山西省晋中市榆次区2025年九年级中考一模数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份山西省晋中市榆次区2025年九年级中考一模数学试卷（原卷版+解析版），共34页。试卷主要包含了依次连接点E，F，G，H等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 下表中记录了大洋洲、欧洲、亚洲和南美洲的陆地海拔的最低海拔：
其中这四大洲中陆地海拔最低海拔最小的大洲是（ ）
A. 大洋洲B. 欧洲C. 亚洲D. 南美洲
2. 2025年第十二届世界运动会（简称成都世运会）将在四川成都举行．在此之前进行了成都世运会会徽的征集活动，以下是部分参选作品，其除文字以外的图案部分既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 右图是亮亮制作的一个几何体的展开图，将其经过折叠可以围成的几何体是（ ）
A. B. C. D.
5. 一副三角板如图放置，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 不等式组的解集是（ ）
A. B. C. D.
7. 某物理兴趣小组调查了解到：声音在干燥空气中传播的速度是空气温度的一次函数，部分数据如下表所示，则v与t之间的关系式为（ ）
A B.
C D.
8. 如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，将一个圆柱形平底玻璃杯置于水平桌面，杯中有一定量的水．向杯中投放大小质地完全相同的棋子，在水面的高度到达杯口边缘之前，每枚棋子都浸没水中．从投放第一枚棋子开始记数，杯中的水面高度与投入的棋子个数之间满足的函数关系是（ ）
A. 正比例函数关系B. 一次函数关系
C. 二次函数关系D. 反比例函数关系
10. 如图，菱形的边长为，，点是边的中点，以点为圆心，的长为半径作弧，交边于点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 计算_________．
12. 如图，小明设计了一个“蝴蝶”的平面图案，整体为轴对称图形．将其放在平面直角坐标系中，点的坐标依次为，则点的坐标为______．
13. 某校准备举办“声动青春 韵诵中华”朗诵活动，要求各班申报两个节目．九年级（1）班准备从《红船》《我喜欢红色》《我有一个梦想》三个文本素材中随机选取两个进行排练，则他们选择《红船》和《我喜欢红色》的概率是______．
14. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸（图1）顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强是汽缸内气体的体积的反比例函数，p关于V的函数图象如图2所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了______．
15. 如图，在中，，点E为边的中点，且，延长到点F，使，连接并延长，交的延长线于点N．若，则线段的长为______．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
17. 春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》在某影院推出了和三种放映版式．小颖调查了解到多数人选择版或版，在该影院购买某时段的《哪吒之魔童闹海》电影票，5张电影票的费用和4张电影票的费用一样；2张电影票和1张电影票共需130元．请你帮助小颖求出该影院《哪吒之魔童闹海》该时段的版和版的电影票单价．
18. 4月23日是“世界读书日”，今年是联合国教科文组织确定“世界读书日”三十周年．某校以此为契机开展了主题教育活动．九年级（1）班班主任王老师对本班学生寒假至今的课外阅读情况进行了调查．首先制作调查问卷，对每位同学寒假至今阅读的课外书籍数量进行调查；然后将所有问卷全部收回，整理数据并绘制成如下统计图（不完整）．
课外读书量条形统计图
课外读书量扇形统计图
请你根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）九年级（1）班共有______名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）九年级（1）班学生寒假至今的课外读书量的中位数是______本，众数是______本；
（4）为了鼓励学生们主动阅读，班主任王老师给寒假至今课外读书量高于全班平均数的学生颁发了“阅读之星”奖章．学生小华找到王老师说：“全班有一半以上的同学课外读书量小于或等于2本，所以全班平均数肯定小于2本．我的课外读书数量为2本，为什么我没拿到奖章？”假如你是王老师，请给出合理解释．
19. 乐乐家距离学校2880米，他每天骑自行车上学．这学期为了提高中考体育项目中1000米跑（男）的成绩，他决定跑步上学．他跑步的速度是骑自行车速度的，若要保证与之前的到校时间一样，需要提前4分钟出发．请你计算乐乐跑步上学的平均速度．
20. “怡然见晋中 欢乐过大年”主题活动中，某校综合实践小组开展了数学实践活动．同学们注意到学校附近的小区高层住宅楼侧面的电子屏（显示“晋中欢迎您”）格外醒目，决定测量该电子屏的高度，并利用课余时间完成了实践调查．如图所示，为住宅楼，为电子屏，为地面．利用无人机在空中点P处测得电子屏顶端点B的俯角，同时测得地面点C的俯角，米，米，米（图中各点均在同一竖直平面内，点A，B，M，N在同一条直线上）．请根据上述数据，求电子屏的高度．（结果精确到1米．参考数据：）

21. 阅读与思考
下面是小华同学的一篇数学反思，请仔细阅读，并完成相应的任务．
任务：
（1）根据以上作法，求证：四边形是矩形，
（2）若将上面材料中所求作的矩形改为菱形，其它条件不变，请用尺规在图3中作出符合条件的菱形；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（3）图2中，若的边，则线段的长为______．
22. 综合与实践
项目主题：爱心发卡 温暖传递
项目背景：寒假期间，王老师计划制作、两款手工发卡，并将售卖后的全部利润捐赠给福利院．为助力王老师确定最优加工方案，实现利润最大化，从而给予福利院儿童更多帮助，小辉开展了以“探究爱心发卡最佳加工方案”为主题的项目化学习．
驱动任务：探究能获取最大日利润的发卡加工方案．
收集信息：
（1）受制作条件限制，王老师每日最多可制作、两款发卡共只，
（2）经市场调查，两款手工发卡市场需求旺盛，预期每日制作的发卡均可售罄．扣除各项成本后，具体获利情况如下：
款：当每天加工只时，每只获利元，如果每天多加工只，那么平均每只获利将减少元；
款：每只获利元．
解决问题：
（1）设王老师每天加工款发卡只，每只款发卡获利元，则与函数关系式为______；
（2）设每日的销售总利润为元，求关于的函数表达式；
（3）通过计算说明使日销售利润最大的加工方案．
23 综合与探究
问题情境：数学活动课上，老师带领同学们以正方形为背景探索几何图形变化中的数学结论．如图1，将边长为4的正方形绕边的中点O顺时针旋转，得到正方形，点A，B，C，D的对应点分别为点E，F，G，H，直线与直线交于点M．
猜想证明：
（1）如图2，在正方形旋转过程中，当点A的对应点E恰好落在对角线上时，试判断此时四边形的形状，并说明理由；
深入探究：
（2）在图1中，猜想线段与的数量关系，并说明理由；
（3）“善思”小组在认真分析正方形旋转到不同位置时的情形后，提出问题：在正方形旋转过程中，当点A，D，F三点共线时，请直接写出线段的长．
榆次区2025年九年级第一次模拟测试题（卷）
数学
注意事项：
1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 下表中记录了大洋洲、欧洲、亚洲和南美洲的陆地海拔的最低海拔：
其中这四大洲中陆地海拔的最低海拔最小的大洲是（ ）
A. 大洋洲B. 欧洲C. 亚洲D. 南美洲
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了有理数大小比较的方法，解题的关键是要明确比较方法．
几个负数，绝对值越大，其值反而越小，据此判断即可．
【详解】解：，，，，
∵，
∴，
∴最低海拔最小的大洲是亚洲．
故选：C ．
2. 2025年第十二届世界运动会（简称成都世运会）将在四川成都举行．在此之前进行了成都世运会会徽的征集活动，以下是部分参选作品，其除文字以外的图案部分既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键．
【详解】解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意；
B、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意；
C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
故选：D．
3. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项可判断A，根据完全平方公式可判断B，根据单项式除以单项式可判断C，根据积的乘方与幂的乘方运算可判断D，从而可得答案．
【详解】解：，不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
，故D符合题意；
故选D
【点睛】本题考查的是合并同类项，完全平方公式的应用，单项式除以单项式，积的乘方与幂的乘方运算的含义，熟记基础运算法则是解本题的关键．
4. 右图是亮亮制作的一个几何体的展开图，将其经过折叠可以围成的几何体是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图确定立体图形是解题的关键；
根据几何体的展开图确定立体图形，即可求解；
【详解】解：根据亮亮制作的一个几何体的展开图，可以看到底面为三角形，侧面为长方形，可以围成的几何体为三棱柱；
故选：B
5. 一副三角板如图放置，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线性质，三角板中角度计算，外角和定理等．根据题意
【详解】解：将和交点命名为，
∵，，
∴，
∴，
故选：B．
6. 不等式组的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
该不等式组的解集为，
故选：A．
7. 某物理兴趣小组调查了解到：声音在干燥空气中传播的速度是空气温度的一次函数，部分数据如下表所示，则v与t之间的关系式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数关系式的知识，掌握以上知识是解题的关键；
分析表格中的数据可得温度每升高，声音的传播速度增快，然后设一次函数关系式为：，分别把，和，代入由此即可得到答案．
【详解】解：分析表格中的数据可得温度每升高，声音的传播速度增快，
即可设一次函数关系式为：，
分别把，和，代入，
得到：，
解得：，
∴，
故选：A．
8. 如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质．连接，根据与相切于点，可知，所以可得，根据三角形外角的性质可得：．
【详解】解：如图所示，连接，
与相切于点，
，
又，
，
又，
，
，
．
故选：C ．
9. 如图，将一个圆柱形平底玻璃杯置于水平桌面，杯中有一定量的水．向杯中投放大小质地完全相同的棋子，在水面的高度到达杯口边缘之前，每枚棋子都浸没水中．从投放第一枚棋子开始记数，杯中的水面高度与投入的棋子个数之间满足的函数关系是（ ）
A. 正比例函数关系B. 一次函数关系
C. 二次函数关系D. 反比例函数关系
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的解析式判断即可；
【详解】解：设水面原来高度为b，每枚棋子可以使水面上升高度为k，投放x枚棋子后水面高度为y，则y=kx+b，符合一次函数解析式，
故选： B．
【点睛】本题考查了函数关系的识别，掌握一次函数的解析式y=kx+b，k、b为常数，k≠0是解题关键．
10. 如图，菱形的边长为，，点是边的中点，以点为圆心，的长为半径作弧，交边于点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，，根据菱形的性质易得到是等边三角形，利用等边三角形的性质求出，同理求出，进而得到的度数，用勾股定理求出，再根据三角形的面积和扇形的面积求出即可．
【详解】解：连接，，如下图
∵四边形是菱形，边长为，，
，，
∴是等边三角形，
∵点是的中点，
∴，，
∴．
同理可得，，
∴，
∴．
由勾股定理得，
∴
．
故选：D．
【点晴】本题考查了等边三角形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理，扇形的面积计算等知识点，作辅助线求出的度数， 的长度是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 计算_________．
【答案】6
【解析】
【分析】利用二次根式的乘法法则进行求解即可．
【详解】解：．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则和二次根式的性质是解题的关键．
12. 如图，小明设计了一个“蝴蝶”的平面图案，整体为轴对称图形．将其放在平面直角坐标系中，点的坐标依次为，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的性质，关于轴对称的点的坐标特征，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据题意得到点关于轴对称，点关于轴对称，根据关于轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同，即可得到答案．
【详解】解：“蝴蝶”的平面图案，整体为轴对称图形，点的坐标依次为，
点关于轴对称，
点关于轴对称，
点坐标为，
点的坐标为，
故答案为：．
13. 某校准备举办“声动青春 韵诵中华”朗诵活动，要求各班申报两个节目．九年级（1）班准备从《红船》《我喜欢红色》《我有一个梦想》三个文本素材中随机选取两个进行排练，则他们选择《红船》和《我喜欢红色》的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查概率计算．根据题意设《红船》《我喜欢红色》《我有一个梦想》为，再根据题意列出符合题意的情况，继而得到本题答案．
【详解】解：设《红船》《我喜欢红色》《我有一个梦想》为，
列表如下：
共有6种等可能情况，其中选择《红船》和《我喜欢红色》的有两种可能，
∴选择《红船》和《我喜欢红色》的概率是：，
故答案为：．
14. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸（图1）顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强是汽缸内气体的体积的反比例函数，p关于V的函数图象如图2所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了______．
【答案】90
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，已知函数值求自变量值等．根据题意先设解析式为，代入得出反比例解析式，再将压强和分别代入求出自变量值再做减法即可．
【详解】解：设反比例函数解析式为：，
将代入中得：，
∴反比例解析式为：，
∴当压强为时，，
当压强为时，，
∴压强由加压到，则气体体积压缩了：，
故答案为：90．
15. 如图，在中，，点E为边的中点，且，延长到点F，使，连接并延长，交的延长线于点N．若，则线段的长为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质和线段中点的知识，掌握以上知识且作出正确的辅助线，是解题的关键；
本题先求得，再根据特殊的直角三角形和勾股定理求得，然后根据三角形相似的判定和性质即可求解的长．
【详解】解：如图：过点作的垂线，垂足为，即，过点作，

∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
在中，，
∵，，
∴，
∵，
即解得：，
在中，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点E为边的中点，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】本题考查实数混合计算，整式混合计算，平方差公式等．
（1）先将每项计算出，再计算除法和乘法，最后计算加法减法即可；
（2）先计算括号内的，再计算减法，最后算除法即可．
【详解】解：（1），
，
，
；
（2），
，
，
，
．
17. 春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》在某影院推出了和三种放映版式．小颖调查了解到多数人选择版或版，在该影院购买某时段的《哪吒之魔童闹海》电影票，5张电影票的费用和4张电影票的费用一样；2张电影票和1张电影票共需130元．请你帮助小颖求出该影院《哪吒之魔童闹海》该时段的版和版的电影票单价．
【答案】3D版电影票单价为40元，IMAX版电影票单价为50元
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的应用．根据题意设该影院《哪吒之魔童闹海》该时段版电影票单价为x元，版电影票单价为y元，再列式计算即可．
【详解】解：设该影院《哪吒之魔童闹海》该时段版电影票单价为x元，版电影票单价为y元，
根据题意，得：
解得：
答：设该影院《哪吒之魔童闹海》该时段版电影票单价为40元，版电影票单价为50元．
18. 4月23日是“世界读书日”，今年是联合国教科文组织确定“世界读书日”三十周年．某校以此为契机开展了主题教育活动．九年级（1）班班主任王老师对本班学生寒假至今的课外阅读情况进行了调查．首先制作调查问卷，对每位同学寒假至今阅读的课外书籍数量进行调查；然后将所有问卷全部收回，整理数据并绘制成如下统计图（不完整）．
课外读书量条形统计图
课外读书量扇形统计图
请你根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）九年级（1）班共有______名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）九年级（1）班学生寒假至今的课外读书量的中位数是______本，众数是______本；
（4）为了鼓励学生们主动阅读，班主任王老师给寒假至今课外读书量高于全班平均数的学生颁发了“阅读之星”奖章．学生小华找到王老师说：“全班有一半以上的同学课外读书量小于或等于2本，所以全班平均数肯定小于2本．我的课外读书数量为2本，为什么我没拿到奖章？”假如你是王老师，请给出合理解释．
【答案】（1）50 （2）见解析
（3）2，2 （4）见解析
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图和条形统计图的综合应用，求总人数，补全条形统计图，中位数和众数定义，平均数定义等．
（1）利用扇形统计图和条形统计图中均有得已知信息，做除法即可得到；
（2）再用（1）问计算出的结果减去其余几组数据即可；
（3）利用中位数和众数定义即可求出；
（4）利用平均数定义解释即可．
【小问1详解】
解：九年级（1）班共有：（人），
故答案为：；
【小问2详解】
解：由条形统计图可得：（人），
画图如下：
；
【小问3详解】
解：∵九年级（1）班共有人，
∴中位数为第和的平均值，
∴中位数为：，
∵阅读本的人数最多，
∴众数为：，
故答案为：2，2；
【小问4详解】
解：全班平均数为本，全班有一半以上同学的课外读书量小于或等于2本，但平均数不一定比2小，平均数会受到极端值的影响，你的读书量2本小于平均数本，所以未拿到奖．
19. 乐乐家距离学校2880米，他每天骑自行车上学．这学期为了提高中考体育项目中1000米跑（男）的成绩，他决定跑步上学．他跑步的速度是骑自行车速度的，若要保证与之前的到校时间一样，需要提前4分钟出发．请你计算乐乐跑步上学的平均速度．
【答案】180米/分
【解析】
【分析】本题考查分式方程应用．根据题意设乐乐骑自行车的速度为x米/分，则乐乐跑步的速度为米/分，再列式计算即可．
【详解】解：设乐乐骑自行车的速度为x米/分，则乐乐跑步的速度为米/分，
根据题意，得，
解得：．
经检验，是原方程的根．
．
答：乐乐跑步上学的平均速度为180米/分．
20. “怡然见晋中 欢乐过大年”主题活动中，某校综合实践小组开展了数学实践活动．同学们注意到学校附近小区高层住宅楼侧面的电子屏（显示“晋中欢迎您”）格外醒目，决定测量该电子屏的高度，并利用课余时间完成了实践调查．如图所示，为住宅楼，为电子屏，为地面．利用无人机在空中点P处测得电子屏顶端点B的俯角，同时测得地面点C的俯角，米，米，米（图中各点均在同一竖直平面内，点A，B，M，N在同一条直线上）．请根据上述数据，求电子屏的高度．（结果精确到1米．参考数据：）

【答案】78米
【解析】
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键；延长交直线于点G，过点C作于点H，由题意易得四边形为矩形，则有，然后根据解直角三角形可进行求解
【详解】解：延长交直线于点G，过点C作于点H，
由题意得，四边形为矩形，
（米）．
在中，，
．
（米）．
米．
．
（米）．
（米）．
在中，，
．
（米）．
（米）．
答：电子屏的高度为78米．
21. 阅读与思考
下面是小华同学的一篇数学反思，请仔细阅读，并完成相应的任务．
任务：
（1）根据以上作法，求证：四边形是矩形，
（2）若将上面材料中所求作的矩形改为菱形，其它条件不变，请用尺规在图3中作出符合条件的菱形；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（3）图2中，若的边，则线段的长为______．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查矩形判定及性质，平行四边形性质及判定，垂直平分线画法，三角函数解直角三角形，勾股定理，相似三角形判定及性质等．
（1）先证明出，继而得到四边形为平行四边形，再加上对角线相等的平行四边形是矩形即可得到答案；
（2）利用垂直平分线画法即可画出菱形；
（3）利用勾股定理求出再证明出，利用相似性质求出，继而求出本题答案．
【小问1详解】
解：在中，
，
∵，
，
，
，
同理：，
∴四边形为平行四边形，
，
∴四边形为矩形；
【小问2详解】
解：∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
∴以点为圆心，大于长为半径作圆，并以点为圆心，大于长为半径作圆，两圆交于两点，连接两点，得到菱形，如图即为所求：
；
【小问3详解】
解：过点C作，交于点N，
，
∵，是平行四边形，
∴，，
∴，
∴在中：由勾股定理，得：
∵，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，
，
故答案为：．
22. 综合与实践
项目主题：爱心发卡 温暖传递
项目背景：寒假期间，王老师计划制作、两款手工发卡，并将售卖后的全部利润捐赠给福利院．为助力王老师确定最优加工方案，实现利润最大化，从而给予福利院儿童更多帮助，小辉开展了以“探究爱心发卡最佳加工方案”为主题的项目化学习．
驱动任务：探究能获取最大日利润的发卡加工方案．
收集信息：
（1）受制作条件限制，王老师每日最多可制作、两款发卡共只，
（2）经市场调查，两款手工发卡市场需求旺盛，预期每日制作的发卡均可售罄．扣除各项成本后，具体获利情况如下：
款：当每天加工只时，每只获利元，如果每天多加工只，那么平均每只获利将减少元；
款：每只获利元．
解决问题：
（1）设王老师每天加工款发卡只，每只款发卡获利元，则与的函数关系式为______；
（2）设每日的销售总利润为元，求关于的函数表达式；
（3）通过计算说明使日销售利润最大的加工方案．
【答案】（1）
（2）
（3）每日加工款只，款只可使日销售利润最大
【解析】
【分析】本题考查了一次函数、二次函数的应用，二次函数的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）根据题意列出与的函数关系式即可；
（2）根据题意列出关于的函数表达式即可；
（3）根据二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设王老师每天加工款发卡只，每只款发卡获利元，则与的函数关系式为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：，
，
；
【小问3详解】
解：方法一：，
当时，有最大值，
当时，，
每日加工款只，款只可使日销售利润最大；
方法二：，
，
当时，有最大值，
当时，，
每日加工款只，款只可使日销售利润最大．
23. 综合与探究
问题情境：数学活动课上，老师带领同学们以正方形为背景探索几何图形变化中的数学结论．如图1，将边长为4的正方形绕边的中点O顺时针旋转，得到正方形，点A，B，C，D的对应点分别为点E，F，G，H，直线与直线交于点M．
猜想证明：
（1）如图2，在正方形旋转过程中，当点A的对应点E恰好落在对角线上时，试判断此时四边形的形状，并说明理由；
深入探究：
（2）在图1中，猜想线段与的数量关系，并说明理由；
（3）“善思”小组在认真分析正方形旋转到不同位置时的情形后，提出问题：在正方形旋转过程中，当点A，D，F三点共线时，请直接写出线段的长．
【答案】（1）四边形为正方形，理由见解析
（2），理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）由旋转性质得，再证明出四边形为矩形，继而证明出本题答案；
（2）连接，证明，继而得到本题答案；
（3）绕点O旋转到点B的对应点F落到直线上，点F的位置确定，根据旋转的性质可以确定点E的位置，从而构图成功，进一步由求出，进而求出的长．
【小问1详解】
解：四边形为正方形，理由如下：
由旋转可得．
，
∵四边形和四边形都是正方形，
，
，
又
，
，
∴四边形为矩形，
又∵O为的中点，
，
∴四边形为正方形；
【小问2详解】
解：，理由如下：
连接，
，
，
，
，
∵四边形和四边形为全等的正方形，
【小问3详解】
解：绕点O旋转到点B的对应点F落到直线上，点F的位置确定，根据旋转的性质可以确定点E的位置，
①当点A，D，F三点共线时，如下图：
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵正方形边长为4，中点为O，的中点O，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当点A，D，F三点共线时，如下图：
，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，解得：，
∴，
综上所述：的长或．
【点睛】本题考查正方形判定及性质，全等三角形判定及性质，矩形判定及性质，旋转性质，相似三角形判定及性质等．
大洲
大洋洲
欧洲
亚洲
南美洲
最低海拔
温度
声速
巧用“对称”作图
问题：已知：如图1，点E是的边上的一点．
求作：矩形，使点F，G，H在的边上，且对角线交点与的对角线交点重合．
分析：所求作的矩形的一个顶点E是已知的，且在的边上，并且矩形对角线交点与的对角线交点重合．矩形与平行四边形都是中心对称图形，所以点E与点G一定关于对角线交点中心对称，这样就可以确定点G了，对角线也随之确定，然后根据矩形对角线的性质可以确定顶点F，H．
作法：1．连接，交于点O．
2．连接并延长交边于点G．
3．以点O为圆心，以的长为半径作弧，交边于点F．
4．连接并延长交边于点H．
5．依次连接点E，F，G，H．
四边形就是所求作的矩形（如图2）．
反思：以上作图中关键利用了图形的对称性．由此想到这种方法可以迁移到其它对称图形的作图中．
大洲
大洋洲
欧洲
亚洲
南美洲
最低海拔
温度
声速
A
B
C
A
B，A
C，A
B
A，B
C，B
C
A，C
B，C
巧用“对称”作图
问题：已知：如图1，点E是的边上的一点．
求作：矩形，使点F，G，H在边上，且对角线交点与的对角线交点重合．
分析：所求作的矩形的一个顶点E是已知的，且在的边上，并且矩形对角线交点与的对角线交点重合．矩形与平行四边形都是中心对称图形，所以点E与点G一定关于对角线交点中心对称，这样就可以确定点G了，对角线也随之确定，然后根据矩形对角线的性质可以确定顶点F，H．
作法：1．连接，交于点O．
2．连接并延长交边于点G．
3．以点O为圆心，以的长为半径作弧，交边于点F．
4．连接并延长交边于点H．
5．依次连接点E，F，G，H．
四边形就是所求作的矩形（如图2）．
反思：以上作图中关键利用了图形对称性．由此想到这种方法可以迁移到其它对称图形的作图中．