山东省临沂市兰陵县2024-2025学年高一下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

这是一份山东省临沂市兰陵县2024-2025学年高一下学期期中数学试题（原卷版+解析版），共20页。试卷主要包含了 若，则， 已知的内接三角形中，，则等内容，欢迎下载使用。
2025.4
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
2. 若，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. 4D. 9
4. 若，则（ ）
A. 1B. C. D.
5. 已知是单位向量，，则向量在上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
6. 若复数在复平面内对应的点位于第一象限，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知的内接三角形中，，则（ ）
A. 10B. C. 14D.
8. 著名数学家棣莫弗出生于法国，他提出了公式，其中.设复数，若正整数满足，则最大值为（ ）
A B. C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某弹簧振子在简谐运动过程中，振子位移关于时间的函数解析式为，则（ ）
A. 周期为
B. 初相是
C. 该振子离开平衡位置的最大距离是20
D. 当时，振子第一次到达平衡位置
10. 设复数在复平面内对应的点为，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，且，则
C. 若，则的最大值为5
D. 若，则点集合所构成图形的面积为
11. 记的内角所对的边分别为，则下列判断正确的是（ ）
A. 若，则这样的三角形只有一个
B. 若，则为等腰直角三角形
C. 若为边上的中线，且，则
D. 若边上的高分别为，则最大角的余弦值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12 已知向量，，则_________．
13. 已知，则_______________．
14. 已知函数，将的图像上所有的点向右平移个单位长度得到的图象，若是奇函数，且在上恰有2个解，则__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明或验算步骤.
15. 已知复数满足：.
（1）求复数；
（2）求值.
16. （1）已知，求的值；
（2）已知，求的值.
17. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的表达式；
（2）把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，当时，求的值域以及取最大值时的值.
18. 已知的内角、、的对边分别为、、，且.
（1）求角；
（2）设是边上一点，平分，，求的值；
（3）设为边的中点，，求的最大值.
19. 如图，为的中线的中点，过点的直线分别交两边于点，记，设.
（1）试用向量表示；
（2）判断否是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由；
（3）设的面积为的面积为，求的取值范围.
2024级普通高中学科素养水平监测试卷
数学
2025.4
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由辅助角公式可直接计算得到结果.
【详解】.
故选：D.
2. 若，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的除法运算化简，即可根据共轭复数以及虚部的概念求解.
【详解】由可得，
故，故虚部为，
故选：C
3. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. 4D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量垂直的坐标公式计算即得.
【详解】由可得，解得.
故选：D.
4. 若，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二倍角的正弦、余弦公式化简，结合已知条件即可求解.
【详解】
故选：B.
5. 已知是单位向量，，则向量在上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据投影向量定义以及已知条件直接计算即可求解.
【详解】由题意以及投影向量定义得向量在上的投影向量是：
.
故选：B.
6. 若复数在复平面内对应的点位于第一象限，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的减法以及复数的几何意义，列出不等式组，解之即得.
【详解】由可得，
依题意，在第一象限，
则，解得
故选：B.
7. 已知内接三角形中，，则（ ）
A. 10B. C. 14D.
【答案】D
【解析】
【分析】将代入所求式，利用向量数量积的定义和三角形外心的性质计算即得.
【详解】如图，过点分别作，垂足分别为点，

因，点为的外心，则，
则
.
故选：D
8. 著名数学家棣莫弗出生于法国，他提出了公式，其中.设复数，若正整数满足，则最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用题设定义得，进而可得，结合条件，即可求解.
【详解】因为，则，
又，所以，
由，得到，又，且，
则，所以，
故选：D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某弹簧振子在简谐运动过程中，振子位移关于时间的函数解析式为，则（ ）
A. 周期
B. 初相是
C. 该振子离开平衡位置的最大距离是20
D. 当时，振子第一次到达平衡位置
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据正弦函数的性质，分别对周期、初相、振子离开平衡位置的最大距离以及振子第一次到达平衡位置的时间进行分析求解.
【详解】在函数中，，则周期，所以A选项正确.
在函数中，初相，所以B选项错误.
对于正弦函数，表示振子离开平衡位置的最大距离.
在函数中，，则振子离开平衡位置的最大距离是，所以C选项正确.
振子到达平衡位置时，，即，则（）.
解这个方程可得： ，
因为，当时，，所以当时，振子第一次到达平衡位置，D选项正确.
故选：ACD.
10. 设复数在复平面内对应的点为，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，且，则
C. 若，则的最大值为5
D. 若，则点的集合所构成图形的面积为
【答案】BD
【解析】
【分析】依题设，利用复数的四则运算可逐一判断A，B；对于C，由设，计算化简后，借助于和角公式与三角函数的值域即可判断；对于D，利用复数的模的几何意义数形结合计算即得.
【详解】对于A，设，则，
而，当时必定不成立，故A错误；
对于B，设且，由
，
可得，解得，即，故B正确；
对于C，因，可设，
则，
则，
故当 时，取得最大值9，故的最大值为3，即C错误；
对于D，由可知，点的集合构成以点为圆心，半径为1和的两同心圆所夹的圆环，
其面积为，故D正确.
故选：BD.
11. 记的内角所对的边分别为，则下列判断正确的是（ ）
A. 若，则这样的三角形只有一个
B. 若，则为等腰直角三角形
C. 若为边上的中线，且，则
D. 若边上的高分别为，则最大角的余弦值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，利用正弦定理可得，从而可求出角判断，对于B，利用正弦定理化边为角，结合基本不等式得，，再由,得，即可判断三角形的形状；对于C，由题设，得，，再结合，即可判断；对于D，由题意根据三角形面积公式得到，再根据余弦定理求得即可判断.
【详解】对于A，由正弦定理得，则，得，
因为，所以或，所以满足条件的三角形有2个，所以A错误；
对于B，由，根据正弦定理得，当且仅当时等号成立，
此时，，，又，∴，，，所以为等腰直角三角形，故B正确；
对于C，因为为边上的中线，，又且，所以，即，故C正确；
对于D，根据三角形的面积公式得，即，设，由于,故为最大的内角，由余弦定理得，故D正确.
故选：BCD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，则_________．
【答案】．
【解析】
【详解】因为向量，所以，即，所以，即，故应填．
考点：本题考查向量的数量积的基本运算，属基础题．
13. 已知，则_______________．
【答案】##
【解析】
【分析】将所给条件两边同时平方再相加即可得解.
【详解】解：因为，，
所以，，
即，，
两式相加得，所以．
故答案为：
14. 已知函数，将的图像上所有的点向右平移个单位长度得到的图象，若是奇函数，且在上恰有2个解，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】先由题意求出解析式，再结合三角函数奇偶性和函数图象性质即可求解.
【详解】由题意是奇函数，
所以由三角函数奇偶性得，①，
在上恰有2个解，即在上恰有2个解，
因为时，，
所以在上恰有2个解，
所以由图象性质得，②，
又，所以结合①②得只有当时符合.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明或验算步骤.
15. 已知复数满足：.
（1）求复数；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）i
【解析】
【分析】（1）设代入已知等式，整理后利用复数的相等建立方程，即可求得；
（2）利用（1）中的代入，化简得，再利用虚数单位的幂的运算性质计算即得.
【小问1详解】
设，
由，可得，
即，
则，
解得或（此时方程①无意义，故舍去），
所以.
【小问2详解】
由（1），可得，
因，
则.
16. （1）已知，求的值；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）2001；（2）
【解析】
【分析】（1）需要利用三角函数的基本关系将式子进行化简，最终转化为与有关的形式,结合二倍角公式计算即可；
（2）要根据已知角的范围求出对应三角函数值，再利用两角差的余弦公式求出，进而得到的值.
【详解】解：（1），
，
.
（2）
又
，
，
.
17. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的表达式；
（2）把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，当时，求的值域以及取最大值时的值.
【答案】（1）
（2），.
【解析】
【分析】（1）根据的图象结合五点法可得，，，即可得函数解析式；
（2）先由图象变换得到，然后由整体思想结合正弦函数性质得的值域.
【小问1详解】
根据函数图象可得，，
又，
得，
又.
所以；
【小问2详解】
把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，得到
再向右平移个单位，得到
∴.
当时，.
∴，∴
即的值域为，
当时，，得
∴取最大值时的值为.
18. 已知的内角、、的对边分别为、、，且.
（1）求角；
（2）设是边上一点，平分，，求的值；
（3）设为边的中点，，求的最大值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值
（2）由已知得出，结合三角形的面积公式得出，结合余弦定理得出，再利用余弦定理可得出的值；
（3）由余弦定理可得出，结合基本不等式可求出的最大值，由题意得出，利用平面向量数量积的运算性质结合基本不等式可求得长的最大值.
【小问1详解】
由及正弦定理得，
即，
利用余弦定理可知，.
因为，所以.
【小问2详解】
在中，，，所以，
即，
因为为角平分线，所以，所以，
由余弦定理，得，则.
因此.
【小问3详解】
由余弦定理，即，
所以，解得，当且仅当时取等号，
因为为的中点，所以，
所以.
，
所以，当且仅当时取等号，即的最大值为.
19. 如图，为的中线的中点，过点的直线分别交两边于点，记，设.
（1）试用向量表示；
（2）判断是否是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由；
（3）设的面积为的面积为，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）是，
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用中点的向量关系.得到.把的表达式代入，就得到 即可.
（2）利用三点共线的向量性质，得到.而前面已求得，由于，不共线，那么对应系数相等，得到方程组，通过变形求解得到，，进而得出.
（3）先根据三角形面积公式得出，再由前面的结论得到，结合，的取值范围求出的取值范围.然后令，将xy转化为关于的函数，最后根据函数单调性求最值.
【小问1详解】
∵为的中点，为的中点，
∴.
【小问2详解】
∵三点共线，∴，又，
∴由（1）知，
而不共线，所以，解得，
所以为定值.
【小问3详解】
，
由（2）知，即
则
令且，所以
因当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，
且，∴有最小值，最大值，
故.