陕西省西安市第八十三中学2024−2025学年高二下学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份陕西省西安市第八十三中学2024−2025学年高二下学期第一次月考 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．函数的极大值点是（ ）
A．B．1C．D．
2．设函数，则曲线在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为：“回文数”.如55，696，3773等，那么用数字1，2，3，4，5，6，7，8可以组成4位“回文数”的个数为（ ）
A．36个B．56个C．64个D．84个
4．已知函数在定义域上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．当时，设函数存在导数，且满足，若，则（ ）
A．B．C．0D．
6．已知函数有2个实数解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．若直线与函数和的图象分别相切于点，则（ ）
A．2B．C．D．
8．已知函数，，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数，则（ ）
A．为奇函数
B．的单调递增区间为
C．的极小值为
D．若关于的方程恰有3个不等的实根，则的取值范围为
10．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记．若在上恒成立，则称在上是“下凸函数”．下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知，则下列说法正确的有（ ）
A．的零点个数为4B．的极值点个数为3
C．若，则D．轴为曲线的切线
三、填空题（本大题共4小题）
12．函数的单调递减区间为 ．
13．乙巳蛇年，古城榆林燃动全国秧歌热潮，国内外共39支队伍汇聚榆林，舞动非遗年味.现有4名国际友人，每人从俄罗斯、保加利亚、榆林市直教育系统的三支秧歌队中选择观看一支，则不同的观看方式有 .（用数字作答）
14．在边长为的长方形铁片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的长方体箱子，则箱子容积的最大值为 .
15．已知函数，则的最小值是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
16．已知函数在处取得极大值为9.
(1)求的值;
(2)求函数在区间上的最大值.
17．已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，
.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和.
18．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
19．在四棱锥中，点是棱上一点，，，，.
(1)证明：平面；
(2)若，求二面角的正弦值.
20．已知函数，其中．
(1)若函数的最小值为，求a的值；
(2)若存在，且，使得，求a的取值范围．
参考答案
1．【答案】B
【详解】由题设，当时，当或时，
所以在、上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极大值点是1.
故选B.
2．【答案】D
【详解】由题意得，
于是当时，曲线在点处的切线斜率为，
此时切线方程为，即.
故选D.
3．【答案】C
【详解】根据题意，分种情况讨论：
①位“回文数”中数字全部相同，有种情况，即此时有个位“回文数”；
②位“回文数”中有个不同的数字，有种情况，即此时有个位“回文数”；
则一共有个位“回文数”；
故选C．
4．【答案】D
【详解】由，解得，
所以的定义域是，
依题意可知在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
由于，
所以的最大值为，
所以.
故选D.
5．【答案】D
【详解】由，即，即，
所以是常数，
当时，，所以，
当时，，得.
故选D
6．【答案】B
【详解】由题意， ，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
当时，可得，
当
所以函数的图象如图所示，函数和的图象有2个公共点，
结合图象可得实数的取值范围.
故选B.
7．【答案】C
【详解】设，，
因为，，
所以函数的图象在点处的切线方程为，即，
函数的图象在点处的切线方程为，即，
因为直线是两函数图象的公切线，所以，
由①可得，代入②得，
因为，所以，所以，，
所以.
故选C．
8．【答案】B
【详解】∵，，
∴，
令，
∴在上单调递增，
∴，即，
∴，
令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
∴，
∴的最小值为，
故选B.
9．【答案】ACD
【详解】由函数，可得，
对于A中，由，定义域为关于原点对称，
且，所以函数为奇函数，所以A正确.
对于B中，由，解得或，
即函数的递增区间为，所以B不正确.
对于C中，由，解得，所以函数的递减区间为，
所以，当时，函数取得极小值，极小值为，所以C正确.
对于D中，由函数在上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以极大值为，极小值为，
且时，；时，；
又由关于的方程恰有3个不等的实根，
即函数与的图象有3个不同的交点，可得，
所以实数的取值范围为，所以D正确.
故选ACD.
10．【答案】ABC
【详解】对于A，定义域为，，，故A正确；
对于B，定义域为，，，故B正确；
对于C，定义域为，，，故C正确；
对于D，定义域为，，，
当时，，故D错误.
故选ABC.
11．【答案】BCD
【详解】由题意可得，
令,得，
分别画出和的图象如图所示，

由图可知有三个解，即有三个解，分别为，，，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，取得极大值，
当时，取得极小值，
当时，取得极大值，
所以有两个零点，三个极值点，A错误，B正确；
因为，
所以关于对称，若，则，C正确；
因为取得极大值为，所以轴为曲线的切线，D正确.
故选BCD.
12．【答案】/
【详解】因为函数，定义域为，
所以，
令，所以，
的单调递减区间为.
13．【答案】81
【详解】4名国际友人，每人有三种选择，所以种.
故答案为：81.
14．【答案】18
【详解】设小正方形的边长为，依题意，箱子容积，
由，解得，所以的定义域为.
则，
所以在区间单调递增；
在区间单调递减，
所以当时，取到最大值，且最大值为.
15．【答案】
【详解】［方法一］： 【通性通法】导数法
．
令，得，即在区间内单调递增；
令，得，即在区间内单调递减．
则．
［方法二］： 三元基本不等式的应用
因为，
所以
．
当且仅当，即时，取等号．
根据可知，是奇函数，于是，此时．
［方法三］： 升幂公式＋多元基本不等式
，
，
当且仅当，即时，．
根据可知，是奇函数，于是．
［方法四］： 化同角＋多元基本不等式+放缩
，当且仅当时等号成立．
［方法五］：万能公式＋换元+导数求最值
设，则可化为，
当时，；当时，，对分母求导后易知，
当时，有最小值．
［方法六］： 配方法
，
当且仅当即时，取最小值．
［方法七］：【最优解】周期性应用＋导数法
因为，所以，
即函数的一个周期为，因此时，的最小值即为函数的最小值．
当时，，
当时， 因为
，令，解得或，由，，，所以的最小值为．
【整体点评】方法一：直接利用导数判断函数的单调性，得出极值点，从而求出最小值，是求最值的通性通法；
方法二：通过对函数平方，创造三元基本不等式的使用条件，从而解出；
方法三：基本原理同方法三，通过化同角利用多元基本不等式求解，难度较高；
方法四：通过化同角以及化同名函数，放缩，再结合多元基本不等式求解，难度较高；
方法五：通过万能公式化简换元，再利用导数求出最值，该法也较为常规；
方法六：通过配方，将函数转化成平方和的形式，构思巧妙；
方法七：利用函数的周期性，缩小函数的研究范围，再利用闭区间上的最值求法解出，解法常规，是该题的最优解．
16．【答案】(1)
(2)9．
【详解】（1），
依题意得，
即，解得．
检验，当时，
∴
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
满足题意，所以.
（2）由（1）得，，
令，得；令，得或，
在上的单调递减区间是，单调递增区间为．
，函数在区间上的最大值为9．
17．【答案】（Ⅰ）..（Ⅱ）.
【详解】试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程求出等差数列首项和公差及等比数列的公比，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确.
试题解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知，得，而，所以.又因为，解得.所以，.
由，可得.由，可得，联立①②，解得，由此可得.
所以，的通项公式为，的通项公式为.
（Ⅱ）解：设数列的前项和为，由，有
，
，
上述两式相减，得
.
得.
所以，数列的前项和为.
18．【答案】，因此.,当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为70万元．
【详解】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为.
再由，得，因此.
而建造费用为
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
（Ⅱ），令，即.
解得，（舍去）.
当时，，当时，，故是 的最小值点，对应的最小值为．
当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为70万元．
19．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：取的中点，连接，，.
因为，，，所以，
所以，.
又，所以平面，从而.
因为，，所以平面.
（2）因为平面，所以，，又，
所以.
因为，所以.
以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，
因为，所以，.
设平面的一个法向量为，
由，得，
令，则，，所以.
因为，，所以平面，所以平面的一个法向量为，
所以，，即二面角的正弦值为.
20．【答案】(1)1
(2)
【详解】（1）解：函数定义域为，．
若，则，函数为减函数，无最小值．
若，由得．
所以，，，的变化情况如下表：
所以，的最小值即极小值为．
所以，，即．设，则，
所以，为上的增函数，
又因为．
所以，．
（2）解：由，得，
即，将代入，
有：，得．
令，，，
所以，将问题转化为函数在区间上有零点．
所以，．其中．
因为函数的对称轴方程为．
所以，当，则恒成立，得在区间为减函数，
又，
所以，函数在区间无零点．
当，则有两不等正实根和，
设，有，且．
所以，，，的变化如表：
又，得．
下面证明函数在减区间上存在零点．
考虑到中含参数a，
取．则，
当时，，则．
令，则，
令，当时，有，
所以，函数在时为减函数，由，知恒成立．
所以，为上的减函数．
所以．
又，于是，
所以，函数在减区间上存在零点．
综上，实数的取值范围是．－
0
＋
极小值
＋
0
－
极大值