山西省介休市第一中学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份山西省介休市第一中学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共21页。试卷主要包含了 向量在向量上的投影向量为， 已知，，且，的夹角为，则， 平行四边形中，，若点满足，则， 下列关于向量说法，正确的是等内容，欢迎下载使用。

一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 已知平面向量，且，则
A. B. C. D.
2. 已知平面向量，不共线，，，，则（ ）
A. 三点共线B. 三点共线
C. 三点共线D. 三点共线
3. 向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，，且，的夹角为，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
5. 平行四边形中，，若点满足，则（ ）
A. -8B. 8C. 12D. 16
6. 如图，是边长2的正方形，为半圆弧上的动点（含端点）则的取值范围为（ ）

A. B.
C. D.
7. 设为非零向量，，则“夹角为钝角”是“”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为（ ）

A. 91mB. 74mC. 64mD. 52m
二､多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知是边长为2的等边三角形，分别是边的中点，则不正确的是（ ）
A B.
C D.
10. 下列关于向量说法，正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 在△ABC中，若，则△AOC与△ABC的面积之比为
C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向
D. 若，则存在唯一实数使得
11. 在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 若，则为直角三角形
C. 若为锐角三角形，的最小值为1
D. 若为锐角三角形，则的取值范围为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 如图，在中，点是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交射线于不同的两点．设，则__________．
13. 已知外接圆的圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为______．
14. 如图，在平面四边形中，，当点为边的中点时，的值为__________，当点为边上的动点，的最小值为__________．
四､解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知向量是同一平面内的三个向量，其中．
（1）若，且，求向量的坐标；
（2）若是单位向量，且，求与的夹角.
16. 如图，设是平面内相交成的两条数轴，分别是x轴和y轴正方向的单位向量.若，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.已知的坐标为.
（1）求的大小；
（2）若的坐标为，求与夹角的大小.
17. 以为钝角的中，，若，且，
（1）求的面积，
（2）求．
18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.
（1）求角A；
（2）已知，M点为BC的中点，N点在线段AC上且，点P为AM与BN的交点，求的余弦值.
19. 某景区为吸引游客，拟在景区门口的三条小路之间划分两片三角形区域用来种植花卉（如图中阴影部分所示），已知，三点在同直线上，.

（1）若，求的长度；
（2）求面积的最小值.
介休一中2024—2025学年下学期高一3月月考
数学试题
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知平面向量，且，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：因为，，且，所以，，故选B.
考点：1、平面向量坐标运算；2、平行向量的性质.
2. 已知平面向量，不共线，，，，则（ ）
A. 三点共线B. 三点共线
C. 三点共线D. 三点共线
【答案】D
【解析】
【分析】运用向量共线的判定先证明向量共线，再得到三点共线.
【详解】对于A，，与不共线，A不正确；
对于B，，，则与不共线，B不正确；
对于C，，，则与不共线，C不正确；
对于D，，
即，又线段AC与CD有公共点C，所以三点共线，D正确．
故选：D．
3. 向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】代入投影向量公式，即可求解.
【详解】向量在向量上的投影向量为.
故选：C
4. 已知，，且，的夹角为，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的减法运算可得，平方后结合数量积的运算，即可求得答案.
【详解】由题意得，所以
，
故，
故选：D
5. 平行四边形中，，若点满足，则（ ）
A. -8B. 8C. 12D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】由基底表示出，由数量积的运算律求解即可.
【详解】因为，
所以，，
因为，
，
，
则
.
故选：B.
6. 如图，是边长2的正方形，为半圆弧上的动点（含端点）则的取值范围为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据数量积的几何意义结合已知图形得出的最值，再利用数量积即可求出.
【详解】，由投影的定义知，结合图形得，
当过P的直线与半圆弧相切于P点且平行于BC时，最大为，
此时；
当P在C或B点重合时，最小为，
此时
∴
故选：C
7. 设为非零向量，，则“夹角为钝角”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】将模的关系平方得到，进而判断即可.
【详解】由，
平方得，，
即，
又因为，即，
所以，所以夹角为钝角或平角，
所以“夹角为钝角”是“”的充分不必要条件.
故选：A
8. 如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为（ ）

A. 91mB. 74mC. 64mD. 52m
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理求解即可.
【详解】在△中，,
在△中，,,
则,
由正弦定理得，即，解得,
在△中，，
故选:.
二､多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知是边长为2的等边三角形，分别是边的中点，则不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据向量的运算法则得到ABC错误，由向量数量积的定义式可得D正确，
【详解】对选项A：，故A错误；
对选项B：，故B错误；
对选项C：，故C错误；
对选项D：，故D正确.
故选：ABC
10. 下列关于向量说法，正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 在△ABC中，若，则△AOC与△ABC的面积之比为
C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向
D. 若，则存在唯一实数使得
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，举例判断，对于B，设为的中点，连接，则可得，从而分析判断，对于C，对已知等式两边平方化简进行判断，对于D，举例判断.
【详解】对于A，当时，因为零向量与任意向量都平行，所以，成立，而此时不一定平行，所以A错误，
对于B，因为，所以，设为的中点，连接，
则，所以，所以点到距离等于点到的距离的3倍，
所以△AOC与△ABC的面积之比为，所以B正确，
对于C，由，得，化简得，
所以，所以与的夹角为，所以与共线且反向，所以C正确，
对于D，当时，不存在唯一实数使得，所以D错误.
故选：BC
11. 在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 若，则为直角三角形
C. 若为锐角三角形，的最小值为1
D. 若为锐角三角形，则的取值范围为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据正弦定理和三角恒等变换可得，即可得，所以A正确；再利用由正弦定理计算可得，可得，B正确；由锐角三角形可得，再由二倍角公式可得，即C错误；由正弦定理可得，结合的范围并利用函数单调性可得D正确.
【详解】对于中，由正弦定理得，
由，得，即，
由，则，故，所以或，
即或（舍去），即，A正确；
对于B，若，结合和正弦定理知，
又，所以可得，B正确；
对于，锐角中，，即.
故，C错误；
对于，在锐角中，由，
，
令，则，
易知函数单调递增，所以可得，D正确；
故选：ABD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 如图，在中，点是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交射线于不同的两点．设，则__________．
【答案】3
【解析】
【分析】由三点共线，可用两种方法表示向量，然后由平面向量基本定理可得答案.
【详解】如图，连接AO，因三点共线，且点是边上靠近的三等分点，
则.
又注意到三点共线，
则，
又，则，
则，由平面向量基本定理，
可得.
故答案为：
13. 已知外接圆的圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据向量关系得出向量夹角，再结合向量的投影向量公式计算即得.
【详解】因为，所以O是的中点，又外接圆的圆心为，所以，
可得，所以，
所以向量在向量上的投影向量为.

故答案为：
14. 如图，在平面四边形中，，当点为边的中点时，的值为__________，当点为边上的动点，的最小值为__________．
【答案】 ①. ##1.5 ②.
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，把向量用坐标表示，进而计算数量积并结合函数性质求出最小值.
【详解】以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.
因为，，所以，.
设，由，，，
，则①；
又，，，，即，
得，代入①式解得，所以.
设，，则，
,
所以点坐标为.
则
，
当点为边的中点时，即时，；
当点为边上的动点时，当时，取得最小值.
故答案为：；
四､解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知向量是同一平面内的三个向量，其中．
（1）若，且，求向量的坐标；
（2）若是单位向量，且，求与的夹角.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）设，由，且，列出方程组，求得的值，即可求解；
（2）由，求得，利用向量的夹角公式，求得，即可求解.
【小问1详解】
解：设，因为，且，
可得，解得或，
所以或.
小问2详解】
解：因为，且为单位向量，可得，，
又因为，可得，所以，
则，
因为，所以.
16. 如图，设是平面内相交成的两条数轴，分别是x轴和y轴正方向的单位向量.若，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.已知的坐标为.
（1）求的大小；
（2）若的坐标为，求与夹角的大小.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）先计算，再由，平方即可计算模长；
（2）由，先计算，再由可得夹角的余弦值，从而得解.
【详解】（1）分别是x轴和y轴正方向的单位向量，且夹角为，所以，
的坐标为，所以，
所以，
所以，
（2）的坐标为，所以，
,
所以与夹角的余弦值为
所以与夹角的大小为.
17. 以为钝角的中，，若，且，
（1）求的面积，
（2）求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意可得，根据数量积的运算律求出，利用同角三角函数关系求得，代入面积公式求解即可；
（2）由数量积的运算律、定义计算可得.
【小问1详解】
因为，所以，
所以，
所以，
即，解得或（舍去），
因为，所以，
所以的面积为；
【小问2详解】
.
18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.
（1）求角A；
（2）已知，M点为BC的中点，N点在线段AC上且，点P为AM与BN的交点，求的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理进行边化角并化简得，根据角的范围，则可求出其大小；
（2）由向量运算得，展开代入数据即可得到其值，再分别计算出和，利用向量夹角公式即可.
【小问1详解】
则由正弦定理得
化简得：
，,
，则，
，，
即.
【小问2详解】
，
点为BC的中点
，
，
，
，
.
即的余弦值为.
19. 某景区为吸引游客，拟在景区门口的三条小路之间划分两片三角形区域用来种植花卉（如图中阴影部分所示），已知，三点在同直线上，.

（1）若，求的长度；
（2）求面积的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理求得的长，利用三角函数的恒等式，结合正弦定理，可得答案；
（2）设出未知角，表示出边长，利用三角形面积公式，整理其函数解析式，根据三角函数恒等式以及二次函数性质，可得答案.
【小问1详解】
因为，
所以在中，由余弦定理可得，
所以，解得.
由正弦定理得，即，解得，
所以.
可得
.
在中，由正弦定理得，则，
解得，所以.
【小问2详解】
设，则，由于，则.
在中，由正弦定理得，解得.
过点作的垂线，交于点，设的面积为.
则.
所以，所以.
所以
，
即面积的最小值为.