浙江省嘉兴市八校2024-2025学年高二下学期4月期中联考 数学试题（含解析）

这是一份浙江省嘉兴市八校2024-2025学年高二下学期4月期中联考 数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列函数求导正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．若的展开式中常数项为32，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
3．若随机变量，且，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．从4名女生和2名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，若按性别比例分层随机抽样，则不同的抽取方法数为（ ）
A．56B．28C．24D．12
5．某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员．在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则等于（ ）
A．B．C．D．
6．三次函数在上是减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共1小题）
7．已知函数定义域为，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示. 下列关于函数的结论正确的有（ ）
A．函数的极大值点有个
B．函数在上是减函数
C．若时，的最大值是，则的最大值为4
D．当时，函数有个零点
三、单选题（本大题共1小题）
8．已知函数，，若在区间上，函数的图象恒在函数图象的上方，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．或D．
四、多选题（本大题共3小题）
9．若随机变量服从两点分布，其中分别为随机变量的均值和方差，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知的二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，则（ ）
A．B．展开式的各项系数和为243
C．展开式中奇数项的二项式系数和为16D．展开式中有理项一共有3项
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，若有三个零点，则b的取值范围为
B．若满足，则
C．若过点可作出曲线的三条切线，则
D．若存在极值点，且，其中，则
五、填空题（本大题共3小题）
12．设曲线的图象在点(1，)处的切线斜率为2，则实数a的值为 ．
13．在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为 ．
14．在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为 ．
六、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数有极小值．
(1)求的单调区间；
(2)求在上的最大值和最小值．
16．设，且．
(1)求与的值；
(2)求的值．
17．张先生家住小区，他在科技园区工作，从家开车到公司上班有，两条路线(如图)，路线上有，，三个路口，各路口遇到红灯的均为；上有，两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，.
（1）若走路线，求最多遇到1次红灯的概率；
（2）若走路线，求他遇到红灯的次数的分布列和数学期望.
18．随着新中考英语人机测试的推行，为了确保学生能够有效应对这一新的考试形式，某中学决定展开深入调查，组织一次模拟测试，对学生的英语水平能力进行准确评估，并据此制定针对性的教学方案.该校从初二学年学生中随机抽取40人将进行模拟测试.现将40人分成三个小组，其中组15人，组15人，组10人.
(1)第一轮测试按小组顺次进行.若一切正常，则该小组完成测试的时间为10分钟，若出现异常情况，则该小组需要延长5分钟才能完成测试.已知每小组正常完成测试的概率均为，且各小组是否正常完成测试互不影响.记3个小组完成测试所需时间为，求的分布列;
(2)第二轮测试将3组同学一起排序，每一位同学顺次上机操作.
①求最后一名同学来自组的条件下，组同学比组同学提前完成测试的概率;
②若每名同学完成测试的时间都是为3分钟，求组和组同学全部完成测试所需时间的期望.
19．已知函数.
（1）讨论函数的极值；
（2）是否存在实数，使得不等式在上恒成立？若存在，求出的最小值：若不存在，请说明理由.
参考答案
1．【答案】A
【详解】，故A正确；，故B错误；，故C错误；，故D错误.
故选A.
2．【答案】A
【详解】的展开式通项为.
故常数项为，得.
故选A.
3．【答案】A
【详解】因为，，
所以，解得.
故选A.
4．【答案】D
【详解】所抽取的男生人数为，因此女生人数为2，
抽取方法数共有种．
故选D．
5．【答案】B
【详解】设事件为选到的是团员，事件为选到的是男生，
根据题意可得， ，，
故．
故选B．
6．【答案】A
【详解】对函数求导，得
因为函数在上是减函数，则在上恒成立，
即恒成立，
当，即时，恒成立；
当，即时，，则，即，
因为，所以，即；
又因为当时，不是三次函数，不满足题意，
所以.
故选A．
7．【答案】ABD
【详解】由导数的正负性可知，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为、，B选项正确；
函数有个极大值点，A选项正确；
当时，函数最大值是，而最大值不是，C选项错误；
作出函数的图象如下图所示，由下图可知，当时，函数与函数的图象有四个交点，D选项正确.
故选ABD.
8．【答案】D
【详解】令，由数的图象恒在函数图象的上方得在上恒成立，即即可，
所以，令有或，
由，所以，由有或，由有，
所以在上单调递减，在单调递增，
所以只需，
故选D.
9．【答案】ACD
【详解】对于选项A：随机变量X服从两点分布，因为
故，故选项A正确；
对于选项B：，故选项B错误；
对于选项C：，故选项C正确；
对于选项D：，故D正确.
故选ACD.
10．【答案】BCD
【详解】A选项，二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，即为奇数，
且与最大，所以，解得，A错误；
B选项，中，令得，，
故展开式的各项系数和为243，B正确；
C选项，展开式中的二项式系数和为，其中奇数项和偶数项的二项式系数和相等，
所以展开式中奇数项的二项式系数和为16，C正确；
D选项，展开式通项公式为，，且为整数，
当时，满足要求，当时，满足要求，当时，满足要求，
综上，展开式中有理项一共有3项，D正确.
故选BCD.
11．【答案】ACD
【详解】对于A ，，当时，，，
令，解得或，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时取得极大值，当时取得极小值，
有三个零点，，解得，故选项A正确；
对于B ，满足，根据函数的对称可知的对称点为，将其代入，得，
解得，故选项B错误；
对于C ，，
设切点为，则切线的斜率
化简，
得
由条件可知该方程有三个实根，有三个实根，
记，
令，解得或，
当时取得极大值，当时，取得极小值，
因为过点可作出曲线的三条切线，
所以，解得，故选项C正确；
对于D ，，，
当，在上单调递增；
当，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
存在极值点，
由得
令，
，于是，
所以
，
化简得：，
，，于是，
.故选项D正确；
故选ACD.
12．【答案】3
【详解】函数，可得，
所以切线的斜率为，解得.
13．【答案】/
【详解】因为在内取值的概率为，服从正态分布，
所以，且，
所以，
所以，
所以在内取值的概率为.
14．【答案】 84
【详解】试题分析：甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，
①当有二所医院分2人另一所医院分1人时，总数有种，其中有、甲乙二人或丙丁二人在同一组有种；②有二所医院分1人另一所医院分3人.有种.故满足条件的分法共有种.
15．【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为，
(2)最大值为，最小值为．
【详解】（1），
令，解得或，令，解得，
所以单调递减区间为，单调递增区间为，．
（2）由（1）知，的极小值为，解得．
∵在单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
∴的极小值为，
的极大值为
又，
，
所以在上的最大值为，最小值为．
16．【答案】(1)；
(2)511.
【详解】（1）由，得，取，得，
所以.
（2）由（1）知，，
当时，，
当时，，
因此，
所以.
17．【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：.
【详解】（1）设走路线最多遇到1次红灯为事件，则.
（2）依题意，的可能取值为0，1，2.
则；；
，
随机变量的分布列为：
.
18．【答案】(1)分布列见解析
(2) ，
【详解】（1）设事件：组正常完成；设事件：组正常完成；设事件：组正常完成；
随机变量的可取值：30，35，40，45
的分布列：
（2）①设事件：最后一名同学来自组；事件：组同学比组同学提前完成测试.
则
②设所需时间为，的可取值：90,，93，96，，，，120（）
则
∴
19．【答案】（1）答案不唯一，具体见详解；（2）存在；的最小值是1.
【分析】（1）对（或）是否恒成立分类讨论，若恒成立，没有极值点，若不恒成立，求出的解，即可求出结论；
（2）令，可证恒成立，而，由（1）得，在为减函数，在上单调递减，在都存在，不满足，当时，设，且，只需求出在单调递增时的取值范围即可.
【详解】（1）由题知，，
①当时，，所以在上单调递减，没有极值；
②当时，令，得，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
故在处取得极小值，无极大值；
（2）不妨令，
设在恒成立，
在单调递增，，
在恒成立，
所以当时，，
由（1）知，当时，在上单调递减，
恒成立；
所以若要不等式在上恒成立，只能.
当时，，由（1）知，在上单调递减，
所以，不满足题意.
当时，设，
因为，所以，
，
所以在上单调递增，又，
所以当时，恒成立，即恒成立，
故存在，使得不等式在上恒成立.
此时的最小值是1.
【关键点拨】本题考查导数综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、不等式证明，考查分类讨论思想，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力.
0
1
2
30
35
40
45