广东省汕头市澄海中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题

这是一份广东省汕头市澄海中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题，共20页。试卷主要包含了 函数的零点的个数是， 若复数满足，则等内容，欢迎下载使用。
本试卷共19小题，满分150分．考试用时120分钟．
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上．
2.答选择题时，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．
3.答非选择题时，必须用黑色签字笔或钢笔，将答案写在答题卡上规定的位置上.
4.考试结束后，监考人将答题卡收回，试卷考生自己保管．
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数满足，其中虚数为单位，则=
A. B. C. D.
2. 已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A. 1B.C. D. 3
3. 用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中梯形的上底长是下底长的，若原平面图形的面积为，则的长为（ ）
A. B. C. 1D.
4. 设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的为（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
5. 矩形中，，，点在对角线上，点在边上，且，，则（ ）
A. B. 4C. D.
6. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，2小时后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（ ）
A. 海里B. 海里C. 海里D. 海里
7. 在正三棱柱中，，，分别是，中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 函数的零点的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 甲、乙二人在相同条件下各射击10次，每次中靶环数情况如图所示：

下列说法正确的是（ ）
A. 从环数的平均数看，甲、乙二人射击水平相当
B. 从环数的方差看，甲的成绩比乙稳定
C. 从平均数和命中9环及9环以上的频数看，乙的成绩更好
D. 从二人命中环数的走势看，甲更有潜力
10. 若复数满足，则（ ）
A. 为纯虚数B.
C. D.
11. 已知直三棱柱中，，点分别为棱的中点，是线段上（包含端点）的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 直三棱柱外接球的半径为2
B. 三棱锥的体积与的位置无关
C. 若为的中点，则过三点的平面截三棱柱所得截面为等腰梯形
D. 一只虫子由表面从点爬到点的最近距离为
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分
12. 若，则____________.
13．已知，则的最小值为 ．
14．在一个半径为2的半球形封闭容器内放入两个半径相同的小球，则这两个小球的表面积之和最大为_____________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15 （13分）已知集合.
（1）若，求；
（2）若是的充分不必要条件，求的取值范围.
16. （15分）三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，、分别为、中点.

（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；

17. （15分）某中学高一年级的同学们学习完《统计与概率》章节后，统一进行了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中．

（1）求出a，b，估计测试成绩的分位数和平均分；
（2）按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在内的学生中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都在内的概率．
18. （17分）在中，角，，的对边分别为，，，．
（1）求；
（2）若点是上的点，平分，且，求面积的最小值．
19. （17分）已知.
（1）当时，时，求的取值范围；
（2）对任意，且，有，求的取值范围；
（3），的最小值为，求的最大值.
2023-2024学年度第二学期
高一数学第二次阶段考试卷
本试卷共19小题，满分150分．考试用时120分钟．
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上．
2.答选择题时，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．
3.答非选择题时，必须用黑色签字笔或钢笔，将答案写在答题卡上规定的位置上.
4.考试结束后，监考人将答题卡收回，试卷考生自己保管．
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数满足，其中虚数为单位，则=
A. B. C. D.
【答案】A【详解】因为，所以， ，所以， 故选A.
2. 已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A. 1B.C. D. 3
【答案】D【详解】因为，，，
所以，则.故选：D
3. 用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中梯形的上底长是下底长的，若原平面图形的面积为，则的长为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B【详解】画出原平面图形，如下：
其中，故，，
设，则，，
平面图形的面积为，
故，解得，故.故选：B
4. 设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的为（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
【答案】B【详解】对于A, 可能平行或者异面，故A错误，
对于B，若 ，则 ，故B正确，
对于C，或，故C错误，
对于D，一个平面内的一条直线要垂直于另一个平面内的两条相交直线，才可以得到两个平面垂直，故D错误，故选：B
5. 矩形中，，，点在对角线上，点在边上，且，，则（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得到，代入计算得到答案.
【详解】，
所以
.
故选：C.
6. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，2小时后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（ ）
A. 海里B. 海里C. 海里D. 海里
【答案】A【详解】由题设可得如下示意图，且，即，
由图知：，则，又，
所以，则海里.故选：A
7. 在正三棱柱中，，，分别是，中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A【详解】设，取的中点，的中点，的中点,

易知,,
所以异面直线与所成角为或其补角.
由正三棱柱的几何特征可得.
,
,
,，
,
在中，由余弦定理可得
,
所以异面直线与所成角的余弦值为.故选:A.
8. 函数的零点的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【详解】令，故，即的零点个数为与的交点个数，
显然在单调递增，的周期为，且当时，，
故此时两个函数无交点，作出图像如下图，
由图像得共有个交点，故有个零点，即C正确.故选：C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 甲、乙二人在相同条件下各射击10次，每次中靶环数情况如图所示：

下列说法正确的是（ ）
A. 从环数的平均数看，甲、乙二人射击水平相当
B. 从环数的方差看，甲的成绩比乙稳定
C. 从平均数和命中9环及9环以上的频数看，乙的成绩更好
D. 从二人命中环数的走势看，甲更有潜力
【答案】ABC
【详解】由题意及图得，
甲射击 10 次中靶环数分别为.
将它们由小到大排列为.
乙射击 10 次中靶环数分别为.
将它们由小到大排列为.
甲平均值：（环）,
乙平均值：（环）,
甲方差：，
乙方差：
，
A项，甲平均值等于乙平均值，故A正确；
B项，，甲的成绩比乙稳定，B正确；
C项，甲乙平均数均为7，甲命中9环及9环以上的频数为1，乙命中9环及9环以上的频数为3，故乙的成绩更好，C正确；
D项，从二人命中环数的走势看，甲成绩逐渐平稳，乙成绩仍有上升趋势，故乙更有潜力，D错误.
故选：ABC
10. 若复数满足，则（ ）
A. 为纯虚数B.
C. D.
【答案】BC【详解】设复数在复平面内对应的点为，
因为，即点到点与到点的距离相等，
可知点轨迹为虚轴，即.
对于选项A：若，则，故A错误；
对于选项B：因为在复平面内对应的点轨迹为虚轴，
可知点到点与到点的距离相等，即，故B正确；
对于选项C：因为，故C正确；
对于选项D：因为，
可知当且仅当时，，
例如，，两者就不相等，故D错误；故选：BC.
11. 已知直三棱柱中，，点分别为棱的中点，是线段上（包含端点）的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 直三棱柱外接球的半径为2
B. 三棱锥的体积与的位置无关
C. 若为的中点，则过三点的平面截三棱柱所得截面为等腰梯形
D. 一只虫子由表面从点爬到点的最近距离为
【答案】ABD【详解】对于A，因为，三棱柱为直三棱柱，

如图，故该三棱柱为长方体的一半，如图：
所以直三棱柱外接球即为长方体外接球，
因为，
所以其外接球半径为，故A正确；
对于B，如图：

，
因为分别为的中点，所以，
又点在上，所以到的距离为定值，
故的面积为定值，故三棱锥的体积与的位置无关，故B正确；
对于C，如图，连接，

因为分别为的中点，
所以，且，
又因为，且，所以，且，
过三点的平面截三棱柱所得截面为梯形，
又，
所以，所以，
所以,所以，
所以四边形不是等腰梯形，故C错误；
对于D，若一只虫子由表面从点经过爬到点，如图1，则爬过的最小距离：为；

若一只虫子由表面从点经过爬到点，如图2，则爬过的最小距离为：；

若一只虫子由表面从点经过爬到点，如图3，则爬过的最小距离为：，

若一只虫子由表面从点经过爬到点，如图4，
过作，交于点，
因为为中点，所以 ，所以，
在中，则爬过的最小距离为：
，

故D正确.故选：ABD
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分
12. 若，则____________.
【答案】【详解】由，则.
13．已知，则的最小值为 ．
【详解】因为，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，取最小值为.故答案为：.
14．在一个半径为2的半球形封闭容器内放入两个半径相同的小球，则这两个小球的表面积之和最大为_____________.
【详解】当两个小球的表面积之和最大时两小球相切，且两小球均与半球形封闭容器相切，
此时设两小球的球心分别为，，半球形封闭容器的底面圆心为O，
作出过，，O的截面如图所示，连接并延长，交半圆于点A，
则A为圆与半圆的切点，设两个小球的半径为r，
得，所以，解得，
所以这两个小球的表面积之和的最大值为．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15 （13分）已知集合.
（1）若，求；
（2）若是的充分不必要条件，求的取值范围.
【解析】
【小问1详解】
解可得，
故可知，…………………………………………2分
当时，，…………………………………………3分
所以，…………………………………………5分
；………………………………………………7分
【小问2详解】
因为是的充分不必要条件，，…………………………………9分
则，…………………………………………11分
解得.…………………………………………………………13分
16. （15分）三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，、分别为、中点.

（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
【详解】(1)证明：∵、分别为、的中点，∴，………………2分
又∵平面，平面，…………………………6分
∴平面； ……………………………………………………7分
(2)证明：∵，为的中点，∴， …………………………9分
又∵平面平面，平面平面，…………………………12分
且平面，∴平面，…………………………13分
又平面，∴平面平面； …………………………15分
17. （15分）某中学高一年级的同学们学习完《统计与概率》章节后，统一进行了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中．

（1）求出a，b，估计测试成绩的分位数和平均分；
（2）按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在内的学生中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都在内的概率．
【解析】【小问1详解】
由频率分布直方图可知，即，
又，所以，．…………………………4分
前三组的频率之和为，前四组的频率之和为，
则分位数，且．……………………6分
测试成绩的平均分为：.
…………………………8分
【小问2详解】
成绩在和内的人数之比为，
故抽取的4人中成绩在内的有3人，设为，，，成绩在内的有1人，设为，…………………………10分
再从这4人中选2人，这2人的所有可能情况为，，，，，，共6种，…………………………12分
这2人成绩均在内的情况有，，，共3种，………………13分
故这2人成绩都在内的概率为．…………………………15分
18. （17分）在中，角，，的对边分别为，，，．
（1）求；
（2）若点是上的点，平分，且，求面积的最小值．
【解析】【小问1详解】
由题意知中，，
故，…………………………2分
即,…………………………3分
即,……………………4分
所以，而，…………………5分
故，即，…………………………6分
又，故；…………………………8分
【小问2详解】
由于点是上的点，平分，且，
则，…………………………9分
由，得，……12分
即，…………………………13分
则，当且仅当时取等号，…………………………14分
故，当且仅当时取等号，…………………………15分
所以，…………………………16分
即面积的最小值为.…………………………17分
19. （17分）已知.
（1）当时，时，求的取值范围；
（2）对任意，且，有，求的取值范围；
（3），的最小值为，求的最大值.
【解析】【小问1详解】
由，可得，…………………………1分
解得或，…………………………3分
所以或；…………………………5分
【小问2详解】
由，时恒成立则，…………………………6分
令.则当时，由可得：，即得：（时取等号），……………………………7分
当时，，可得：即得：.（时取等号）…………………………8分
故，因在上递减，在上递增，…………………………9分
而时；时，，即，
故.…………………………11分
【小问3详解】
由（）.…………………………12分
可得：，
①当时，在单调递增，所以此时无最值……13分
②当时，由，.
所以在上单调递增，上单调递减,此时，.………14分
③当时.，，.
所以上单调递减，在上单调递增，此时，，…………………………15分
综上，，
因时，，…………………………16分
故最大值为1.…………………………17分