江西省景德镇市乐平市第三中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试 数学试题（含解析）

这是一份江西省景德镇市乐平市第三中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知为等比数列，公比，则（ ）
A．81B．27C．32D．16
3．设，则（ ）
A．B．
C．D．
4．某校文艺汇演上有一个合晿节目，3名女同学和4名男同学需从左至右排成一排上台演唱，则男生甲与女生乙相邻，且男生丙与女生丁相邻的排法种数为（ ）
A．194B．240C．388D．480
5．建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示.
下列叙述中正确的是（ ）
A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0
B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率
C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率
D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率
6．2025年春节期间，有《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《熊出没•重启未来》和《射雕英雄传：侠之大者》五部电影上映，小罗准备和另外3名同学去随机观看这五部电影中的某一部电影，则小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知数列的各项均为正数，，若数列的前项和为5，则（ ）
A．118B．119C．120D．121
8．已知函数，记等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．-2025B．C．2025D．4045
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．可表示为
B．若把英文“her”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有23种
C．10个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，一共握手45次
D．学校有5个“市三好学生”名额，现分给3个年级，每个年级至少一个名额，则有6种分法
10．在等比数列中，，，则（ ）
A．的公比为B．的前项和为
C．的前项积为D．
11．已知数列满足，且，，数列的前n项和为，则（ ）
A．B．是等比数列
C．时，D．不存在，使得为整数
三、填空题（本大题共3小题）
12．的展开式中常数项为 .
13．设数列的前项和为，若，，则的通项公式为 ．
14．已知直线是曲线与的公切线，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数及其导函数满足.
(1)求的解析式；
(2)若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程.
16．设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且.
(1)求、的通项公式：
(2)求数列的前项和．
17．某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人，它结合了人工智能、语音识别、互动娱乐和教育等内容，且云端内容可以持续更新，旨在通过趣味性和互动性帮助孩子学习和发展.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎，为了更好的服务广大家长，该公司对萌宠机器人的某个性能指数与孩子的喜爱程度进行统计调查，得到如下数据表：
(1)请根据上表提供的数据，通过计算变量的相关系数，回答是否可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强（当时，与相关性很强）；
(2)该公司科技人员小李想挑战萌宠机器人，他和机器人比赛答题，他们每人答4个题，若小李答对题数不小于3，则挑战成功.已知小李答对前两道题的概率均为，答对后两道题的概率均为，假设每次答题相互独立，且互不影响，当时，求小李挑战成功的概率的最大值.
参考公式：相关系数
18．现有标号依次为1，2，…，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入n号盒子为止．
(1)当时，求2号盒子里有2个红球的概率；
(2)当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列；
(3)记n号盒子中红球的个数为，求的期望．
19．已知每项均不为0的数列满足：，.
(1)若，求的值；
(2)若，，求数列的最大项；
(3)记为数列的前项和，是否存在满足条件的数列，使得？如存在，求出这样的数列的一个通项公式；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为数列满足，，
所以，数列是公差为的等差数列，故.
故选C.
2．【答案】A
【详解】根据可得，所以或，
若，则不符合要求，
若，则符合要求，故，
故选A.
3．【答案】B
【详解】由题意，，
.
所以，是周期为4的循环函数，则.
故选B.
4．【答案】D
【详解】因为男生甲与女生乙相邻，且男生丙与女生丁相邻，
所以先将男生甲与女生乙、男生丙与女生丁分别看作一个整体，
与剩下3名学生进行排列有种排法，
又男生甲与女生乙之间有种排法，男生丙与女生丁之间有种排法，
因此根据乘法原理得所求种数为，
故选D.
5．【答案】D
【详解】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，
乙水库的蓄水量的平均变化率大于，故A错误；
对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库的蓄水量的平均变化率大于，
故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，故B错误；
对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于，
乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于，
故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故C错误；
对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快，
故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故D正确.
故选D.
6．【答案】C
【详解】依题意每位同学均有种选择，则四位同学一共有种方案，
若小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影，
有两人看《哪吒之魔童闹海》，则有种方案，有一人看《哪吒之魔童闹海》电影，则有种方案，
即满足小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影一共有种方案，
所以所求概率.
故选C.
7．【答案】C
【详解】解：因为数列的各项均为正数，，
所以，
则是以4为首项，以4为公差的等差数列，
所以，则，
所以，
所以数列的前n项和为，
令，解得，
故选C.
8．【答案】A
【详解】令，则的定义域为，又，所以是奇函数，
因为与均在上单调递增，所以在上单调递增.
因为，所以，则，
因为，所以，
所以，即.
所以，.
故选A.
9．【答案】BCD
【分析】利用排列数公式判断A；利用排除法列式计算判断B；利用组合计数判断C；分类计算判断D.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，四个字母全排列共有种，而正确的只有1种，可能出现的错误共有种，B正确；
对于C，10个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，共有次，C正确；
对于D，5个名额，按分有种，按分有种，共有种，D正确.
故选BCD.
10．【答案】AB
【详解】对A，设等比数列的公比为，则，得，
所以，所以，
所以，
所以数列的公比为，故A正确
对B，因为，所以的前项和为
，故B正确；
对C，的前项积为，故C错误
对D，因为，
所以的前项和为，故D错误．
故选AB.
11．【答案】ABD
【详解】对于A，，，故A正确；
对于B，由，得，
又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故B正确；
对于C，由B选项知，
所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以，
则，
，
两式相减得
，
所以，
，
因为，所以，
所以当时，
，
所以当时，，故C错误；
对于D，
，
因为不同时为整数，
所以，故D正确．
故选ABD．
12．【答案】240
【详解】因为的展开式中，通项公式为，
令，可得，所以展开式中的常数项为.
13．【答案】
【详解】由得：，即，
又，数列是以为首项，为公比的等比数列，；
当时，；
当时，；
经检验：不满足.
14．【答案】
【详解】设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，
由于，，
所以，，，，
所以由点在切线上，得切线方程为，
由点在切线上，得切线方程为，
故解得.
15．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）令，得即，
由求导可得，
令，可得，即.
所以，则.
（2）设切点为，因为，所以，
所以切线方程为.
因为切线恰好经过坐标原点，所以，解得.
所以切线方程为，即.
16．【答案】(1)，；
(2).
【详解】（1）设等差数列的公差为，设等比数列的公比为，
因为，
所以，即，
，即，则，
所以，整理可得即，
解得或（舍去）.
所以，则，解得或（舍去），故.
所以，.
（2）由（1）知，，则.
.
17．【答案】(1)，可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强
(2)
【详解】（1）由表知，，
，
，
，
，
则，
由此可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强．
（2）当小李答对题数为3时，概率为：
，
当小李答对题数为4时，概率为：，
所以小李挑战成功的概率为：，
由，，，
则，当且仅当时等号成立，
所以，由二次函数的知识可知，
当时，小李挑战成功的概率最大，最大为.
18．【答案】(1)
(2)分布列见解析
(3)
【详解】（1）由题可知2号盒子里有2个红球的概率为；
（2）由题可知可取，
，
，
所以3号盒子里的红球的个数ξ的分布列为
（3）记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则，
为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则，
则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为，
且，
化解得，
得，
而则数列为等比数列,首项为，公比为，
所以，
又由求得：
因此．
19．【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，.
【详解】（1）因为，所以或，
因为，所以或，
当时，，或，不满足题意，舍去；
当时，或，
若时，或，不满足题意，舍去；
若时，或，满足题意，
所以.
（2）由，得，所以数列为等差数列，其通项为.
则，所以，
令，解得，即时有，
令，解得，即时有，
所以，
所以数列的最大项为.
（3）由，可构造数列，满足.
5
6
7
8
9
0.55
0.50
0.60
0.65
0.70
1
2
3
P