山西省晋中市榆社县2025年九年级中考第一次模拟数学试卷（解析版）

这是一份山西省晋中市榆社县2025年九年级中考第一次模拟数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）
1. 计算的结果是（ ）
A. 6B. C. D.
【答案】B
【解析】，
故选：B．
2. 地铁是一种独立的有轨交通系统，不受地面道路情况的影响，能够快速、安全、舒适地运送乘客，而且效率高、无污染，能够实现大运量的要求，具有良好的社会效益．下列四个城市的地铁图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵轴对称图形即沿着对称轴折叠两边能完全重合的图形，
∴C选项符合轴对称图形定义，
故选：C．
3. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
4. 2025年春节是中国“春节”申遗成功后的首个农历新年，被称为首个“非遗版”春节，为迎接这个特别的春节，各地开展了丰富多彩的非遗主题活动．根据山西省文化和旅游厅数据统计，2025年春节放假期间全省共接待国内游客2837.97万人次，同比增长22.20%．数据“2837.97万”用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】2837.97万，
故选：B．
5. 一个物块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若摩擦力与重力G方向的夹角的度数为，则斜面的坡角的度数为（ ）
A.B. C. D.
【答案】C
【解析】将下图中的点进行命名：
根据题意得：，
∴，
∵摩擦力的方向与斜面平行，
∴，
∴，即：，
解得：，
故选：C．
6. 某校“创客作品展示活动”采用民主投票的方式进行评选，即该校每位同学从名候选人中选择名进行无记名投票，进而从中选出获胜者．根据投票结果判断最终获胜者所需要考虑的统计量是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
【答案】C
【解析】由题意知，最终获胜者所需要考虑的统计量是众数，
故选：C．
7. 如图，已知中，为直径，P、D为上两点，过点P作的切线与的延长线交于点C，连接、．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，连接，
是的切线，切点为，
，
，
，
，
，
故选：B．
8. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】A
【解析】∵△=b2-4ac=32-4×1×2=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
9. 一次函数的x与y的部分对应值如下表所示，根据该表反映的变化规律，下列说法正确的是（ ）
A. 的值随值的增大而减小
B. 该函数的图象经过第一、三、四象限
C. 关于的方程的解是
D. 不等式的解集为
【答案】D
【解析】由表格可知，的值随值的增大而增大，故选项A错误；
∴，
当时，，
∴该函数的图象经过第一、二、三象限，故选项B错误；
当时，，故关于的方程的解不是，故选项C错误；
∵的值随值的增大而增大，且当时，，
∴不等式的解集为；故选项D正确；
故选D．
10. 如图，正五边形的对角线相交于点，若，则的长为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】是正五边形，
，，
则，
，，
，
，
，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，即
解得或（负值舍去），
∴，
故选：B．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置）
11. 分解因式：_________．
【答案】
【解析】；
故答案为：．
12. 我省普通高考实行“”模式，包括3门普通高等学校招生全国统一考试科目（以下简称全国统考科目）和3门普通高中学业水平选择性考试科目（以下简称选考科目），其中全国统考科目为语文、数学、外语3门，选考科目由考生从物理和历史2门首选科目中任选1门，从思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中任选2门．开学初，某校对高一新生进行选科操作，若A、B两位同学是该校高一新生，则他们选择同一科再选科目的概率为_________．
【答案】
【解析】将思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目分别记为A、B、C、D，
列表如下：
由表格可知，共有16种等可能得情况，其中选择同一科再选科目的情况有4种，
选择同一科再选科目的概率为，
故答案为：
13. 如图，的顶点A，B，C的坐标分别是，，．以坐标原点为位似中心，相似比为，将缩小，则点C的对应点的坐标为________．
【答案】或
【解析】∵以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，
∴点C的对应点的坐标为或．
14. 如图，点是为直径的半圆上一点，连接，将沿直线翻折，翻折后的圆弧恰好经过点．若，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】如图，连接，作于点，则，
由图可知，阴影部分的面积扇形的面积，
由折叠性质可知：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴扇形的面积是：，
故答案为：．
15. 如图，在中，，，，过点C作于点D，E是的中点，连接并延长，交边于点F，则的长为_________．
【答案】
【解析】在中，，，，
∴，
∴ ．
∵，
∴，即，
解得 ．
在中，，
∴ ．
过点作，交的延长线于点．
∴，
∵是中点，
∴即 ，
且，
∴，
则 ．
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴ ．
解得 ．
所以的长为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：；
（2）解方程组：
解：（1）．
（2），
则把①代入②，得．
解得．
把代入①，得．
∴原方程组的解为．
17. “冰雪同梦，亚洲同心．”2025年2月7日至2月14日，在黑龙江省哈尔滨市举办的第九届亚洲冬季运动会的吉祥物是“滨滨”和“妮妮”．某经销商计划购进一批以“滨滨”和“妮妮”为主题的“手办摆件”和“卡通徽章”进行销售，在采购时发现，用2000元采购“手办摆件”的个数与用2600元采购“卡通徽章”的个数相等，一个“手办摆件”的进价比一个“卡通徽章”的进价少15元．
（1）求采购“手办摆件”和“卡通徽章”的单价分别是多少元．
（2）若该经销商计划采购“手办摆件”和“卡通徽章”共100个，并且总费用不超过6000元，则该经销商至少采购“手办摆件”多少个?
解：（1）设采购“手办摆件”的单价为元，则采购“卡通徽章”的单价为元，
根据题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：采购“手办摆件”的单价为50元，采购“卡通徽章”的单价为65元；
（2）设采购“手办摆件”个，则采购“卡通徽章”个，
根据题意得，
解得，
∵为正整数，
∴的最小值为34，
答：该经销商至少采购“手办摆件”34个．
18. 人工智能是当前科技领域的热门话题，特别是上线后，在知识类任务上水平显著提升，生成速度大幅提高．某学校为了解该校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则表明对人工智能的关注与了解程度就越高．现从八、九年级学生中分别随机抽取20名学生的测试成绩进行整理和分析（得分用表示，且得分为整数，共分为5组：A组：，B组：，C组：，D组：，E组：），下面给出了部分信息：
八年级被抽取的学生测试得分的所有数据如下：
50，51，59，65，66，73，76，79，83，84，84，84，84，86，88，88，92，93，97，98．
九年级被抽取的学生测试得分中D组包含的所有数据如下：
88，88，86，88，88，84，85，89．
八、九年级被抽取的学生测试得分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：上述图表中，__________：__________，__________．
（2）根据以上数据，你认为该校八、九年级哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高？请说明理由．
解：（1）八年级被抽取的学生测试得分的所有数据中，84出现4次是出现次数最多的数据，
；
九年级被抽取的学生测试得分组有：（个），组有：（个），组有：（个），
九年级被抽取的学生测试得分的中位数是组的第、个的平均数，
组数据从小到大排序后为：84，85，86，88，88，88，88，89．
．
九年级被抽取的学生测试得分的中位数是组共有个数据，
D组占比．
；
故答案为：84，，40；
（2）九年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高．理由：
∵八、九年级被抽取的学生测试得分的平均数相同，但九年级测试得分的中位数、众数均大于八年级，
∴九年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高．
19. 如图，某校在综合实践活动课上，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘中放置一个重物（质量固定），在右边可左右移动的托盘中放置一定质量的砝码（质量记为），可使仪器水平平衡（平衡时遵循杠杆平衡条件）．改变托盘与点之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格：
（1）与之间的函数表达式为____________．
（2）当砝码的质量为时，求托盘与点之间的距离．
（3）当托盘向左移动（不能移动到点）时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码?并说明理由．
解：（1）由
中数据可知，，
与之间的函数表达式为，
故答案为：；
（2）把代入，得，解得，
答：当砝码的质量为时，托盘B与点之间的距离是．
（3）应往托盘中添加砝码．理由如下：
∵，
∴该函数图象在第一象限内，的值随值的增大而减小，
∵当托盘向左移动（不能移动到点）时，逐渐减小，
∴逐渐增大，
∴应往托盘中添加砝码．
20. 研学实践：钟鼓楼作为中国古代传统建筑，一般都成为当地的地标，在古时主要承担报时之责．太原钟楼坐落于太原市府东街南侧，它始建于明代中期，是由傅山先生的祖父傅霖筹集资金修建而成．周末某学校研学小组对太原钟楼的高度进行测量．
方案设计：如图，观察员在地面上的点处观察点的仰角为．观察员在点处竖直向上升起一架无人机，当无人机到达离地面的点处时，测得钟楼顶端点的俯角为，
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，两点的水平距离，．请根据上述数据，计算太原钟楼的顶端到地面的距离．（结果精确到；参考数据：，，，，，）
解：过点作于点，延长交于点，如图所示：
则四边形、四边形都是矩形，，
∴，，．
设，则．
在中，，，，
∴．
在中，，，，
∴．
∵，
∴，解得．
∴．
∴．
答：太原钟楼的顶端到地面的距离约为．
21. 阅读与思考
下面是小颖同学复习过程中课后积累笔记的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
任务：
（1）解题思路中“依据”处应填_________；利用尺规在图3中，按照小颖的方法补全图形（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．
（2）补全小颖的证明过程
（3）请你用其他方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，在图4中画出适当的辅助线，并给出解题思路．
（1）解：如图2，
∵是斜边上的中线，
∴
∵，
∴四边形是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形),
补全图形3如下：
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（2）证明：过点作边的垂线，垂足为D．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∴
∵是斜边上的中线，
∴．
∴．
∴D是边中点，即是的垂直平分线．
∴．
∴，即；
（3）解：如解图，延长到点F，使，连接，
∵，
∴，
∴，，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴．
22. 学科实践
请根据以下项目材料，探索并完成任务．
解：任务1：如解图，建立平面直角坐标系．
根据题意，得抛物线的顶点坐标为．
∴可设抛物线的函数表达式为．
由题意易得．
又∵，
∴．
∴点P的坐标为．
把代入，得．
解得．
∴抛物线函数表达式为．
任务2：根据题意，得点N的纵坐标为1．
令，
解得，（不合题意，舍去）．
∴点N的坐标为．
∵抛物线与关于对称，
∴烟花燃尽颗粒物下落后点M的坐标为．
任务3：令，得，
解得，（不合题意，舍去）．
∴观赏人在地面上站立的安全范围在以点为圆心，长为半径的圆外．
23. 综合与探究
问题情境：
如图1，四边形是矩形，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在边上的点处，折痕交边于点，连接．
猜想证明：
（1）判断四边形的形状，并说明理由．
深入探究：
（2）创新小组在解决了上述问题后，继续将矩形沿所在直线折叠，使点，分别落在，边上的点，处，交于点，展开铺平．将绕点逆时针方向旋转，得到，点，的对应点分别为，，如图，连接，．试探究线段，之间的数量关系，并说明理由．问题解决：
（3）在的条件下，若，，在旋转的过程中，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的面积．
解：四边形是正方形，
理由如下：
四边形是矩形，
，
由折叠的性质可得：，，
四边形是矩形，
四边形是正方形；
，
理由如下：
四边形是矩形，
，
由折叠的性质可得：，
，
，
．
由旋转的性质，得，，，
，
，
，
由折叠的性质，知，
在中，，
，即；
或，理由如下：
如下图所示，
，
，
在中，，
根据旋转的性质可得：，
则，
，，
，．
…
0
1
2
…
…
1
4
7
…
平均数/分
众数/分
中位数/分
八年级
79
84
九年级
79
88
托盘与点的距离
10
15
20
25
30
托盘中的砝码质量
30
20
15
12
10
托盘与点的距离
10
15
20
25
30
托盘中的砝码质量
30
20
15
12
10
×年×月×日 晴
在学习“特殊平行四边形”的过程中，我们通过构造矩形，获得了直角三角形斜边上中线的相关性质．基本思路如下：
证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
已知：如图1，在中，，是斜边上的中线．
求证：．
解题思路：如图2，延长到点E，使，连接四边形是平行四边形（依据）→四边形是矩形→矩形的对角线相等→结论．
今天我们学习了“平行线分线段成比例”的相关性质，能否借助这一性质证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一结论呢?小颖给出了如下思路．
已知：如图3，在中，，是斜边上的中线．
求证：
证明：过点作边的垂线，垂足为D．
∵，
∴．
又∵，
∴．
……
课题
如何确定烟花燃放后粉尘颗粒下落的位置
背景
燃放烟花是中国的传统文化，具有吉祥欢乐的象征，烟花射入高空后，光剂燃烧形成五彩缤纷的美丽图案．某数学实践小组对某款烟花展开测试
图示
数据1
图1为一组烟花的燃放实物图，烟花升空到光剂燃尽颗粒物下落过程近似看成抛物线形状，为安全考虑，在一较高的长方体平台上燃放，如图2，平台边长为，高为，为的中点，E为燃放前烟花的喷射点（烟花的高度忽略不计），P为升空后的爆炸点，为，点，E，P在与地面垂直的同一直线上，点N，M分别为抛物线，与平台的交点，抛物线与关于对称，抛物线在距离中心水平距离处达到最高，此时高度为
数据2
抛物线为烟花光剂燃尽颗粒物下落过程中形成的最高且与中心水平距离最远的抛物线，该抛物线外围属于安全范围，其函数表达式满足
问题解决
任务1
确定烟花光剂燃烧颗粒物的运动路径
在图2中以点为坐标原点，CD所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式
任务2
探究烟花燃尽颗粒物下落后的位置
在任务1所建的平面直角坐标系中，求烟花燃尽颗粒物下落后点M的坐标
任务3
确定观看烟花的安全距离
请你计算说明观赏人在地面上站立的安全范围