知，那么________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据比例的性质，设x＝2a，则y＝5a，再代入计算即可.
【详解】解：∵ ，
∴可设x＝2a，则y＝3a，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，根据比例式用同一个未知数表示出x，y的值进而求解是解题关键．
8. 已知向量、、满足，试用向量、表示向量，那么=________．
【答案】
【解析】
【分析】根据向量数量积可得，根据向量加减法的互逆性质的即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查向量的数量积，与向量加减法则，掌握向量的数量积，与向量加减法则是解题关键．
9. 在中，，，，则______．
【答案】30°
【解析】
【分析】根据正切定义，先求出，再求出的度数即可．
【详解】解：在中，，，，
，
，
故答案为：
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角形两锐角之间、三边之间和边角之间的关系是解题的关键．
10. 在一个边长为2正方形中挖去一个小正方形，使小正方形四周剩下部分的宽度均为x，若剩下阴影部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出y与x的函数关系式即可．
【详解】解：设剩下部分的面积为y，则：
y=4-(2-2x)²=-4x2+8x（0＜x＜1），
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出是解题关键．
11. 抛物线对称轴是____．
【答案】直线.
【解析】
【详解】试题分析：先把一般式配成顶点式，根据二次函数的性质即可得到抛物线的对称轴．
y=x2+2x=（x+1）2-1，
抛物线的对称轴为直线x=-1．
故答案为直线x=-1．
考点：二次函数的性质．
12. 抛物线位于轴左侧的部分是______的．（填“上升”或“下降”）
【答案】上升
【解析】
【分析】根据二次函数图象的性质解答即可．
【详解】解：∵二次项系数-10时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a
【解析】
【分析】根据对称轴及开口方向确定其增减性即可确定答案．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
∴当x的取值越靠近4函数值就越小，反之越大，
∴>，
故答案为：＞．
【点睛】考查了二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴及开口方向确定其增减性．
14. 在直角坐标平面内有一点，点与原点的连线与轴的正半轴的夹角为，那么的值为______．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】如图所示，过点A作AB⊥x轴于B，根据进行求解即可．
【详解】解：如图所示，过点A作AB⊥x轴于B，
∵A点坐标为（1，2），
∴OB=1，AB=2，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角函数，解题的关键在于能够根据题意得到．
15. ，，，，那么_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．过点作，交于点，交于点，证明，利用相似三角形的性质求出，证明四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，即可求出答案．
详解】解：过点作，交于点，交于点，
，
四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
16. 定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段MN长就是抛物线关于直线的“割距”．已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点B恰好是抛物线的顶点，则此时抛物线关于直线y的割距是______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出B点坐标，从而求出抛物线解析式，然后求出直线与抛物线的两个交点，利用两点距离公式即可求出答案．
【详解】解：∵B直线与y轴的交点，
∴B点坐标（0，3），
∵B是抛物线的顶点，
∴抛物线解析式为，
∴，
解得或，
∴直线与抛物线的两个交点坐标为（0，3），（1，2），
∴抛物线关于直线y的割距是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求一次函数与y轴交点，二次函数与一次函数的交点，两点距离公式，二次函数图像的性质，熟知相关知识是解题的关键．
17. 如图，已知在中，，，，D是边上一点，将沿翻折，点A恰好落在边上的点E处，那么_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形外角性质以及含角的直角三角形，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．先利用互余计算出，再根据折叠的性质得到，根据三角形外角性质计算出，再根据含角的直角三角形进行计算即可．
【详解】解：，
，
将沿翻折，点A恰好落在边上的点E处，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
．
故答案为：．
三、解答题
18. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】先将特殊角的锐角三角函数值代入，再化简，即可求解．
【详解】解：


．
【点睛】本题主要考查了特殊角的锐角三角函数的混合运算，熟练掌握特殊角的锐角三角函数值是解题的关键．
19. 据说，在距今2500多年前，古希腊数学家就已经较准确地测出了埃及金字塔的高度，操作过程大致如下：如图所示，设AB是金字塔的高，在某一时刻，阳光照射下的金字塔在底面上投下了一个清晰的阴影，塔顶A的影子落在地面上的点C处，金字塔底部可看作方正形FGHI，测得正方形边长FG长为160米，点B在正方形的中心，BC与金字塔底部一边垂直于点K，与此同时，直立地面上的一根标杆DO留下的影子是OE，射向地面的太阳光线可看作平行线（AC∥DE），此时测得标杆DO长为1.2米，影子OE长为2.7米，KC长为250米，求金字塔的高度AB及斜坡AK的坡度（结果均保留四个有效数字）
【答案】金字塔的高度AB为米，斜坡AK的坡度为1.833．
【解析】
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比例列式计算即可．
【详解】解：∵FGHI是正方形，点B在正方形的中心，BC⊥HG，
∴BK∥FG，BK==×160=80，
∵根据同一时刻物高与影长成正比例，
∴，即，
解得：AB=米，
连接AK，
=1.833．
∴金字塔的高度AB为米，斜坡AK的坡度为1.833．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解，解此题的关键是找到各部分以及与其对应的影长．
20. 我们将平面直角坐标系中的图形D和点 P给出如下定义：如果将图形D绕点 P顺时针旋转得到图形，那么图形称为图形D关于点 P的“垂直图形”．
已知点A的坐标为，点B的坐标为，关于原点O的“垂直图形”记为，点A、B的对应点分别为点，．
（1）请写出：点的坐标为 ；点的坐标为 ；
（2）请求出经过点 A、B、的二次函数解析式：
（3）请直接写出经过点 A、B、A'的抛物线的表达式为 ．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
（1）根据旋转的性质得到，即可得到答案；
（2）根据待定系数法求解即可；
（3）根据待定系数法求解即可；
【小问1详解】
解：点A的坐标为，点B的坐标为，
由旋转可知，
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：设抛物线解析式为，
将代入，
得，
解得，
；
【小问3详解】
解：设抛物线解析式为，
将代入，
得，
解得，
．
21. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，csA＝．D是AB边的中点，过点D作直线CD的垂线，与边BC相交于点E．
（1）求线段CE的长；
（2）求sin∠BDE的值．
【答案】（1）CE=（2）sin∠BDE=
【解析】
【分析】（1)由勾股定理求出BC，再根据斜边上的中线求出AD，∠DCB=∠B，由余弦定理求出CE;
（2)作EF⊥AB交AB于F，在直角三角形中由勾股定理列出关于BF的关系式，从而求出∠BDE的正弦值。
【详解】解：（1)∵ ∠ACB=90°，AC=6，
cs A=
∴
∴AB=10
∴
又∵D为AB中点，
∴ AD=BD=CD= AB=5，
∴∠DCB=∠B，
∴cs∠DCB=
∴cs∠B=
∴
∴CE=
（2)作EF⊥AB交AB于F，
由（1)知CE=
则BE=8-=
DE= =
设BF=x，则
DF=BD-BF=5-x，
在RtΔDEF中，
EF2=DE2-DF2=()2-(5-x) 2
在RtΔBEF中，
EF2=BE2-BF2=
∴
解得x=
∴sin∠BDE=
【点睛】本题考查锐角三角函数、勾股定理，利用同角的锐角三角函数值相等是关键．方程思想是常用的数学思想．
22. 已知正方形和正方形，点E在边上，点G在边的延长线上，连接，并延长交于点K．
（1）求证：；
（2）如果与交于点H，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据正方形的性质证明，得到，即可得到结论；
（2）根据题意证明，有相似三角形的性质证明即可．
【小问1详解】
证明：正方形，
，
正方形，
，
在和中，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
证明：由题意可得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
．