山东省枣庄市峄城区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份山东省枣庄市峄城区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题（原卷版+解析版），共31页。试卷主要包含了考试时，不允许使用科学计算器；等内容，欢迎下载使用。
说明：
1．考试时间为120分钟，满分120分．
2．选择题答案用2B铅笔涂在答题纸答题相应位置上；
3．考试时，不允许使用科学计算器；
4．不得用铅笔或红色笔在答题纸上答题．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．
1. 在中，，，的对边分别是，，．下列条件不能判定是直角三角形的是 （ ）
A. B.
C. D. ，
2. 若m为实数，在“□m”的“□”中添上一种运算符号（在“”“”“”“”中选择）后，其运算的结果为有理数，则m的值不可能是（ ）
A. B. C. D.
3. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（ ）
A. 2B. 4C. D.
4. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是（ ）
A. B. 4C. 5D.
5. 如图，为判断一段纸带两边a，b是否平行，小明在纸带两边a，b上分别取点A，B，并连接．下列条件中，能得到的是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后1.5小时追上甲车；④当乙追上甲后，甲乙两车相距50千米时，或．其中正确的结论有（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
7. 对于一次函数的图象与性质，下列结论正确的是（ ）
A. 的值每增加1，的值就减少2B. 该函数的图象不经过第一象限
C. 当大于0时，的值大于3D. 该函数的图象与直线平行
8. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A. B. C. D.
9. 学校图书馆为了筹备图书馆书籍，对全校同学喜欢阅读的书籍类型进行了调查统计再决定购进图书．下面的调查数据中，最应该关注的是（ ）
A 平均数B. 中位数C. 众数D. 加权平均数
10. 如图，已知直线，现将含角的直角三角板放入平行线之间，两个锐角顶点分别落在两条直线上．若，则的度数为（ ）

A B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题填对得3分，共18分．只要求在答题纸上填写最后结果．
11. 如图所示，正方形和正方形的面积分别是100和36，，则以为直径的半圆的面积是_______．
12. 如图1是一款竹木材质的二宫格托盘，从内部测得每个格子的底面均是边长为的正方形，且深为，两个格子之间的隔断厚．图2是该托盘的俯视图（即从上面看到的形状图），若一只蚂蚁从该托盘内部底面的顶点A处，经托盘隔断爬行到内部底面的顶点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为______．
13. 下列命题：
①两直线平行，同旁内角相等；
②实数与数轴上的点一一对应；
③是无理数；
④三角形的一个外角大于任何一个内角．
其中，不是真命题的是____________．（把你认为正确结论的序号都填上）
14. 甲、乙两队学生参加学校仪仗队选拔，两队队员的平均身高均为，甲队队员身高的方差为，乙队队员身高的方差为，若要求仪仗队身高比较整齐，应选择_______队较好．
15. 如图，已知一次函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解为_______．

16. 已知，直角三角形纸片中，，，．点D是边上的一个动点，将该纸片沿所在直线折叠，点A的对应点为点E．请从下面A，B两题中任选一题作答．
A．如图1，若点E落在边上，线段的长为______；
B．如图2，若点E落在边上，线段的长为______．

三、解答题：本题共8小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：
（1）；
（2）．
18. 阅读材料：小强同学在解方程组时发现，可将第一个方程通过移项变形为，然后把第二个方程中的换成7，可以很轻松地解出这个方程组．小强同学发现的这种方法叫作“整体代入法”，是中学数学里很常用的一种解题方法．
（1）请按照小强的解法解出这个方程组；
（2）用整体代入法解方程组
19. 如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
（1）将点A，B，C的横坐标乘，纵坐标不变，依次得到点D，E，F．请在图中画出；
（2）上面所画与位置关系为______．
（3）若与关于x轴对称，请画出，此时C，两点之间的距离为______．
20. 睡眠时间和睡眠质量是影响青少年身体健康的重要指标，某校为了解学生非假日时间的夜间睡眠时间（单位：h），随机调查了该校部分学生非假日时间的夜间睡眠时间．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）该校本次调查的学生人数为__________，图①中m的值是__________；
（2）求调查的这组学生夜间睡眠时间数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据调查的这组学生夜间睡眠时间的样本数据，若该校有1800名学生，估计该校学生非假日时间每天夜间睡眠时间为9小时及以上的学生人数．
21. 数学课上，李老师提出下面的问题：
已知：如图，在中，，是外角的角平分线．
求证：．
小晗的思路如下，请在括号内填写推理依据并完成证明．
证明：∵是的外角，
∴（__________）．
∵，
∴．
……
22. 某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，计划购买黑白两种颜色的文化衫进行手绘设计后出售，并将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从批发市场花3600元购买了黑白两种颜色的文化衫200件．每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如下表：
假设通过手绘设计后全部售出，求该校这次义卖活动所获利润．
23. 实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．

（1）如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且则______， ______；
（2）在（1）中，若，则______；若，则______；
（3）由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜a，b的夹角______时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a，b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，请说明理由．
24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，点C是线段上的一个动点（不与点O，点A重合），过点C作x轴的垂线l交直线于点D，在射线上取点E，使．设点C的横坐标为m．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若点E落在直线上，求m的值；
（3）请从A，B两题中任选一题作答，我选择_____题．
A．若线段的长等于的一半时，求m的值；
B．若的面积等于面积的一半，求m的值．
2024―2025学年度第一学期期末质量监测
八年级数学试题
说明：
1．考试时间为120分钟，满分120分．
2．选择题答案用2B铅笔涂在答题纸答题相应位置上；
3．考试时，不允许使用科学计算器；
4．不得用铅笔或红色笔在答题纸上答题．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．
1. 在中，，，的对边分别是，，．下列条件不能判定是直角三角形的是 （ ）
A. B.
C. D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识点，灵活运用根据勾股定理逆定理判定三角形是否为直角三角形成为解题的关键．
根据三角形内角和定理可判断选项A、B是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断选项C、D 是否是直角三角形．
【详解】解：∵，，
∴，
∴是直角三角形，故A不符合题意；
∵，
∴，
∴是直角三角形，故B不符合题意；
∵，
∴设，
又∵，
，
∴是直角三角形，故C不符合题意；
∵，，
∴，
∴不是直角三角形，故D符合题意．
故选：D．
2. 若m为实数，在“□m”的“□”中添上一种运算符号（在“”“”“”“”中选择）后，其运算的结果为有理数，则m的值不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的运算，分母有理化，依据题意对每个选项进行逐一判断是解题的关键．
依据题意对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：如果“□”中添上的是“”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项D中的代数式，因此选项D不符合题意；
如果“□”中添上的是“”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项A、B中的代数式，因此选项A、选项B不符合题意；
如果“□”中添上的是“”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项D、B中的代数式，因此选项B、选项D不符合题意；
如果“□”中添上的是“”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项A中的代数式，因此选项A不符合题意；
综上所述，m的值不可能是选项C中的代数式，
故选：C．
3. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】本题主要考查了两点间距离公式，根据两点间距离公式进行计算，即可得出答案．
【分析】解：由题意得，点P到坐标原点的距离为：
．
故选：D．
4. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是（ ）
A. B. 4C. 5D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，轴对称的性质，掌握关于轴对称点的坐标性质是解题关键．根据关于轴对称点的坐标性质“横坐标相等，纵坐标互为相反数”，求解即可．
【详解】解：点与点关于轴对称，
，，
，，
，
故选：A．
5. 如图，为判断一段纸带的两边a，b是否平行，小明在纸带两边a，b上分别取点A，B，并连接．下列条件中，能得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线的判定定理进行判断即可．
【详解】解：A、，和邻补角，不能证明；
B、，和同旁内角，同旁内角相等不能证明；
C、，和属于内错角，内错角互补不能证明；
D、∵，∴（同旁内角互补两直线平行）；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定定理，熟知：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；是解本题的关键．
6. 如图，甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后1.5小时追上甲车；④当乙追上甲后，甲乙两车相距50千米时，或．其中正确的结论有（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的应用，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，进而判断，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可得出答案．掌握一次函数图象的意义是解题的关键，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考常考题型．
【详解】图象可知、两城市之间的距离为，甲行驶的时间为小时，而乙是在甲出发小时后出发的，且用时小时，即比甲早到小时，故①②都正确；
设甲车离开城的距离与的关系式为，
把代入可求得，
，
设乙车离开城的距离与的关系式为，
把和代入可得，解得，
，
令可得：，解得，
即甲、乙两直线的交点横坐标为，
此时乙出发时间为小时，即乙车出发小时后追上甲车，故③正确；
当乙追上甲后，令，
解得，
当乙到达目的地，甲自己行走时，，
解得，
∴综上所述，当乙追上甲后，甲乙两车相距50千米时，或．故④正确；
综上可知正确的有①②③④，共4个．
故选：D．
7. 对于一次函数的图象与性质，下列结论正确的是（ ）
A. 的值每增加1，的值就减少2B. 该函数的图象不经过第一象限
C. 当大于0时，的值大于3D. 该函数的图象与直线平行
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数的图象和性质，依次判断各个选项即可．
【详解】解：A、设该一次函数经过点，且，则，∴的值每增加1，的值就减少2，故A正确，符合题意；
B、∵，∴该函数经过第一、二、四象限，故B不正确，不符合题意；
C、当时，，∵，∴y随x的增大而减小，∴当大于0时，的值小于3，故C不正确，不符合题意；
D、∵该函数，直线的，∴该函数的图象与直线不平行，故D不正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性质．
8. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，得绳子长木头的长，绳子的一半长木头的长，解答即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得绳子长木头的长，绳子的一半长木头的长，
列方程组得，
故选：A．
9. 学校图书馆为了筹备图书馆书籍，对全校同学喜欢阅读的书籍类型进行了调查统计再决定购进图书．下面的调查数据中，最应该关注的是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 加权平均数
【答案】C
【解析】
【分析】本体考查了众数、中位数、平均数的意义，解题时要注意题目的实际意义．众数、中位数、平均数从不同角度反映了一组数据的集中趋势，但该问题应当看喜欢哪种阅读的书籍类型人最多，故应当用众数．
【详解】解：由题意，最应该关注的是众数；
故选C．
10. 如图，已知直线，现将含角的直角三角板放入平行线之间，两个锐角顶点分别落在两条直线上．若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．根据已知条件得出 ，根据两直线平行，内错角相等即可得出答案．
【详解】解：如图：
∵，，
∴，
∵，
∴．
二、填空题：本题共6小题，每小题填对得3分，共18分．只要求在答题纸上填写最后结果．
11. 如图所示，正方形和正方形的面积分别是100和36，，则以为直径的半圆的面积是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理，根据勾股定理正确求出的长是解题关键．根据正方形的面积公式可求出，，结合勾股定理可求出，最后根据圆的面积公式求解即可．
【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别是100和36，
∴，，
∵，
∴，
∴以为直径的半圆的面积是．
故答案为：．
12. 如图1是一款竹木材质的二宫格托盘，从内部测得每个格子的底面均是边长为的正方形，且深为，两个格子之间的隔断厚．图2是该托盘的俯视图（即从上面看到的形状图），若一只蚂蚁从该托盘内部底面的顶点A处，经托盘隔断爬行到内部底面的顶点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了由从不同方向看几何体以及勾股定理等知识点，掌握长方体的展开图特点是解答本题的关键．根据长方体的展开图以及勾股定理解答即可．
【详解】解：如图所示，把包含A．B两点的两个格子及其隔断展开成一个平面图形，
此时，蚂蚁爬行最短距离为线段长度，
由勾股定理得，，
故答案：．
13. 下列命题：
①两直线平行，同旁内角相等；
②实数与数轴上的点一一对应；
③是无理数；
④三角形的一个外角大于任何一个内角．
其中，不是真命题的是____________．（把你认为正确结论的序号都填上）
【答案】①③④
【解析】
【分析】本题考查了判断命题的真假、平行线的性质、实数与数轴、三角形外角的性质，根据平行线的性质、实数与数轴、无理数的定义、三角形外角的性质逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：①两直线平行，同旁内角互补，故原说法错误，不是真命题，
②实数与数轴上的点一一对应，故原说法正确，是真命题；
③有理数，故原说法错误，不是真命题，
④三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，故原说法错误，不是真命题，
综上所述，不是真命题的是①③④，
故答案为：①③④．
14. 甲、乙两队学生参加学校仪仗队选拔，两队队员的平均身高均为，甲队队员身高的方差为，乙队队员身高的方差为，若要求仪仗队身高比较整齐，应选择_______队较好．
【答案】甲
【解析】
【分析】根据方差的意义判断即可．
【详解】∵，
∴，
∴估计这两支仪仗队身高比较整齐的是甲，
故答案为：甲．
【点睛】本题主要考查样本估计总体、方差，解题的关键是掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
15. 如图，已知一次函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解为_______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解与两个函数图象交点坐标的关系，根据函数图象可以得到两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一次方程组的解．
【详解】解：观察图象可知两个函数图象交于点，
即同时满足两个函数解析式，
所以关于x、y的二元一次方程组的解是，
故答案为：．
16. 已知，直角三角形纸片中，，，．点D是边上的一个动点，将该纸片沿所在直线折叠，点A的对应点为点E．请从下面A，B两题中任选一题作答．
A．如图1，若点E落在边上，线段的长为______；
B．如图2，若点E落在边上，线段的长为______．

【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】A、根据折叠的性质以及勾股定理可得，从而得出，根据等面积法求出的长，然后根据勾股定理的长，从而得出的长，根据即可得出答案；
B、过点作分别交、于点、，根据折叠的性质可得，根据求出的长，根据勾股定理可得答案．
【详解】解：A、根据折叠的性质可知，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
即，
解得：，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：；
B、过点作分别交、于点、，

根据折叠的性质可得，
∴，
∴，
∴平分，
设，
则，
即，
解得：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质等知识点，根据三角形的面积公式求解是解本题的关键．
三、解答题：本题共8小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）2 （2）1
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）先利用二次根式的性质进行化简，再计算二次根式的除法，最后计算加法即可得解；
（2）先利用完全平方公式进行计算，再利用平方差公式进行计算即可得解．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
解：

．
18. 阅读材料：小强同学在解方程组时发现，可将第一个方程通过移项变形为，然后把第二个方程中的换成7，可以很轻松地解出这个方程组．小强同学发现的这种方法叫作“整体代入法”，是中学数学里很常用的一种解题方法．
（1）请按照小强的解法解出这个方程组；
（2）用整体代入法解方程组
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握整体代入法解方程组是解本题的关键；
（1）由①得：，再代入②得：可得，再进一步求解即可；
（2）由①得：③，把③代入②得：可得：，再进一步求解即可．
【小问1详解】
解：，
由①得：③，
把③代入②得：，
解得：，
把代入③得：，
∴方程组的解为：．
【小问2详解】
解：，
由①得：③，
把③代入②得：，
整理得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴方程组的解为：．
19. 如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
（1）将点A，B，C的横坐标乘，纵坐标不变，依次得到点D，E，F．请在图中画出；
（2）上面所画与的位置关系为______．
（3）若与关于x轴对称，请画出，此时C，两点之间的距离为______．
【答案】（1）见解析 （2）关于轴对称
（3）
【解析】
【分析】（1）求出D，E，F的坐标，描点连线即可；（2）由图象可知关于轴对称；（3）由于与关于轴对称，求出各点坐标，描点连线，再根据勾股定理求得两点之间的距离．
【小问1详解】
解：根据题意，，，
∴，，
∴D，E，F的坐标为，，；
如下图所示：
【小问2详解】
∵，
∴，
∴与关于轴对称
【小问3详解】
∵与关于轴对称，
∴对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，
∴，，
∴，，的坐标为，，；
如下图所示：
∴．
【点睛】本题考查了轴对称的特点，用勾股定理求两点之间的距离，根据题意求得对应点的坐标是解题的关键．
20. 睡眠时间和睡眠质量是影响青少年身体健康的重要指标，某校为了解学生非假日时间的夜间睡眠时间（单位：h），随机调查了该校部分学生非假日时间的夜间睡眠时间．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）该校本次调查的学生人数为__________，图①中m的值是__________；
（2）求调查的这组学生夜间睡眠时间数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据调查的这组学生夜间睡眠时间的样本数据，若该校有1800名学生，估计该校学生非假日时间每天夜间睡眠时间为9小时及以上的学生人数．
【答案】（1）200，30
（2）平均数为8.07，众数是8，中位数是8
（3）该校1800名学生中，非假日时间每天夜间睡眠时间为9小时及以上的学生人数约为630人
【解析】
【分析】（1）根据条形统计图将各组数据相加即可得本次调查的学生人数，进而求出m的值．
（2）根据加权平均数的计算公式求平均数即可，找出出现次数最多的数即可得众数，求出最中间两个数的平均数即可得中位数．
（3）先根据扇形统计图，求出睡眠时间为9小时及以上的学生所占的百分比，再乘以学生总人数即可求出睡眠时间为9小时及以上的学生人数．
本题考查条形统计图和扇形统计图综合、用样本估计总体、平均数、众数、中位数等知识，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【小问1详解】
本次接受调查初中学生人数为（人），
其中睡眠时间为9小时的占，
，
故答案为：200，30
【小问2详解】
观察条形统计图可知，
，
∴这组数据的平均数为8.07；
这组数据中出现次数最多的数据是8，
∴这组数据的众数是8；
把这组数据按从小到大的顺序排列，处于中间位置的两个数都是8，
这组数据的中位数是8．
【小问3详解】
，
该校的1800名学生中，非假日时间每天夜间睡眠时间为9小时及以上的人数约占．
（人），
∴该校1800名学生中，非假日时间每天夜间睡眠时间为9小时及以上的学生人数约为630人．
21. 数学课上，李老师提出下面的问题：
已知：如图，在中，，是的外角的角平分线．
求证：．
小晗的思路如下，请在括号内填写推理依据并完成证明．
证明：∵是的外角，
∴（__________）．
∵，
∴．
……
【答案】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；证明见解析
【解析】
【分析】根据三角形外角的性质：“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可得，再根据等腰三角形的性质可得，根据角平分线的定义可得，从而可得，再根据平行线的判定即可求解．
【详解】证明：∵是的外角，
∴（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查三角形外角的性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义及平行线的判定，熟练掌握相关定理是解题的关键．
22. 某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，计划购买黑白两种颜色的文化衫进行手绘设计后出售，并将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从批发市场花3600元购买了黑白两种颜色的文化衫200件．每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如下表：
假设通过手绘设计后全部售出，求该校这次义卖活动所获利润．
【答案】该校这次义卖活动所获利润为2600元
【解析】
【分析】设黑色文化衫x件，白色文化衫y件，根据等量关系“从批发市场花3600元购买了黑白两种颜色的文化衫200件”列二元一次方程组进求得x、y的值，然后再求利润即可．
【详解】解：设黑色文化衫有x件，白色文化衫有y件．
由题意得：，解得：．
利润（元）．
答：该校这次义卖活动所获利润为2600元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找到等量关系 、列出二元一次方程组，求得两种文化衫的件数是解答本题的关键．
23. 实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．

（1）如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且则______， ______；
（2）在（1）中，若，则______；若，则______；
（3）由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜a，b的夹角______时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a，b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，请说明理由．
【答案】（1），
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）根据入射角与反射角相等，可得，．根据邻补角的定义可得，根据可以求出，，根据三角形的内角和为，即可求出答案；
（2）结合题（1）可知的度数都是；
（3）证明，由，证得和互补即可．
【小问1详解】
解：入射角和反射角相等
即，
根据邻补角的定义
根据
根据三角形内角和为，可知
．
【小问2详解】
解：
同理可得当时，
，
，
∴．
【小问3详解】
由（1）、（2）猜想，当两平面镜的夹角时，总有．
证明：，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是数学知识与物理知识的结合．运用了数形结合的思维，本题解题的关键在于理解射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．
24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，点C是线段上的一个动点（不与点O，点A重合），过点C作x轴的垂线l交直线于点D，在射线上取点E，使．设点C的横坐标为m．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若点E落在直线上，求m的值；
（3）请从A，B两题中任选一题作答，我选择_____题．
A．若线段的长等于的一半时，求m的值；
B．若的面积等于面积的一半，求m的值．
【答案】（1），
（2）
（3）A，或；B，或
【解析】
【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的图象与性质，一次函数的线段问题及一次函数的面积问题．
（1）分别令，，求解即可得出答案；
（2）表示出C点的坐标，根据，表示出E点的坐标，根据点E落在直线上，将E点坐标代入一次函数表达式，求解即可得出答案；
（3）A：表示出C点的坐标，根据，表示出E点的坐标和D点坐标，根据线段关系列式求解即可得出答案；B：表示出C点的坐标，根据，表示出E点的坐标和D点坐标，根据面积列等式求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，
当时，，即，
当时，，即；
小问2详解】
点C是线段上的一个动点，且点C的横坐标为m，
，
，
，
又轴，
，
若点E落在直线上，则将E点坐标代入一次函数表达式，
，
解得：；
【小问3详解】
A：轴交于点D，
，
，
由（1）得，
，
，
，
当时，，
当时，；
B：轴交于点D，
，
，
，，
，
，
，
过点B作于点F，
，
即，
整理得，
当时，，
当时，．
批发价（元）
零售价（元）
黑色文化衫
20
35
白色文化衫
15
25
批发价（元）
零售价（元）
黑色文化衫
20
35
白色文化衫
15
25