山东省威海市乳山市银滩高级中学2024−2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份山东省威海市乳山市银滩高级中学2024−2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若函数 fx 满足 f′3=1 ，则 limf3-f3+ΔxΔx= （ ）
A．1B．2C． -1 D． -2
2．函数 fx 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A． f′1＞f′2＞f′3＞0 B． f′1＜f′2＜f′3＜0
C． 0＜f′1＜f′2＜f′3 D． f′1＞f′2＞0＞f′3
3．某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（ ）
A．24B．48C．144D．240
4．已知曲线 y=x2-lnx 在点 A 处的切线与直线 x+y-2=0 垂直，则点 A 的横坐标为（ ）
A． -2 B． -1 C．2D．1
5．已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．若函数 fx=12x2+kx+lnx 在区间 1,+∞ 上单调递增，则实数 k 的取值范围是（ ）
A． -∞,-2 B． -∞,-1 C． -2,+∞ D． -2,+∞
7．已知函数 fx=kx2-2x+lnx ， f1=-32 ，若 2f2a2-a＜-3 ，则 a 的取值范围为（ ）
A． -1,12 B． -12,1
C． -12,0∪12,1 D． a=1b=12
8．已知 fx 为定义在 R 上的可导函数， f′x 为其导函数，且 fx＜f′x 恒成立，e是自然对数的底数，则（ ）
A． f2024＜ef2025 B． ef2024＜f2025
C． ef2024=f2025 D． ef2024＞f2025
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列函数的求导运算正确的是（ ）
A． ln2024′=12024 B． tanx′=1cs2x
C． x3+x-1′=3x2-x-2 D． xe2x′=x+1e2x
10．函数 y=fx 的导函数 y=f′x 的图象如图所示，下列命题中正确的是（ ）
A． -3 是函数 y=fx 的极值点B． y=fx 在区间 -3,1 上单调递增
C． -1 是函数 y=fx 的最小值点D． y=fx 在 x=0 处切线的斜率小于零
11．已知函数 fx=ex+sinx ， f′x 为 fx 的导函数，则（ ）
A．曲线 y=fx 在 0,f0 处的切线方程为 y=x+1
B． fx 在区间 0,+∞ 上单调递增
C． fx 在区间 -π,0 上有极小值
D． f′x 在区间 -π,+∞ 上有两个零点
三、填空题（本大题共3小题）
12．方程 C12x-1=C125x-5 的解为__________.
13．已知函数 fx=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处取得极小值10，则 ba 的值为 ___.
14．若函数 fx=lnx+ax2-2x 在区间 1,2 内存在单调递增区间，则实数 a 的取值范围是_______．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数 fx=-x3+x+1,gx=e-2x+1 .
(1)求曲线 y=fx 过点 1,1 处的切线；
(2)若曲线 y=fx 在点 1,1 处的切线与曲线 y=gx 在 x=tt∈R 处的切线平行，求 t 的值.
16．已知函数.
(1)若在上不单调，求实数的取值范围；
(2)若，求在上的值域.
17．已知函数 fx=a2x-lnx,gx=bx-x2 ，且曲线 y=gx 在点 1,g1 处的切线与直线 y=x+1 垂直.
(1)求 b ；
(2)讨论函数 hx=fx+gx 的单调性；
18．已知某企业生产一种产品的固定成本为400万元，每生产 x 万件，需另投入成本 px 万元，假设该企业年内共生产该产品 x 万件，并且全部销售完，每1件的销售收入为100元，且 px=1150x3+50x,0＜x＜60101x+6400x-1860,x⩾60
(1)求出年利润 y （万元）关于年生产零件 x （万件）的函数关系式（注：年利润 = 年销售收入 - 年总成本）；
(2)将年产量 x 定为多少万件时，企业所获年利润最大.
19．已知函数，.
(1)若曲线在处切线过原点，求的值；
(2)若在上最小值为1，求的值；
(3)当时，若，都有，求整数的最小值.
参考答案
1．【答案】C
【详解】由题设 limf3-f3+ΔxΔx=-limf3+Δx-f33+Δx-3=-f′3=-1 .
故选C.
2．【答案】A
【详解】由函数 fx 的图像可知，
∵ 当 x⩾0 时， fx 单调递增，
∴f′1＞0 ， f′2＞0 ， f′3＞0 .
∵ 随着 x 的增大，曲线在每个点处的斜率在逐渐减小，即导函数是单调递减的，
∴f′1＞f′2＞f′3＞0 .
故选A.
3．【答案】C
【详解】将“立春”和“春分”两块展板看成一个整体，与“雨水”“谷雨”两块展板进行全排列，再将“清明”和“惊蛰”两块展板插空，
所以不同的放置方式种数为 A22A33A42=2×6×12=144 ．
故选C.
4．【答案】D
【详解】设 fx=x2-lnx ，点 Ax0,y0 ，则 f′x=2x-1x ，
由在点 A 处的切线与直线 x+y-2=0 垂直可得 f′x0=1 ，
即 2x0-1x0=1 ，又 x0＞0 ， ∴x0=1 .
故选D.
5．【答案】A
【详解】令，即得，即方程有三个零点，
即直线与曲线有三个不同的交点，
可得，
所以当或时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，有极小值为，
当时，有极大值为，
当时，，且当时，，
所以作出函数的图象如图所示，
所以数形结合可知，即实数的取值范围为.
故选A.
【方法总结】函数图象的交点问题，方程的根，均可归结为函数的零点问题．此类问题往往通过函数的单调性、极值等，利用零点存在性定理判断，常见类型及解法如下：
(1)证明或讨论函数零点个数问题，一般借助导数研究函数的单调性，进而研究函数的零点个数，或将函数零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题；
(2)已知函数零点个数，求参数的取值范围，一般分离参数或构造函数，利用数形结合思想求解．
6．【答案】D
【详解】由已知得 f′x=x+k+1x ，
∵ 函数 fx=12x2+kx+lnx 在区间 1,+∞ 上单调递增，
∴f′x⩾0 在区间 1,+∞ 上恒成立．
∴k⩾-x+1x 对于 x∈1,+∞ 恒成立．
而由对勾函数的单调性可知 y=-x+1x 在区间 1,+∞ 上单调递减，
∴-x+1x＜-2,∴k⩾-2 ．
∴k 的取值范围是 -2,+∞ ．
故选D.
7．【答案】C
【详解】 f1=k-2=-32 ，得 k=12 ，
所以 fx=12x2-2x+lnx ， f′x=x-2+1x=x2-2x+1x=x-12x⩾0 ， x＞0 ，
所以函数 fx 在 0,+∞ 单调递增，
所以 2f2a2-a＜-3 ，即 f2a2-a＜-32 ，即 f2a2-a＜f1 ，
即 2a2-a＜1 ，且 2a2-a＞0 ，得 -12＜a＜0 且 12＜a＜1 .
故选C.
8．【答案】B
【详解】根据题意知 fx＜f′x ，即 f′x-fx＞0 ，构造函数 gx=fxex ，
可得 g′x=f′x-fxex ，因为 f′x-fx＞0 ，所以 g′x＞0 ，
所以 gx 在 R 上单调递增，
则 f2024e2024＜f2025e2025 ，两边同乘 e2025 ，即 ef2024＜f2025 ．
故选B.
9．【答案】BC
【详解】对于 A,ln2024′=0，A 错误；
对于 B，tanx′=sinxcsx′=cs2x+sin2xcs2x=1cs2x，B 正确；
对于 C，x3+x-1′=3x2-x-2，C 正确；
对于 D，xe2x′=e2x+2xe2x=1+2xe2x，D 错误.
故选BC.
10．【答案】AB
【详解】根据导函数图象可知：当 x∈-∞,-3 时， f′x＜0 ，在 x∈-3,1 时， f′x⩾0,∴ 函数 y= fx 在 -∞,-3 上单调递减，在 -3,1 上单调递增，故B正确；
则 -3 是函数 y=fx 的极小值点，故A正确；
∵ 在 -3,1 上单调递增， ∴-1 不是函数 y=fx 的最小值点，故C不正确；
∵ 函数 y=fx 在 x=0 处的导数大于 0,∴ 切线的斜率大于零，故D不正确．
故选AB.
11．【答案】BC
【详解】依题意， f′x=ex+csx ，
对于 A，f′0=2 ， f0=1 ，所求切线方程为 y=2x+1，A 错误；
对于B，当 x＞0 时， f′x=ex+csx＞1+csx⩾0 ， fx 在区间 0,+∞ 上单调递增，B正确；
对于 C，y=ex,y=csx 在 -π,0 上都单调递增，则函数 f′x 在 -π,0 上单调递增，
f′-π=e-π-1＜0 ， f′0=2 ，则存在唯一 x0∈-π,0 ，使得 f′x0=0 ，
当 -π＜x＜x0 时， f′x＜0 ；当 x0＜x＜0 时， f′x＞0 ，因此 fx 在 x0 处取得极小值，C正确；
对于D，由选项C知， f′x 在 -π,0 上有唯一零点，又 f′0=2 ，
当 x＞0 时， f′x=ex+csx＞1+csx⩾0 ，即 ∀x⩾0 ， f′x＞0 ，
因此 f′x 在区间 -π,+∞ 上有1零点，D错误.
故选BC.
12．【答案】1或3（只写一个不得分）
【详解】由 C12x-1=C125x-5 及组合数的性质，得 x-1=5x-50⩽x-1⩽120⩽5x-5⩽12x∈Z 或 x-1+5x-5=120⩽x-1⩽120⩽5x-5⩽12x∈Z ，
整理得 x=11⩽x⩽131⩽x⩽175x∈Z 或 x=31⩽x⩽131⩽x⩽175x∈Z ，解得 x=1 或 x=3 ，所以该方程的解为1或3.
13．【答案】 -114
【详解】 f′x=3x2+2ax+b ，由题意 f′1=3+2a+b=0f1=1+a+b+a2=10 ，
解得 a=-3b=3 或 a=4b=-11 ，
若 a=-3,b=3 ， f′x=3x2-6x+3=3x-12 ， x=1 不是极值点，舍去．
若 a=4,b=-11 时， f′x=3x2+8x-11=x-13x+11 ，
当 -113＜x＜1 时， f′x＜0 ，当 x＜-113 或 x＞1 时， f′x＞0 ，
x=-113 是极大值点， x=1 是极小值点，满足题意．
∴ ba=-114 ．
14．【答案】 38,+∞
【详解】∵ fx=lnx+ax2-2x ，∴ f′x=1x+2ax-2 ，
∵ fx 在区间 1,2 内存在单调递增区间，
∴ f′x＞0 在 x∈1,2 上有解，故 a＞1x-12x2 在 x∈1,2 上有解，
令 gx=1x-12x2 ，则 g′x=-1x2+1x3=1-xx3 ，
∵ x∈1,2 ，∴ g′x＜0 ，即 gx 在 1,2 上为减函数，
∴ gx＞g2=12-18=38 ，故 a＞38 ．
15．【答案】(1) 2x+y-3=0 或 x-4y+3=0
(2) t=12
【详解】（1）由导数公式得 f′x=-3x2+1 ，
设切点坐标为 x0,y0 ，设切线方程为： y-1=kx-1
由题意可得： y0-1=kx0-1y0=-x03+x0+1k=-3x02+1 ，
所以 x0=1y0=1k=-2 或 x0=-12y0=58k=14 ，
从而切线方程为 2x+y-3=0 或 x-4y+3=0 .
（2）由(1)可得：曲线 y=fx 在点 1,1 处的切线方程为 y=-2x+3 ,
由 g′x=-2e-2x+1 ，可得曲线 y=gx 在 x=tt∈R 处的切线斜率为 g′t=-2e-2t+1 ，
由题意可得 -2e-2t+1=-2 ， 从而 t=12 ，
此时切点坐标为 12,1 ，曲线 y=gx 在 x=12 处的切线方程为 y-1=-2x-12 ，
即 y=-2x+2 ，故符合题意，所以 t=12 .
16．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）因为，所以.
因为在上不单调，所以方程有两个不同的根，
则，解得或，
即实数的取值范围是.
（2）因为，所以.
由，得或，由，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
因为，，，
所以在上的值域为.
17．【答案】(1) b=1
(2)答案见解析
【详解】（1） g′x=b-2x ，故 g′1=b-2 ，又 y=x+1 斜率为1，故 b-2=-1 ，解得 b=1 .
（2）因为 b=1 ，故 hx=-x2+2a+1x-alnxx＞0 ，
则 h′x=-2x+2a+1-ax=-2x-1x-ax ，
当 a⩽0 时， x-a＞0,x＞0 ，
故在 0,12 上， h′x＞0,hx 单调递增；
在 12,+∞ 上， h′x＜0,hx 单调递减；
当 0＜a＜12 时，令 h′x=0 有 x1=12,x2=a ，且 x2＜x1 ，
故在 0,a 上， h′x＜0,hx 单调递减；
在 a,12 上， h′x＞0,hx 单调递增；
在 12,+∞ 上， h′x＜0,hx 单调递减.
当 a=12 时， h′x⩽0,hx 在 0,+∞ 单调递减；
当 a＞12 时，在 0,12 上， h′x＜0,hx 单调递减；
在 12,a 上， h′x＞0,hx 单调递增；
在 a,+∞ 上， h′x＜0,hx 单调递减.
综上，当 a⩽0 时， hx 在 0,12 h′x＞0,hx 单调递增，在 12,+∞ h′x＜0,hx 单调递减；
当 0＜a＜12 时， hx 在 0,a 和 12,+∞ 单调递减，在 a,12 单调递增；
当 a=12 时， hx 在 0,+∞ 单调递减；
当 a＞12 时， hx 在 0,12 和 a,+∞ 单调递减，在 12,a 单调递增.
18．【答案】(1) y=-1150x3+50x-400,0＜x＜601460-x+6400x,x⩾60
(2)80万件
【详解】（1）由题意得，总售价固定为 100x ，
当产量不足60万箱时， y=100x-px-400=-1150x3+50x-400 .
当产量不小于60万箱时， y=100x-px-400=1460-x+6400x .
则 y=-1150x3+50x-400,0＜x＜601460-x+6400x,x⩾60
（2）设 fx=-1150x3+50x-400,0＜x＜601460-x+6400x,x⩾60 ，
当 0＜x＜60 时， f′x=-150x+50x-50 ，令 f′x=0 ，得 x=50 ，
得 fx 在 0,50 上单调递增，在 50,60 上单调递减，
则 fx⩽f50=38003 ；
当 x⩾60 时，由基本不等式有 1460-x+6400x⩽1460-2x⋅6400x=1300
当且仅当 x=6400x ，即 x=80 时取等号；
又因为 1300＞38003 ，所以当 x=80 时，所获利润最大，最大值为1300万元
19．【答案】(1)；
(2)或；
(3)1.
【详解】（1）因为，所以切点为.
又，所以.
所以函数在处的切线方程为：.
因为切线过点，所以：.
（2）因为，，所以.
若，在上恒成立，
所以在上的最小值为.
若，由；由.
所以在上单调递减，在上单调递增.
当即时，在上单调递增，
由（舍去）.
当即时，在上单调递减，在上单调递增，
由（舍去）.
当即时，在上单调递减，
由.
综上可知：或.
（3）当时，，
.
设，
则.
若，则在上恒成立，所以在单调递增，所以不可能恒成立；
若，由；由.
所以在单调递增，在上单调递减.
此时，只需.
设，，则在上恒成立.
所以在单调递减，且，
因为，所以.
所以整数的最小值为1.