广东省汕头市澄海中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题

这是一份广东省汕头市澄海中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题，共12页。试卷主要包含了已知直线与直线间的距离为，则，函数的图象大致为，已知事件A，B相互独立，且，则，若直线l等内容，欢迎下载使用。
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.
第一部分（选择题，共60分）
一、单项选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合，，则的元素个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．设，则=（ ）
A．B．C．D．2
3．已知数列是一个等差数列，，公差，则其首项（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．已知直线与直线间的距离为，则（ ）
A． B．或 C．或11 D．6或
5．设为单位向量，在方向上的投影向量为，则（ ）
A．B．C．D．
6．函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
7．已知点D在△ABC确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
8．已知双曲线的左､右焦点分别为，过斜率为的直线与的右支交于点，若线段与轴的交点恰为的中点，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知事件A，B相互独立，且，则（ ）
A．事件A，B对立B．事件A，B互斥
C． D．
10．若直线l:3x+4y+n=0（n∈N*）与圆C:(x-2)2+y2=an2(an>0)相切，则（ ）
A. a1= B.数列{an}为等差数列
C.圆C可能经过坐标原点 D.点(1,1)在直线l上
11．函数在区间上为单调函数，图象关于直线对称，则（ ）
A．
B．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于轴对称
C．若函数在区间上没有最小值，则实数的取值范围是
D．若函数在区间上有且仅有2个零点，则实数的取值范围是
12．已知正方体的棱长为1，点P为侧面内一点，则（ ）
A．当时，异面直线CP与AD所成角的正切值为
B．当时，四面体的体积为定值
C．当点P到平面ABCD的距离等于到直线的距离时，点P的轨迹为抛物线的一部分
D．当时，四面体BCDP的外接球的表面积为2π
第二部分（非选择题，共90分）
三、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卷相应横线上.
13．已知经过、两点的直线l的方向向量为，则实数a的值为 ．
14．已知在角的终边上，则 ．
15．已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，过作的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则 .
16．定义在R上的函数单调递减，且满足，对于任意的，满足恒成立，则的最大值为 .
解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
温馨提示: 考生请注意在答题卷规定区域内用黑色笔作答,超出指定区域答题不给分.
17．（10分）在等差数列中，已知，是一元二次方程的两个根．
(1)求，；
(2)求的通项公式．
18．（12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求C；
(2)若，AB边上的高等于，求的周长.
19．（12分）某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的新能源汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴.某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示.
(1)求实数a的值；
(2)估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
(3)现在要从购车补贴金额的心理预期值在[3，5）间用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行调查，求抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在[3，4）间的概率.
20．（12分）如图，已知长方形中，，，为的中点，将沿折起，使得平面平面.

(1)求证：；
(2)若是线段的中点，求平面与平面的夹角的余弦值.
21．（12分）在平面直角坐标系中，圆：，圆：，点，一动圆M与圆内切、与圆外切.
(1)求动圆圆心M的轨迹方程E；
(2)是否存在一条过定点的动直线，与E交于A、B两点，并且满足？若存在，请找出定点；若不存在，请说明理由.
22．（12分）己知偶函数.
(1)求实数k的值；
(2)若且对任意，不等式恒成立，求实数m的最大值；
(3)设，若方程有且只有一个解，求p的取值范围.
澄海中学2023-2024学年度第一学期第二次阶段考试
参考答案
1．C【详解】联立，即，解得：或，
即，
故的元素个数为3.
故选：C
2．B【详解】，
故选：B.
3．A【详解】∵，公差，
则.
故选：A.
4．B【详解】直线可化为，
所以，解得或．
故选：B.
5．D【详解】因为在方向上的投影向量为，
所以，
所以有，
故选：D
6．C【详解】函数的定义域为，
因为，
所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除AB项；
当时，，则，又，
则，故D项错误.
故选：C.
7．A【详解】因为，且四点共面，
由空间四点共面的性质可知，即，
所以，
所以当时，有最小值.
故选：A
8．D【详解】由于线段与轴的交点恰为的中点，且是的中点，
所以，由解得，
则，而，所以，
，
两边除以得，解得或（舍去）.
故选：D
9．CD【详解】，故A，B错误，C正确；
，故D正确.
故选：CD.
BC【详解】因为直线与圆相切，∴，∴，数列{an}是等差数列；
若圆经过原点，则an=2，∴n=4；若直线过点(1，1)，则n=-7不合题意.
11．ABD【详解】选项A：根据题意函数在区间上为单调函数，可以判断为单调递增函数，则，，解得
又因为图象关于直线，则，，解得，
当时，符合条件.则A正确；
选项B：由A可知向右平移个单位长度后，解析式变成，则图象关于轴对称.B正确；
选项C：函数在区间没有最小值，则令，，则，
当，即时，没有最小值.C错误；
选项D：函数在区间上有且仅有2个零点，
因为时，为函数的零点，所以另一个端点只能让函数再有一个零点即可.
所以，即，D正确.
故选：ABD.
12．BCD
【详解】如图1，以D为坐标原点，分别以为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，
设异面直线CP与AD所成角为，
则，故，，A错误；
如图2，因为，且，所以四边形为平行四边形，故，
因为平面，平面，所以平面，
故当点P在上运动时，点P到平面的距离不变，
即当时，四面体的体积为定值，B正确；
如图3，过点P作PE⊥BC于点E，连接，
因为平面，平面，所以，
因为平面，平面，所以AB⊥EP，
因为，平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD，
设，，其中，
当时，，
整理得：，
故当点P到平面ABCD的距离等于到直线的距离时，点P的轨迹为抛物线的一部分，C正确；
如图4，当时，P为的中点，取BD的中点Q，BC的中点N，连接PN，
则PN，故PN⊥平面ABCD，
因为BC⊥CD，故三角形BCD的外心为点Q，则外接球球心O在过点Q且垂直于平面ABCD的直线上，故OQ⊥平面ABCD，OQPN，
连接OP，QN，OB，过点O作OMQN交PN于点M，设四面体BCDP的外接球的半径为R，则OB=OP=R，，OQ=MN，
其中，设OQ=MN=h，则，
由勾股定理得
，故，解得：，
故，，当时，四面体BCDP的外接球的表面积为2π.
故选：BCD.
13．【详解】由已知可得，.
又直线l的方向向量为，
所以，与共线，
所以有，解得.
故答案为：.
14．【详解】由点在角的终边上，
则，
则，
故答案为：.
【详解】因为，所以是以P为顶点的等腰三角形，
则∴|OF|=1,p=2,即x2=4y,∴x02=2
又.
16．【详解】根据题意，可得函数关于中心对称，
所以可得，又，
所以，所以，
根据函数单调性可得，即，（其中），
所以，所以，当且仅当时取等号.
故答案为：.
【详解】
（1）∵，∴或14
∴，或，． ………………… 4分
（2）设公差为d，
若，，得，
则通项公式为； ………………… 7分
若，，则，
则通项公式为． ………………… 9分
故的通项公式：或.………………… 10分
18．【详解】（1）∵，
∴， ………………… 2分
∴，又， ………………… 4分
∴，又， ………………… 5分
∴. ………………… 6分
（2）∵，∴， ………………… 8分
由余弦定理知，∴，………………… 10分
∴，即， ………………… 11分
∴周长为. ………………… 12分
19．【详解】（1）由题意知，，解得
………………… 2分
（2）平均数的估计值为 (万元) ………………… 5分
（3）从购车补贴金额的心理预期值在[3，5)间用分层抽样的方法抽取6人，
则购车补贴金额的心理预期值在[3，4）间的有4人，记为，
购车补贴金额的心理预期值在[4，5）间的有2人，记为A，B， ………………… 7分
则基本事件有:
共15种情况 ………………… 9分
其中购车补贴金额的心理预期值都在[3，4）间有共6种情况 …………………10分
∴抽到的2人中购车补贴金额的心理预期值都在[3 ,4)间的概率为 ……12分
20.【详解】（1）在长方形中，，，为的中点，则，
∴，即 ………………… 1分
由平面平面，平面平面，平面，
∴平面 ………………… 3分
又平面，
∴. ………………… 4分
取的中点，取中点，连接，则，
由（1）得平面，
由，得，显然直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， ………………… 5分
则，，，，，
由（1）平面，则平面的一个法向量为……… 6分
又，， ……… 7分
设平面的一个法向量，
则，取，得，……… 9分
因此， ……… 11分
∴平面与平面的夹角的余弦值为. ……… 12分
21.【详解】（1）由圆方程知：圆心，半径；
由圆方程知：圆心，半径， ……………1分
设动圆的半径为，
动圆与圆内切，与圆外切，，
，且，
动圆圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线的左支， ……………3分
，
动圆圆心的轨迹方程E为：. …………………4分
（2）设直线为，
把代入，并整理得，
，即，
设，则， …………………7分
，∴
，∴…8分
，，，
，
，即，解得或， ………11分
当时，直线为，过，不合题意，舍去；
当时，直线为，过定点. ………12分
22．【详解】（1）因为函数为偶函数，则，有，
，
得恒成立，得； …………………3分
（2）由（1）知，，
，得或，
即，
不等式，为，
即，恒成立，…………………4分
设，当时，，
∵函数在上单调递增，∴，
即，恒成立， …………………5分
则恒成立，即，
设，，
∵在上单调递增，当时的最小值为，…………………6分
∴，实数的最大值为； …………………7分
（3）由（1）知，，
令，则，
整理为，
设，则，
可得，整理为， …………………8分
原题转化为关于的方程在上只有1个实数根，则有，
当时，即时，方程为，得，符合题意，………………9分
当时，即时，方程的根为或，
由题意可得或，得或，…………………11分
综上可得的取值范围是. ………………12分