广东省深圳市宝安中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试模拟试卷

这是一份广东省深圳市宝安中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试模拟试卷，共17页。
A．x＝2022B．x＞2022C．x＜2022D．x≠2022
2．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．科克曲线B．笛卡尔心形图
C．希尔伯特曲线D．斐波那契螺旋线
3．（3分）如图，在△ABC中，BC＝8cm．将△ABC沿BC向右平移，得到△DEF（点E在线段BC上），若要使AD＝3CE成立，则平移的距离是（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm
4．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A'BC'，若点C'在AB上，则AA'的长为（ ）
A．B．4C．D．5
5．（3分）若一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0的一个根为0，则k的值为（ ）
A．k＝0B．k＝1C．k＝﹣1D．k＝1或k＝﹣1
6．（3分）以下说法错误的是（ ）
A．等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线互相重合
B．六边形内角和为1080°
C．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
D．用反证法证明“三角形中必有一个角不大于60°”，可以先假设这个三角形中每一个内角都大于60°
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A（0，3），D（1，0），点C落在x轴的正半轴上，点B落在第一象限内，按以下步骤作图：
①以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交DA，DC于点E，F；
②分别以E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠ADC内交于点G；
③作射线DG，交边AB于点H；
则点H的坐标为（ ）
A．（，3）B．（﹣3，3）C．（3，3）D．（﹣1，3）
8．（3分）如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＞BC，点P从点B出发沿线段BC向点C运动，线段AP的垂直平分线分别交AB、AP于点M、N，设BM＝y，BP＝x，y与x之间的函数图象如图②所示，则图②中a的值为（ ）
A．4B．C．5D．4.5
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣a＝0有两个相等的实数根，则a的值等于 ．
10．（3分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与y＝2x+5的图象交于点P（m，﹣1），则根据图象可得不等式kx+b≥2x+5的解集是 ．
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为2，点B在y轴上，∠AOC＝60°，则点B的坐标为 ．
12．（3分）如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AC＝10，DM＝2，则AB等于 ．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AD＝4，DC＝8，点E为BC的中点，将平行四边形ABCD沿折痕MN翻折，使点D落在点E处，则线段MN的长为 ．
三．解答题（共7小题，满分61分）
14．（8分）解分式方程：
（1）+＝1；
（2）+﹣＝0．
15．（7分）先化简，再求值：﹣÷，其中m＝2020．
16．（8分）第31届世界大学生夏季运动会（简称“成都大运会”）即将在成都开幕、某大运会纪念品专卖店积极做好宣传与备货工作．已知该专卖店销售甲、乙两种纪念品，每个甲种纪念品的进价比每个乙种纪念品的进价多4元，用400元购进甲种纪念品和用240元购进乙种纪念品的数量相同．专卖店将每个甲种纪念品售价定为13元．每个乙种纪念品售价定为8元．
（1）每个甲种纪念品和每个乙种纪念品的进价分别是多少？
（2）根据市场调查，专卖店计划用不超过3000元的资金再次购进甲，乙两种纪念品共400个，假设这400个纪念品能够全部卖出，求该专卖店获得销售利润最大的进货方案．
17．（8分）如图，AC是菱形ABCD的一条对角线，点B在射线AE上．
（1）请用尺规把这个菱形补充完整．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若，∠CAB＝30°，求菱形ABCD的面积．
18．（9分）如图，在▱ABCD中，过点A、C作AF⊥CD，CE⊥AB，分别交AB、CD的延长线于点F和E．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）连接AC，BD交于点O，点G是线段AE的中点，若，OG＝2，求矩形AECF的周长．
19．（10分）【背景】如图1是某品牌的饮水机，此饮水机有开水、温水两个按钮，图2为其信息图．
∫
【主题】如何接到最佳温度的温水．
【素材】水杯容积：700ml．
物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量．即：开水体积×开水降低的温度＝温水体积×温水升高的温度．
生活经验：饮水最佳温度是35℃～38℃（包括35℃与38℃），这一温度最接近人体体温．
【操作】先从饮水机接温水x秒，再接开水，直至接满700ml的水杯为止．
（备注：接水期间不计热损失，不考虑水溢出的情况．）
【问题】
（1）接到温水的体积是 ml，接到开水的体积是 ml；（用含x的代数式表示）
（2）若所接的温水的体积不少于开水体积的2倍，则至少应接温水多少秒？
（3）若水杯接满水后，水杯中温度是50℃，求x的值；
（4）记水杯接满水后水杯中温度为y℃，则y关于x的关系式是 ；若要使杯中温度达到最佳水温，直接写出x的取值范围是 ．
20．（11分）综合与实践：
【问题情境】
活动课上，同学们以等边三角形为背景开展旋转探究活动，数学小组经过研究发现“等边三角形在旋转过程中，对应边所在直线的夹角与旋转角存在一定关系”（注：平面内两直线的夹角是指两直线相交形成的小于或等于90°的角）．如图1，将等边△ABC绕点A逆时针旋转15°得到△ADE，则线段BC与线段DE的夹角∠BMD＝15°．如图2，将等边△ABC绕点A逆时针旋转100°得到△ADE，则线段BC与线段DE所在直线的夹角∠BMD＝80°．
【特例分析】
（1）如图1，若将等边△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△ADE，线段BC与线段DE所在直线的夹角度数为 度；如图2，若将等边△ABC绕点A逆时针旋转110°得到△ADE，线段BC与线段DE所在直线的夹
角度数为 度．
【类比分析】
（2）如图3，已知△ABC是等边三角形，分别在边AB和AC上截取AD和AE，使得AD＝AE，连接DE．如图4，将△ADE绕点A逆时针旋转θ（0°≤θ≤180°），连接CE，当BC和DE所在直线互相垂直时，线段AE，AC，CE之间有怎样的等量关系？试探究你的结论，并说明理由．
【延伸应用】
（3）在（2）的条件下，如图3，若AB＝4，，将△ADE绕点A逆时针旋转θ（0°≤θ≤360°）．当BC和DE所在直线互相垂直时，请直接写出此时CD的长．
广东省深圳市宝安中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x＝2022B．x＞2022C．x＜2022D．x≠2022
【答案】D
2．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．科克曲线B．笛卡尔心形图
C．希尔伯特曲线D．斐波那契螺旋线
【答案】A
3．（3分）如图，在△ABC中，BC＝8cm．将△ABC沿BC向右平移，得到△DEF（点E在线段BC上），若要使AD＝3CE成立，则平移的距离是（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm
【答案】C
4．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A'BC'，若点C'在AB上，则AA'的长为（ ）
A．B．4C．D．5
【答案】A
5．（3分）若一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0的一个根为0，则k的值为（ ）
A．k＝0B．k＝1C．k＝﹣1D．k＝1或k＝﹣1
【答案】C
6．（3分）以下说法错误的是（ ）
A．等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线互相重合
B．六边形内角和为1080°
C．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
D．用反证法证明“三角形中必有一个角不大于60°”，可以先假设这个三角形中每一个内角都大于60°
【答案】B
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A（0，3），D（1，0），点C落在x轴的正半轴上，点B落在第一象限内，按以下步骤作图：
①以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交DA，DC于点E，F；
②分别以E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠ADC内交于点G；
③作射线DG，交边AB于点H；
则点H的坐标为（ ）
A．（，3）B．（﹣3，3）C．（3，3）D．（﹣1，3）
【答案】A
8．（3分）如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＞BC，点P从点B出发沿线段BC向点C运动，线段AP的垂直平分线分别交AB、AP于点M、N，设BM＝y，BP＝x，y与x之间的函数图象如图②所示，则图②中a的值为（ ）
A．4B．C．5D．4.5
【答案】D
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣a＝0有两个相等的实数根，则a的值等于 1 ．
【答案】1．
10．（3分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与y＝2x+5的图象交于点P（m，﹣1），则根据图象可得不等式kx+b≥2x+5的解集是 x≤﹣3 ．
【答案】见试题解答内容
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为2，点B在y轴上，∠AOC＝60°，则点B的坐标为 （0，2） ．
【答案】见试题解答内容
12．（3分）如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AC＝10，DM＝2，则AB等于 6 ．
【答案】见试题解答内容
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AD＝4，DC＝8，点E为BC的中点，将平行四边形ABCD沿折痕MN翻折，使点D落在点E处，则线段MN的长为 ．
【答案】见试题解答内容
三．解答题（共7小题，满分61分）
14．（8分）解分式方程：
（1）+＝1；
（2）+﹣＝0．
【答案】（1）x＝2；
（2）分式方程无解．
15．（7分）先化简，再求值：﹣÷，其中m＝2020．
【答案】见试题解答内容
16．（8分）第31届世界大学生夏季运动会（简称“成都大运会”）即将在成都开幕、某大运会纪念品专卖店积极做好宣传与备货工作．已知该专卖店销售甲、乙两种纪念品，每个甲种纪念品的进价比每个乙种纪念品的进价多4元，用400元购进甲种纪念品和用240元购进乙种纪念品的数量相同．专卖店将每个甲种纪念品售价定为13元．每个乙种纪念品售价定为8元．
（1）每个甲种纪念品和每个乙种纪念品的进价分别是多少？
（2）根据市场调查，专卖店计划用不超过3000元的资金再次购进甲，乙两种纪念品共400个，假设这400个纪念品能够全部卖出，求该专卖店获得销售利润最大的进货方案．
【答案】（1）每个甲种纪念品的进价为10元，每个乙种纪念品的进价为6元；
（2）该专卖店获得销售利润最大的进货方案为购进甲纪念品150个，乙纪念品250个．
17．（8分）如图，AC是菱形ABCD的一条对角线，点B在射线AE上．
（1）请用尺规把这个菱形补充完整．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若，∠CAB＝30°，求菱形ABCD的面积．
【答案】见试题解答内容
18．（9分）如图，在▱ABCD中，过点A、C作AF⊥CD，CE⊥AB，分别交AB、CD的延长线于点F和E．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）连接AC，BD交于点O，点G是线段AE的中点，若，OG＝2，求矩形AECF的周长．
【答案】见试题解答内容
19．（10分）【背景】如图1是某品牌的饮水机，此饮水机有开水、温水两个按钮，图2为其信息图．
∫
【主题】如何接到最佳温度的温水．
【素材】水杯容积：700ml．
物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量．即：开水体积×开水降低的温度＝温水体积×温水升高的温度．
生活经验：饮水最佳温度是35℃～38℃（包括35℃与38℃），这一温度最接近人体体温．
【操作】先从饮水机接温水x秒，再接开水，直至接满700ml的水杯为止．
（备注：接水期间不计热损失，不考虑水溢出的情况．）
【问题】
（1）接到温水的体积是 20x ml，接到开水的体积是 （700﹣20x） ml；（用含x的代数式表示）
（2）若所接的温水的体积不少于开水体积的2倍，则至少应接温水多少秒？
（3）若水杯接满水后，水杯中温度是50℃，求x的值；
（4）记水杯接满水后水杯中温度为y℃，则y关于x的关系式是 y＝100﹣2x ；若要使杯中温度达到最佳水温，直接写出x的取值范围是 31≤x≤32.5 ．
【答案】（1）20x，（700﹣20x）；
（2）秒；
（3）25；
（4）y＝100﹣2x，31≤x≤32.5．
20．（11分）综合与实践：
【问题情境】
活动课上，同学们以等边三角形为背景开展旋转探究活动，数学小组经过研究发现“等边三角形在旋转过程中，对应边所在直线的夹角与旋转角存在一定关系”（注：平面内两直线的夹角是指两直线相交形成的小于或等于90°的角）．如图1，将等边△ABC绕点A逆时针旋转15°得到△ADE，则线段BC与线段DE的夹角∠BMD＝15°．如图2，将等边△ABC绕点A逆时针旋转100°得到△ADE，则线段BC与线段DE所在直线的夹角∠BMD＝80°．
【特例分析】
（1）如图1，若将等边△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△ADE，线段BC与线段DE所在直线的夹角度数为 30 度；如图2，若将等边△ABC绕点A逆时针旋转110°得到△ADE，线段BC与线段DE所在直线的夹
角度数为 70 度．
【类比分析】
（2）如图3，已知△ABC是等边三角形，分别在边AB和AC上截取AD和AE，使得AD＝AE，连接DE．如图4，将△ADE绕点A逆时针旋转θ（0°≤θ≤180°），连接CE，当BC和DE所在直线互相垂直时，线段AE，AC，CE之间有怎样的等量关系？试探究你的结论，并说明理由．
【延伸应用】
（3）在（2）的条件下，如图3，若AB＝4，，将△ADE绕点A逆时针旋转θ（0°≤θ≤360°）．当BC和DE所在直线互相垂直时，请直接写出此时CD的长．
【答案】（1）30，70；
（2）AE2+AC2＝CE2；
（3）2或2．