山东省德州市同济中学2024-2025学年下学期七年级第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份山东省德州市同济中学2024-2025学年下学期七年级第一次月考数学试题（原卷版+解析版），共27页。试卷主要包含了测试范围，考试结束后，将答题卡交上等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前）考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每水题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：第一章-第二章（人数题2024）．
5．考试结束后，将答题卡交上．
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A. B. C. D.
2. 在，，1.732，，，3.1010010001……，中无理数有（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
3. 如图，点P是直线外的一点，点在直线上，且，垂足是点，则下列判断不正确的是（ ）
A. 线段的长是点P到直线的距离B. 三条线段中，最短
C. 线段的长是点A到直线的距离D. 线段的长是点C到直线的距离
4. 估计20的算术平方根的大小在（ ）
A. 2与3之间B. 3与4之间C. 4与5之间D. 5与6之间
5. 如图，下列条件中，能判断直线的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 下列五个命题：①有理数与数轴上的点一一对应； ②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线互相平行； ④同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑤直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离。其中假命题的个数是（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
7. 在下列说法中：①是的平方根：②的立方根是：③的算术平方根是5：④带根号的数都是无理数；⑤已知是有理数，则；以上说法正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
8. 如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则（ ）

A. B. C. D.
9. 如图数轴上表示1、的对应点分别为点A、点B．若点A是的中点，则点C所表示的数为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，、两点分别与、对应，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 如图，点在直线上，当度数为_______时，．
12. 若，则____________．
13. 如图，将周长为17cm的△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，平移后得到一个四边形ABFD的周长为23cm，则平移的距离为_____cm．
14. 如图是小明写字桌上的一款折叠护眼台灯的简易图，支柱与桌面交于点，灯管与桌面平行，若，，则的度数为______．
15. 如果＝3.873，＝1.225，那么＝___________．
16. 将一副三角板中的两块直角三角尺按如图方式放置（其中），固定三角尺，将三角尺以每秒的速度绕点B按逆时针方向旋转停止．在这个过程中，当运动时间为__________秒时，三角尺的一边与三角尺的某一边平行（不共线）．
三、解答题（本题共9小题，共86分，第17-18题8分，第19-20、23题每题10分，第21-22题每题7分，第24题12分，第25题14分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）．
（2）．
18. （1）
（2）
19. （1）已知的平方根是的立方根是3，求的平方根．
（2）已知，求的值．
20. 如图，先将方格纸中的三角形向右平移5个单位，然后向上平移3个单位．
（1）画出经过两次平移后的三角形．
（2）计算三角形面积．
21. 完成推理填空：如图在中，已知，．试说明C．

解：（邻补角定义），（已知）
___________（同角的补角相等）
___________（内错角相等，两直线平行）
（___________）
___________（___________）
（___________）
（___________）
22. 如图，直线、相交于O，OE⊥OF，∠BOF=2∠BOE，OC平分，求的度数．
23. 已知一块面积为正方形画布．
（1）求该正方形画布的边长；
（2）甲乙两名同学想沿着该正方形画布边的方向裁下一块长方形画布．其中，甲的方案是：长方形的面积为，且长宽之比为：；乙的方案是：长方形的面积为，且长宽之比为：．问甲乙两人的方案是否可行？并说明理由．
24. 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘．
你知道怎样迅速准确计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：
①，又，
，∴能确定59319的立方根是个两位数．
②∵59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9．
③如果划去59319后面的三位319得到数59，
而，则，可得，
由此能确定59319的立方根的十位数是3
因此59319的立方根是39．
（1）现换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空．
①它的立方根是_______位数．
②它的立方根的个位数是_______．
③它的立方根的十位数是__________．
④195112的立方根是________．
（2）请直接填写结果：
①________．
②________．
25. 某地举办电影节，为了主场馆有更好的灯光效果，工作人员设计了灯光组进行舞台投射．如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2°，灯B转动的速度是每秒1°，假定主道路是平行的，即，且．
（1）填空：______；
（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，且，求在灯B射线到达BQ之前，转动的时间为多少秒？直接写出答案．
同济中学2024-2025学年七年级数学下学期第一次测试卷
（考试时间：120分钟，试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前）考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每水题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：第一章-第二章（人数题2024）．
5．考试结束后，将答题卡交上．
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对顶角是两条直线相交，其中一个角是另一个角的边的反向延长线，据定义即可判断．
【详解】解：根据对顶角的定义，A,D,C,不符合其中一个角是另一个角的边的反向延长线，是对顶角的只有第二个图形，
故选B
【点睛】本题主要考查对顶角的定义，是一个基础题．理解定义是关键.
2. 在，，1.732，，，3.1010010001……，中无理数有（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此解答即可．
【详解】解：=﹣2，=7是整数，不是无理数，
1.732，是小数，不是无理数，
=3，是无理数，
∴，，3.1010010001…是无理数，共有3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了无理数，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
3. 如图，点P是直线外的一点，点在直线上，且，垂足是点，则下列判断不正确的是（ ）
A. 线段的长是点P到直线的距离B. 三条线段中，最短
C. 线段的长是点A到直线的距离D. 线段的长是点C到直线的距离
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了点到直线的距离的定义，垂线段最短，点到一直线的垂线段的长度叫做点到该直线的距离，据此可判断A、C、D，根据垂线段最短可判断B．
【详解】解：A、∵，
∴线段的长是点P到直线的距离，原说法正确，不符合题意；
B、∵，
∴由垂线段最短可知，三条线段中，最短，原说法正确，不符合题意；
C、∵，
∴线段的长是点A到直线的距离，原说法错误，符合题意；
D、∵，
∴线段长是点C到直线的距离，原说法正确，不符合题意；
故选：C．
4. 估计20的算术平方根的大小在（ ）
A. 2与3之间B. 3与4之间C. 4与5之间D. 5与6之间
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：∵16＜20＜25，
∴＜＜，
∴4＜＜5．
故选C．
考点：估算无理数的大小．
5. 如图，下列条件中，能判断直线的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的判定定理逐项判断即可．
【详解】A.，，不符合题意；
B.，，不符合题意
C.，，符合题意；
D. 不能判定任何直线平行，故不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了平行线的判定定理，掌握平行线的判定定理是解题的关键．
6. 下列五个命题：①有理数与数轴上的点一一对应； ②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线互相平行； ④同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑤直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离。其中假命题的个数是（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】根据实数与数轴、平行线的性质、点到直线的距离的概念判断即可．
【详解】解：①实数与数轴上的点一一对应，故本小题说法是假命题；
②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故本小题说法是假命题；
③平行于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题；
④同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题；
⑤直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故本小题说法是假命题；
故选：B．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7. 在下列说法中：①是的平方根：②的立方根是：③的算术平方根是5：④带根号的数都是无理数；⑤已知是有理数，则；以上说法正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的性质，无理数的定义，算术平方根和立方根，熟知相关知识是解题的关键．对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此判断逐项进行判断即可．
【详解】解：①不是的平方根，原说法错误；
②的立方根是，原说法错误；
③的算术平方根是5，原说法正确；
④带根号的数不一定都是无理数，例如是有理数，原说法错误；
⑤已知是有理数，则，原说法正确；
∴说法正确的共2个，
故选：B．
8. 如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由两直线平行，同位角相等，可求得的度数，然后求得的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴．

故选：D．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，余角的性质，熟悉掌握平行线的性质是关键．
9. 如图数轴上表示1、的对应点分别为点A、点B．若点A是的中点，则点C所表示的数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴以及二次根式的运算，熟练掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键．
根据线段中点得出，计算求解即可．
【详解】解：设点C所表示的数为a，
由题可知，，
∵点A是的中点，
∴，
∴，
故选：D．
10. 如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，、两点分别与、对应，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质和折叠的性质，熟练掌握平行线的性质和折叠的性质是解题的关键．
根据平行线的性质和折叠的性质可得，，进行等量代换即可求解．
【详解】解：∵，将沿折叠，、两点分别与、对应，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 如图，点在直线上，当的度数为_______时，．
【答案】##57度
【解析】
【分析】本题考查了平角的概念以及平行线的性质，根据，得出，再结合平角的概念进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
即当的度数为时，．
故答案为：．
12. 若，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平方与绝对值的非负性，列式得到的值，代入后根据算术平方根定义求解即可得到结论．
【详解】解：，
当时，得到，
解得，
．
【点睛】本题考查代数式求值，涉及到平方与绝对值的非负性和算术平方根的定义，熟记相关定义是解决问题的关键．
13. 如图，将周长为17cm的△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，平移后得到一个四边形ABFD的周长为23cm，则平移的距离为_____cm．
【答案】3
【解析】
【分析】根据平移的性质得到，，即可通过四边形ABFD的周长得到关于AD的方程，解方程即可得到答案．
【详解】设四边形ABFD的周长为，则，
由根据平移的性质得AB=DE，
∴，
∴
∵
∴，
∴平移的距离为3cm，
故答案为：3．
【点睛】本题考查图形平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移的相关知识．
14. 如图是小明写字桌上的一款折叠护眼台灯的简易图，支柱与桌面交于点，灯管与桌面平行，若，，则的度数为______．
【答案】#100度
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，过作，由平行公理推论得，最后由平行线的性质和角度和差即可求解，掌握平行线的性质，平行公理推论的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，过作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如果＝3.873，＝1.225，那么＝___________．
【答案】1225
【解析】
【分析】根据算术平方根与被开方数的关系：“被开方数每向左或向右移动4个位数，则它的算术平方根就向左向右移动2个位数”可知答案．
【详解】解：∵1.5×10000=15000，
∴＝100＝122.5，
故答案：122.5．
【点睛】本题考查了算术平方根与被开方数的关系，关键在于知道它们之间有何关系．
16. 将一副三角板中的两块直角三角尺按如图方式放置（其中），固定三角尺，将三角尺以每秒的速度绕点B按逆时针方向旋转停止．在这个过程中，当运动时间为__________秒时，三角尺的一边与三角尺的某一边平行（不共线）．
【答案】0.5或1.5或3.5或4.5或5
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，分5种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：①当时，如图，
则：，
∴，
∴；
②当时，此时，
∴，
∴；
③当时，，
∴，
∴，
∴，
∴；
④当时，则：，
∴；
⑤当时，则：，
∴；
综上：0.5或1.5或3.5或4.5或5；
故答案为：0.5或1.5或3.5或4.5或5．
三、解答题（本题共9小题，共86分，第17-18题8分，第19-20、23题每题10分，第21-22题每题7分，第24题12分，第25题14分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）6 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握立方根定义，乘方运算法则，是解题的关键．
（1）根据绝对值意义，立方根定义，乘方运算法则进行计算即可；
（2）根据乘方运算法则，立方根定义进行求解即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. （1）
（2）
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】（1）先移项，再根据平方根定义开方即可求解；
（2）先移项，再根据立方根定义求出方程的解即可．
【详解】解： (1)移项得：，
∴，
∴，
（2）移项得：
∴，
∴
【点睛】本题考查解方程，掌握平方根和立方根的运算是解本题的关键．
19. （1）已知的平方根是的立方根是3，求的平方根．
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）25
【解析】
【分析】本题主要考查了数的开方，代数式求值．熟练掌握平方根和算术平方根，立方根，算术平方根和完全平方式的非负性，是解决问题的关键．
（1）根据平方根的定义和立方根的定义建立方程组求出a、b的值，代入求出其值，然后再求其平方根即可；
（2）根据算术平方根、绝对值和平方式的非负性求出x、y、z的值，代入计算即得．
【详解】解：（1）∵已知的平方根是，的立方根是3，
∴，
解得，，
∴，
16的平方根为，
∴的平方根为；
（2）∵，
∴，，
解得：，，，
∴．
20. 如图，先将方格纸中的三角形向右平移5个单位，然后向上平移3个单位．
（1）画出经过两次平移后的三角形．
（2）计算三角形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】
【分析】本题考查了图形平移作图，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据图行平移的性质分别将点，，向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点，，，依次连接即可；
（2）利用割补法求出三角形的面积即可．
【小问1详解】
解：如图，三角形即为所求作的三角形；
【小问2详解】
解：．
21. 完成推理填空：如图在中，已知，．试说明C．

解：（邻补角定义），（已知）
___________（同角的补角相等）
___________（内错角相等，两直线平行）
（___________）
___________（___________）
（___________）
（___________）
【答案】；；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定和性质、邻补角定义、等量代换等相关知识点，解题的关键是辨别同位角、内错角、邻补角等．根据补角的性质得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出；根据等量代换得出，根据平行线的判定得出，最后根据平行线的性质得出结论．
【详解】证明：∵（邻补角定义），（已知）
∴（同角的补角相等）
∴（内错角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：；；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
22. 如图，直线、相交于O，OE⊥OF，∠BOF=2∠BOE，OC平分，求的度数．
【答案】105°
【解析】
【分析】根据垂直的定义可得∠EOF=90°，根据∠BOF=2∠BOE可得∠BOE=30°，根据平角的定义可得∠AOE=150°，根据角平分线的定义可得∠COE=75°，进而根据平角的定义可得答案．
【详解】∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∵∠BOF=2∠BOE，∠BOE+∠BOF=∠EOF，
∴∠BOE=∠EOF=30°，
∴∠AOE=180°-∠BOE=150°，
∵OC平分，
∴∠COE=∠AOE=75°，
∴=180°-∠COE=105°．
【点睛】本题考查垂线的定义、平角的定义及角平分线的定义，熟练掌握定义是解题关键．
23. 已知一块面积为的正方形画布．
（1）求该正方形画布的边长；
（2）甲乙两名同学想沿着该正方形画布边的方向裁下一块长方形画布．其中，甲的方案是：长方形的面积为，且长宽之比为：；乙的方案是：长方形的面积为，且长宽之比为：．问甲乙两人的方案是否可行？并说明理由．
【答案】（1）该正方形画布的边长为
（2）甲方案不可行，乙方案可行，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据算术平方根的定义即可求解；
（2）甲方案中，设长方形纸片的长为，宽为，乙方案中，设长方形纸片的长为，宽为，分别列出方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
∵正方形画布的面积为400
∴该正方形画布的边长为．
【小问2详解】
甲的方案不可行，乙方案可行
甲方案中，设长方形纸片的长为，宽为，
则，即，
，
解得：（负值舍去），
长方形的长为．
，但正方形纸片的边长只有，故甲方案不可行；
乙方案中，设长方形纸片的长为，宽为，
则，即，
解得：（负值舍去），
长方形的长为，故乙方案可行，
综上，甲方案不可行，乙方案可行．
【点睛】本题考查了算术平方根的实际应用，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
24. 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘．
你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：
①，又，
，∴能确定59319的立方根是个两位数．
②∵59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9．
③如果划去59319后面的三位319得到数59，
而，则，可得，
由此能确定59319的立方根的十位数是3
因此59319的立方根是39．
（1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空．
①它的立方根是_______位数．
②它的立方根的个位数是_______．
③它的立方根的十位数是__________．
④195112的立方根是________．
（2）请直接填写结果：
①________．
②________．
【答案】（1）①两；②8；③5；④58；（2）①24；②56．
【解析】
【分析】（1）①根据例题进行推理得出答案；
②根据例题进行推理得出答案；
③根据例题进行推理得出答案；
④根据②③得出答案；
（2）①先判断它的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得到结论；
②先判断它的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得到结论.
【详解】（1）①， ，
∴，
∴能确定195112的立方根是一个两位数，
故答案为：两；
②∵195112的个位数字是2，又∵，
∴能确定195112的个位数字是8，
故答案为：8；
③如果划去195112后面三位112得到数195，
而，
∴，
可得，
由此能确定195112的立方根的十位数是5，
故答案为：5；
④根据②③可得：195112的立方根是58，
故答案为：58；
（2）①13824的立方根是两位数，立方根的个位数是4，十位数是2，
∴13824的立方根是24，
故答案为：24；
②175616的立方根是两位数，立方根的个位数是6，十位数是5，
∴175616的立方根是56，
故答案为：56.
【点睛】此题考查立方根的性质，一个数的立方数的特点，正确理解题意仿照例题解题的能力，掌握一个数的立方数的特点是解题的关键.
25. 某地举办电影节，为了主场馆有更好的灯光效果，工作人员设计了灯光组进行舞台投射．如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2°，灯B转动的速度是每秒1°，假定主道路是平行的，即，且．
（1）填空：______；
（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，且，求在灯B射线到达BQ之前，转动的时间为多少秒？直接写出答案．
【答案】（1）120 （2）30秒或110秒
（3）110秒或130秒
【解析】
【分析】（1）根据，求解；
（2）设灯转动秒，其光束为射线时与灯射线平行．分和两种情况，用含t的式子表示出相关角的大小，根据平行线的性质找出角的等量关系，列方程即可求解；
（3）分点C在左侧与右侧两种情况，画出图形，用含t的式子表示出和，，根据等量关系列方程即可．
【小问1详解】
解：，，
，
故答案为：120；
【小问2详解】
解：设灯转动秒，其光束为射线时与灯射线平行．

①当时，则有，
如图1．，
．
，
，
，
，
解得；
②当时，此时的射线已到达再返回，
则有，，
如图2．，
．
，
，
，
，
解得．
综上所述，当灯转动30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；
【小问3详解】
解：转动的时间为110秒或130秒．
由题可知．
，
，．
设灯射线转动时间秒，
图3中，当时，，或．
又，
，
则，
解得，此时与不相交，不符合题意；
或，
解得；
如图4中，当时，，，
则，
解得．
综上所述，灯射线在到达之前，转动的时间为110秒或130秒．
【点睛】本题考查平行线的应用，一元一次方程的应用，难度较大，注意分情况讨论是解题的关键．