山东省威海市乳山市银滩高级中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份山东省威海市乳山市银滩高级中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版），共21页。试卷主要包含了 设函数在处存在导数为2，则， 若函数处有极值10，则．等内容，欢迎下载使用。
1. 设函数在处存在导数为2，则（ ）
A. 1B. 2C. D. 4
2. 已知 的所有项的系数和为5，则x²的系数为（ ）
A. B. C. D.
3. 设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 若函数处有极值10，则（ ）．
A. B. 或15C. D. 15
6. 某高校计划安排甲、乙、丙、丁、戊、己6名教师到4所不同的高中学校进行宣讲，每个学校至少安排1人，其中甲、乙必须安排在同一个学校的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图是函数的大致图象，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
8. 定义在上函数，是的导函数，且恒成立，则（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题
9. A、B、C、D、E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ）
A. 若A、B两人站在一起有48种方法
B. 若A、B不相邻共有12种方法
C. 若A在B左边有60种排法
D. 若A不站在最左边，B不站最右边，有72种方法
10. 口袋内装有大小、质地均相同，颜色分别为红、黄、蓝3个球.从口袋内无放回地依次抽取2个球，记“第一次抽到红球”为事件A，“第二次抽到黄球”为事件B，则（ ）
A. B.
C. A与B为互斥事件D. A与B相互独立
11. 已知函数，是的导函数，下列结论正确的有（ ）
A. ，
B. 若，则是的极值点
C. 若是极小值点，则在上单调递增
D. 若，则函数至少存在一个极值点
三､填空题
12. 已知随机事件，．若，，，则________．
13. 某厂产品有的产品不需要调试就可以出厂上市，另的产品经过调试以后有能出厂，则该厂产品能出厂的概率______；任取一出厂产品，求未经调试的概率______．
14. 已知恒成立，则正数的取值范围为______．
四､解答题-问答题
15. （1）解不等式：.
（2）已知在的展开式中，各二项式系数和为512.
（i）求展开式中含的项；
（ii）求展开式中系数绝对值最大的项.
（参考数据：）
16 已知函数，．
（1）求的极值；
（2）讨论的单调性；
（3）若，且当时，恒成立，求实数的取值范围．
17. 为激发学生对航天的热爱，某校开展了航天知识竞赛活动经过多轮比拼，最终只有甲，乙两位同学进入最后一轮在最后一轮比赛中，有，两道问题其中问题为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙两人抢到的概率均为；问题为必答题，甲、乙两人都要回答已知甲能正确回答每道题的概率均为，乙能正确回答每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对互不影响．
（1）求问题被回答正确的概率；
（2）记正确回答问题的人数为，求的分布列和数学期望．
18. 迎接冬季奥运会期间，某市对全体高中学生举行了一次关于冬季奥运会相关知识的测试．统计人员从全市高中学生中随机抽取200名学生成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间［40，100]内，并制成如下所示的频率分布直方图.
（1）估计这200名学生的平均成绩（同一组中的数据用该区间的中点值为代表）；
（2）在这200名学生中用分层抽样的方法从成绩在，，的三组中抽取了10人，再从这10人中随机抽取3人，记X为3人中成绩在的人数，求X的分布列和数学期望；
（3）规定成绩在的为等级，成绩在的为等级，其它为等级.以样本估计总体，用频率代替概率.从所有参加考试的同学中随机抽取10人，其中获得等级的人数恰为人的概率为，当为何值时的值最大？
19. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，且存在，满足，证明：；
（3）设函数，若，且与的图象有两个交点，求实数的取值范围．
高二数学四月月考题
一､单选题
1. 设函数在处存在导数为2，则（ ）
A. 1B. 2C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由导数的定义可得.
【详解】由题意可得
.
故选：D
2. 已知 的所有项的系数和为5，则x²的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依题意，令，可求得，再利用二项展开式的性质即可求解.
【详解】由题意，在中，令，
得所有项的系数和为，解得，
故展开式中，
的系数为.
故选：B.
3. 设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由离散型随机变量的分布列的性质列方程计算即可．
【详解】解：由离散型随机变量的性质可得，
即，解得或，
时，不合题意，
．
故选：B．
4. 已知函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得到，恒成立.从而得到，恒成立，再根据的单调性求解即可.
【详解】因为，函数在区间上是减函数，
所以，恒成立.
所以，恒成立.
设，，
因为对称轴为，所以在为增函数，
所以，所以.
故选：C
5. 若函数在处有极值10，则（ ）．
A. B. 或15C. D. 15
【答案】D
【解析】
【分析】求导，根据得到方程组，求出或，验证后得到不合要求，满足要求，求出答案
【详解】，
由题意得，
解得或，
当时，，，
故在R上单调递增，无极值，舍去，
当时，，，
当或时，，当时，，
所以在处取得极小值，满足要求，此时.
故选：D
6. 某高校计划安排甲、乙、丙、丁、戊、己6名教师到4所不同的高中学校进行宣讲，每个学校至少安排1人，其中甲、乙必须安排在同一个学校的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意分教师人数为或两种情况讨论，根据古典概型结合排列数、组合数运算求解.
【详解】将这6名教师分成四组，再分配到不同的学校，
若教师人数为，则不同的安排方法种数为：种；
若教师人数为，则不同的安排方法种数为：种，
故不同的安排方法共有种.
将这6名教师分成四组，再分配到不同的学校，甲、乙安排在同一个学校，
若教师人数为，则不同的安排方法种数为：种；
若教师人数为，则不同的安排方法种数为：种，
故不同的安排方法共有种.
所以所求事件的概率为.
故选：A.
7. 如图是函数的大致图象，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由图确定是的极小值点，求得，即可求解.
【详解】由图可知，是的极小值点，由已知得，
令，得，得，经验证符合题意，
所以，由，，
可得，解得.
故选：D
8. 定义在上的函数，是的导函数，且恒成立，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由条件可得，构造函数，利用导数判断函数的单调性，比较函数值的大小即可.
【详解】因为时，，
所以可化为，
设，，
则，
所以函数在上的单调递减，
因为，所以，
所以，即，
对于A：因为，A选项不一定成立；
对于B：因为，B选项不一定成立；
对于C：成立；
对于D：，D选项不成立；
故选：C.
二､多选题
9. A、B、C、D、E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ）
A. 若A、B两人站在一起有48种方法
B. 若A、B不相邻共有12种方法
C. 若A在B左边有60种排法
D. 若A不站在最左边，B不站最右边，有72种方法
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A：利用捆绑法，结合排列数运算求解；对于B：利用间接法，在总体中排除A、B两人站在一起的情况；对于C：根据对称性分析求解；对于D：利用间接法，结合组合数运算求解.
【详解】对于选项A：若A、B两人站在一起，则有种方法，故A正确；
对于选项B：A、B、C、D、E五个人并排站在一起，则有种方法，
所以A、B不相邻共有种方法，故B错误；
对于选项C：根据对称可知A在B左边有种排法，故C正确；
对于选项D：A站最左边，则有种方法，
B站最右边，则有种方法，
A站在最左边，B站最右边，则有种方法，
所以A不站在最左边，B不站最右边，有种方法，故D错误.
故选：AC
10. 口袋内装有大小、质地均相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球.从口袋内无放回地依次抽取2个球，记“第一次抽到红球”为事件A，“第二次抽到黄球”为事件B，则（ ）
A. B.
C. A与B为互斥事件D. A与B相互独立
【答案】AB
【解析】
【分析】根据给定条件，利用古典概率、条件概率公式，结合互斥事件、相互独立事件的意义计算判断.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，，B正确；
对于C，事件可以同时发生，则A与B不互斥，C错误；
对于D，，由选项AB知，，则A与B相互不独立，D错误.
故选：AB
11. 已知函数，是的导函数，下列结论正确的有（ ）
A. ，
B. 若，则是的极值点
C. 若是极小值点，则在上单调递增
D. 若，则函数至少存在一个极值点
【答案】AC
【解析】
【分析】由三次函数图象的性质以及函数极值的定义对各个选项进行分析判断即可.
【详解】对于三次函数，当时，；当时，，函数图象必穿过轴，故，使得，A正确．
，当时，使，但恒成立，函数单调递增，故函数不存在极值点，故B，D不正确．
若是的极小值点，则当时，，
所以在区间上单调递增，C正确．
故选：AC．
三､填空题
12. 已知随机事件，．若，，，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据条件概率求出，再由和事件的概率公式求出，最后由条件概率公式计算可得.
【详解】因为，，所以，
又，
所以，
所以.
故答案为：
13. 某厂产品有的产品不需要调试就可以出厂上市，另的产品经过调试以后有能出厂，则该厂产品能出厂的概率______；任取一出厂产品，求未经调试的概率______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】答题空一：根据题意设出事件，利用全概率公式即可求解；答题空二：利用空一结果，根据贝叶斯公式即可求解.
【详解】设事件表示产品能出厂上市，事件表示产品不需要调试，表示产品需要调试，
则有，，，，
由全概率公式可得：
；
由贝叶斯公式可得：
.
故答案为：；
14. 已知恒成立，则正数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】将原不等式同构为，即，令，分析单调性可得，令利用导数求出最值得解.
【详解】由，可得．
令，易知在上单调递增，
由，可得，
故，即.
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，
所以，即，
故正数的取值范围是.
故答案为：.
四､解答题-问答题
15. （1）解不等式：.
（2）已知在的展开式中，各二项式系数和为512.
（i）求展开式中含的项；
（ii）求展开式中系数绝对值最大的项.
（参考数据：）
【答案】（1）；（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）利用排列数公式化简不等式，再结合的取值范围即可求得不等式的解集；
（2）（i）结合展开式的通项公式，令即可求解；
（ii）结合数列的最值知识，列出关于的不等式组，解得的范围，再结合，即可求出找出系数绝对值最大的项.
【详解】（1）由，得，即，
得，因且，则或，
所以原不等式的解集为.
（2）由题意可知，得，
故展开式的通项，
（i）令，得，则，
故展开式中含项为；
（ii）系数的绝对值为，
，则，
得，因，则，
因此，系数绝对值最大的项为.
16. 已知函数，．
（1）求的极值；
（2）讨论的单调性；
（3）若，且当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）极小值为，无极大值
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）求导，再根据极值的定义即可得解；
（2）分和两种情况讨论求解即可；
（3）不等式，令函数，利用导数求出函数的最小值，即可得解.
【小问1详解】
函数，定义域为，，
时，，时，，
有极小值，无极大值；
【小问2详解】
函数的定义域为，求导得，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
【小问3详解】
当时，，
不等式，
令函数，依题意，，恒成立，
求导得，
令，求导得，函数在上单调递增，
而，
则存在，使，即，
此时，
当时，，当时，，
函数上单调递减，在上单调递增，
因此，由，得，
则，，
所以的取值范围是.
17. 为激发学生对航天的热爱，某校开展了航天知识竞赛活动经过多轮比拼，最终只有甲，乙两位同学进入最后一轮在最后一轮比赛中，有，两道问题其中问题为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙两人抢到的概率均为；问题为必答题，甲、乙两人都要回答已知甲能正确回答每道题的概率均为，乙能正确回答每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对互不影响．
（1）求问题被回答正确的概率；
（2）记正确回答问题的人数为，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）．
（2）分布列见解析，．
【解析】
【分析】（1）根据条件概率公式，结合全概率公式进行求解即可；
（2）根据独立事件的概率公式，结合数学期望的公式进行求解即可.
【小问1详解】
设“甲抢到问题”为事件，“问题被回答正确”为事件，
由题意可知：，
由全概率公式可得
所以问题被回答正确的概率为．
【小问2详解】
由题意可知：的可能取值有：，，，则有：
，
，
，
所以的分布列为
期望．
18. 迎接冬季奥运会期间，某市对全体高中学生举行了一次关于冬季奥运会相关知识的测试．统计人员从全市高中学生中随机抽取200名学生成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间［40，100]内，并制成如下所示的频率分布直方图.
（1）估计这200名学生的平均成绩（同一组中的数据用该区间的中点值为代表）；
（2）在这200名学生中用分层抽样的方法从成绩在，，的三组中抽取了10人，再从这10人中随机抽取3人，记X为3人中成绩在的人数，求X的分布列和数学期望；
（3）规定成绩在的为等级，成绩在的为等级，其它为等级.以样本估计总体，用频率代替概率.从所有参加考试的同学中随机抽取10人，其中获得等级的人数恰为人的概率为，当为何值时的值最大？
【答案】（1）69.5分；
（2）分布列见解析，；
（3）4.
【解析】
【分析】（1）根据频率直方图求平均成绩即可；
（2）由分层抽样求出从，，中分别抽取的人数，进而确定X所有可能取值并求出对应概率写出分布列，根据分布列求期望；
（3）由题设得，利用二项分布概率公式及不等式法解决最大概率问题.
【小问1详解】
这200名学生的平均成绩为：
（分）.
【小问2详解】
由，，的三组频率之比为，
从，，中分别抽取6人，3人，1人，
X所有可能取值为0，1，2，3，则，，，，
故X的分布列为：
故．
【小问3详解】
依题意，等级的概率为， 且，
所以，而，
则，
即，解得，
因为，所以.
19. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，且存在，满足，证明：；
（3）设函数，若，且与的图象有两个交点，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析 （3）．
【解析】
【分析】（1）求导可得，分，，，四种情况讨论，可得函数的单调性；
（2）对合（1）可得的单调性，由已知可得，令，求导可得在上单调递增，从而可得，由的单调性可得结论；
（3）据题意可得方程有两个实根，令，可得有两个实根，求解即可.
【小问1详解】
由题意得，
若，则在上单调递减，在上单调递增．
若，令，得或，
若，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
若，则在上单调递增；
若，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
【小问2详解】
由（1）可知，当时，在上单调递减，在上单调递增，因为，
所以．
令，
则，
当时，，当时，，
所以恒成立，在上单调递增．
因为，所以，即，所以．
又在上单调递增，且，
所以，即．
【小问3详解】
由题意可得方程有两个实根．
设，当时，，则在上单调递增，
令，则，所以关于的方程，即有两个实根，
令，则，
当，，所以在上单调递增，
当，，，在上单调递减，
所以，且时，．
所以，所以，
即的取值范围是．


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