2024-2025学年第二学期苏科版八年级数学下册期末复习试卷解答

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一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．在每小题恰有一项是符合题目要求的）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可．
【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意，
故选：A．
2．下列说法正确的是（ ）
A．“任意画一个多边形，其内角和是”是必然事件
B．已知某篮球运动员投篮投中的概率为，则他投篮十次可投中6次
C．“从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是红心A”是不可能事件
D．“在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数”是随机事件
【答案】D
【分析】根据概率的意义，随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答．
【详解】解：A、“任意画一个多边形，其内角和是”是随机事件，故不符合题意；
B、已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投篮十次不一定投中6次，故不符合题意；
C、“从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是红心”是随机事件，故不符合题意；
D、“在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数”是随机事件，故符合题意；
故选：D．
3.下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式满足的条件是解答的关键．根据最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽方的因数或因式，可得答案．
【详解】解：A．，被开方数中含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B．是最简二次根式，故本选项符合题意；
C．，被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．，被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意．
故选：B．
如图，在中，的平分线与边相交于点E．
若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，根据平行四边形的性质得，可得，，由角平分线的定义可求解，掌握平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
故选：A．
5．已知都在反比例函数的图象上，
则a，b，c的大小关系用“＜”连接的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，先求出反比例函数的图象两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，再进行判断求解即可．
【详解】解：∵反比例函数，，
∴反比例函数的图象两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，
∵点都在第三象限，
∵，
∴，
又∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴．
故选：A．
如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，E是的中点，连接，
若，则的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．还考查了三角形中位线的性质：三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．
根据平行四边形的性质得出，再由三角形中位线的判断和性质求解即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴；
又∵点E是的中点，
∴是的中位线，
∴；
故选：B．
7．若关于x的分式方程 有增根，则a的值为（ ）
A．4B．C．3D．
【答案】D
【分析】本题主要考查分式方程增根的定义，解决本题的关键是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义．分式方程的增根是使得最简公分母为0的未知数的取值，根据分式方程的增根定义即可求解．
【详解】解：
方程两边同乘得：，
∵方程有增根，
∴满足
解得：
故选：D．
8.小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，
则下列条件添加错误的是（ ）

A．（1）处可填B．（2）处可填
C．（3）处可填D．（4）处可填
【答案】C
【分析】本题主要考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟知菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定条件是解题的关键．根据菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，逐项判断即可．
【详解】解：A．有一个角是直角的平行四边形是矩形，则（1）处可填，原说法正确，不符合题意；
B．有一组邻边相等的矩形是正方形，则（2）处可填，原说法正确，不符合题意；
C．菱形的对边本身相等，（3）处填不能得到四边形是正方形，原说法错误，符合题意；
D．有一个角是直角的菱形是矩形，则（4）处可填，原说法正确，不符合题意；
故选：C．
如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴上，顶点C 在y轴上，
矩形的顶点D在上，顶点F在 y轴上．已知C是的中点，
反比例函数 （）的图象经过点B，图中阴影部分的面积为4，则k的值为（ ）

A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】设，，根据矩形，得到，结合C是的中点，得到，得到，解得的值即可．
本题考查待定系数法求反比例函数，矩形的性质，不规则图形面积，掌握待定系数法求反比例函数方法，矩形的性质，把不规则图形面积转化为规则图形面积是解题关键．
【详解】解：设，，
根据矩形，
得到，
∵C是的中点，
∴，
∴，
根据题意，得，
∴，
解得，
∵反比例函数 （）的图象经过点B，
∴，
故选D．
10． 如图，边长为的正方形，对角线，交于O，E为边上一动点（不与B，C重合），交于F，G为中点．给出如下四个结论：
①； ②点E在运动过程中，面积不变化；
③周长的最小值为； ④点E在运动过程中，与始终相等
其中正确的结论是（ ）

A．①③④B．①②③C．①③D．①④
【答案】A
【分析】①证明，则可证得结论①正确；②由的值随着点E在运动，先变小，后变大，根据三角形面积公式即可判断选项②错误；③根据，得到，设，则，利用勾股定理得到，利用非负数的性质求得的最小值，即可求得选项③正确；④利用直角三角形斜边中线的性质，即可得出选项④正确．
【详解】解：①∵四边形是正方形，相交于点O，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故①正确；
②∵的值随着点E在上由B向C运动过程中，先变小，后变大，
∴面积也先变小，后变大；
故②错误；
③∵，
∴，
设，
则，
∴，
∴当时，有最小值，最小值为，
∵，
∴周长的最小值为；
故③正确；
④∵，G为中点，
∴，
∴点E在运动过程中，与始终相等，
故④正确；
综上，①③④正确．
故选：A．
二、填空题(本大题共有8小题，每小题3分，共24分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上)
11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件可得，即可求解．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴
解得：，
故答案为：．
12．当 时，分式的值为零．
【答案】3
【分析】首先求出使分子为0的字母的值，再检验求得的这个字母的值是否使分母的值不为0．当该值能使分母的值不为0时，就是所要求的字母的值．
【详解】解：由分式的值为零，得，
且，解得．
所以当时，分式的值为零．
故答案为：3．
某校有40人参加全国数学竞赛，把他们的成绩分为6组，第一至第四组的频数分别为10，5，7，6，
第五组的频率是0.20．则第六组的频率是 ．
【答案】0.1
【分析】先求出第五组的频数是8，从而求出第六组的频数，最后求出第六组的频率即可解答．
【详解】解：由题意得：40×0.2=8，
∴第五组的频数是8，
∴40-10-5-7-6-8=4，
∴4÷40=0.1，
∴第六组的频率是：0.1，
故答案为：0.1．
在温度不变的条件下，一定量的气体的压强与它的体积成反比例．
已知时，．当时，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的应用；根据反比例的定义求与的函数表达式，然后根据函数关系代入求值即可求解．
【详解】由反比例函数关系知，，时，，，，所以；
当时，
．
故答案为：．
15．已知2＜a＜3，化简： ．
【答案】3
【分析】根据，则有，然后利用二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴原式=，
故答案为：．
16.如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，
则重叠部分的面积为 ．

【答案】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，折叠的性质等知识，根据矩形的性质及折叠的性质证得，则，设，则在中，根据勾股定理求，再根据三角形面积公式计算即可得到结果，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：根据折叠的性质得，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，解之得：，
∴，
∴，
故答案为：．
17.如图，与位于平面直角坐标系中，，，，
若，反比例函数恰好经过点C，则 ．

【答案】
【分析】过点C作轴于点D，由题意易得，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解．
【详解】解：过点C作轴于点D，如图所示：

∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴点，
∴，
故答案为：．
如图，一次函数的图象为直线l，菱形，、，…
按图中所示的方式放置，顶点，，，，…均在直线l上，顶点O，，，…均在x轴上，则点的纵坐标是 ．

【答案】
【分析】本题考查了一次函数的图象，菱形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识．解题的关键在于推导一般性规律．根据菱形的性质，一次函数的性质，求出，，，推出的纵坐标为，即可．
【详解】解：如图，

当，，则，
当，，则，
∵菱形，菱形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴为的中点，则，
∵菱形，
∴平分，，
∴，，
当，，则，
同理可求，，
当，，则，
同理可求，，……
∴的纵坐标为，
∴点的纵坐标是，
故答案为：．
三、解答题（本大题共有9个小题，满分共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式的乘除及加减运算法则计算即可．
（2）根据完全平方公式、平方差公式、二次根式的性质计算即可．
【详解】（1）
（2）
先化简，再求值：，其中x=−4．
【答案】；
【分析】本题考查了分式化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可，掌握分式混合运算的法则，完全平方公式，平方差公式是解题的关键．
【详解】解：



当时，原式．
21．草长莺飞二月天，某校近期打算组织八年级600名学生进行春游活动，为了提前了解学生最想去的地点，随机抽取部分学生进行调查，其中，可选地点共有四个：A地：华昌龙之谷、B地：珍珠泉、C地：红山动物园、D地：南京国防园（每位同学只选一个地点），根据调查结果制作了如下统计图

由图中给出的信息解答下列问题：
(1)所抽取的样本容量为 ；
(2)请补全条形统计图；
(3)扇形统计图中，喜欢去D处的所对应的扇形圆心角的度数为 ；
(4)请你根据抽样调查的结果，估计该校八年级最喜欢去红山动物园的学生有多少人？
【答案】(1)；
(2)作图见解析；
(3)；
(4)．
【分析】（1）由两个统计图可知“去地”的有人，占调查人数的，根据频率等于频数除以总数，即可求出；
（2）求出“去地”的人数即可补全条形统计图；
（3）先求出“去地”所占百分比，即可求出对应的圆心角度数；
（4）求出“去地”人数占总人数的百分比，即可估计总体中“去地”所占的百分比，进而求出总体“去地”的人数．
【详解】（1）解：
（2）（人）
补全条形统计图如下：

（3）
（4）
（人）
答：该校八年级最喜欢去红山动物园的学生大约有180人．
22．某服装店用6000元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2800元购进第二批该款式的衬衫，
进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元．
(1)这两次各购进这种衬衫多少件？
(2)若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于2600元，则第二批衬衫每件至少要售多少元？
【答案】(1)第一次购进这种衬衫件，则第二次购进这种衬衫件
(2)第二批衬衫每件至少要售170元
【分析】（1）设第一次购进这种衬衫件，根据进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元，列出分式方程，进行求解即可；
（2）设第二次衬衫每件要售元，根据老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于2600元，列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：设第一次购进这种衬衫件，则第二次购进这种衬衫件，由题意，得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
∴，
答：第一次购进这种衬衫件，则第二次购进这种衬衫件．
（2）设第二次衬衫每件要售元，由题意，得：
，
解得：；
∴第二批衬衫每件至少要售170元．
23．在正方形纸片ABCD中，点M、N分别是BC、AD上的点，连接MN．
问题探究：
如图1，作DD′⊥MN，交AB于点D′，求证：MN ＝DD′；
问题解决：
如图2，将正方形纸片ABCD沿过点M、N的直线折叠，点D的对应点D′恰好落在AB上，
点C的对应点为点C′，若B D′＝6， CM＝2，求线段MN的长.
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）过点N作NH⊥BC于H，利用ASA证明△ADD'≌△HNM，得DD'=MN；
（2）连接MD'，设正方形的边长为x，由勾股定理得，BD'2+BM2=D'C'2+C'M2，解方程可得x的值，利用勾股定理求出DD'，再根据（1）知，DD'=MN，从而解决问题．
【详解】解：（1）证明：过点N作NH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠ABM=90°，
∵∠NHB=90°，
∴四边形ABHN是矩形，
∴AB=HN，
∵DD′⊥MN，
∴∠DON=90°，
∴∠OND+∠ODN=90°，
∵∠OND+∠MNH=90°，
∴∠ODN=∠MNH，
∵∠DAD'=∠NHM，AD=NH，
∴△ADD'≌△HNM（ASA），
∴MN=DD'；
（2）连接MD'，DD'，
设正方形的边长为x，由勾股定理得，
BD'2+BM2=D'C'2+C'M2，
∴62+（x-2）2=x2+22，
解得x=9，
∴AB=AD=9，
∴AD'=3，
由勾股定理得，DD'=，
∵MN是DD'的垂直平分线，
由（1）知，DD'=MN，
∴MN=．
24.请阅读下面的材料，并探索用材料中的方法解决问题．
【材料1】
两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，
那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：，我们称的一个有理化因式是．
【材料2】
如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，
使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：．
问题探究：
(1)写出的一个有理化因式： ；
(2)计算：；
(3)将式子分母有理化．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)
(3)
【分析】（1）根据互为有理化因式的定义即可解答；
（2）利用完全平方公式、平方差公式进行计算即可解答；
（3）根据材料2的解题思路进行计算即可．
【详解】（1）解：（1）写出的一个有理化因式：，
故答案为：（答案不唯一）．
（2）解：，
，
，
．
（3）解：
，
，
．
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点 ，．
求两个函数的解析式；
(2) 根据图象，直接写出关于x的不等式的解集；
(3) 若点P为y轴上的一个动点，Q为双曲线上一个动点，
当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出P点坐标．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)．
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，平行四边形的性质：
（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）直接观察图象，即可求解；
（3）分三种情况讨论：若以为边，若以为边，若以为边，即可求解．
【详解】（1）解：把点 代入得：，
∴反比例函数解析式为，
把代入，得：，
解得：，
∴点，
把点，代入得：
，解得：
∴一次函数的解析式为；
（2）解：观察图象得：当或时，，
∴关于x的不等式的解集为或；
（3）解：设点P的坐标为，点Q的坐标为，
若以为边，
，解得：，
此时点P的坐标为；
若以为边，
，解得：，
此时点P的坐标为；
若以为边，
，解得：，
此时点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或
在矩形中，，，G，H分别是边与边上的点，且．
动点P从点D出发，沿向点A运动，同时动点Q从点B出发，沿向点C运动，
点P，Q的运动速度都是，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，
设运动的时间为t．连接，，，．

如图1，求证：四边形为平行四边形；
在点P，Q移动的过程中，求四边形周长的最小值；
如图2，当四边形是菱形时，且，求t的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）证明，可以得到，同理可得，即可得到结论；
（2）由题可知四边形周长为，然后作点H关于的对称点，连接，可得，即当P、G、三点共线时，最小，利用勾股定理解题即可；
（3）设，根据菱形的四条边相等和题目中面积关系列出关于a和t的方程组解题即可．
【详解】（1）证明：由题可得，，
又∵是矩形，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵为平行四边形，
∴四边形周长为，
作点H关于的对称点，连接，
则，，
∴，
则当P、G、三点共线时，最小，

这时，过点作于点M，则，，
∴，
∴四边形周长的最小值为；

（3）解：设，
∵，
∴，，
∵是菱形，
∴，即，
即①，
又∵，
∴，
即②，
联立①②解得：．
27.如图，已知直线经过，两点．
（1）求直线的解析式；
（2）若C是线段OA上一点，将线段CB绕点C顺时针旋转得到CD，此时点D恰好落在直线AB上
①求点C和点D的坐标；
②若点P在y轴上，Q在直线AB上，是否存在以C，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q的坐标，否则说明理由．

【答案】（1）； （2）①C ，D ；②存在，，或
【分析】（1）由题意根据点A，B的坐标，利用待定系数即可求出直线的解析式；
（2）①根据题意过点D作于点E，利用全等三角形的判定先证△BOC≌△CED，可求出DE、OC的长，进而即可得出点C和点D的坐标；
②根据题意设点Q的坐标为（n，- n+3），分CD为边和CD为对角线两种情况考虑：当CD为边时，由C，D的坐标及点P的横坐标可求出n值，进而可得出点Q，Q′的坐标；当CD为对角线时，由C，D的坐标及点P的横坐标，利用平行四边形的对角线互相平分可求出n值，进而可得出点Q″的值．
【详解】解：（1）将，代入得：
解得
直线AB得表达式为．
（2）①过点D作于点E，

，，
．又，
，
，．
设，则点D得坐标为，
点D在直线AB上，
，
，
点C得坐标为，点D得坐标为．
②存在点Q得坐标为，或．
理由如下：
设点Q的坐标为（n，- n+3）．
分两种情况考虑，如图2所示：

当CD为边时，
∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0，
∴0-n=4-1或n-0=4-1，
∴n=-3或n=3，
∴点Q的坐标为（3，），点Q′的坐标为（-3，）；
当CD为对角线时，
∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0，
∴n+0=1+4，
∴n=5，
∴点Q″的坐标为（5，）．
综上所述：存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（3，），（-3，）或（5，）．