广东省清远市清城区2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试卷

这是一份广东省清远市清城区2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）老师在黑板上写了下列式子：①x﹣1≥1；②﹣2＜0；③x≠3；④x+2；⑤x﹣y＝0；⑥x+2y≤0．你认为其中是不等式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（ ）
A．（﹣5，﹣3）B．（﹣3，﹣5）C．（3，﹣5）D．（5，﹣3）
4．（3分）若分式有意义，则x满足的条件是（ ）
A．x＝2B．x≠2C．x≠±2D．x＞2
5．（3分）下列从左到右的变形哪个是分解因式（ ）
A．10x2﹣5x﹣1＝5x（2x﹣1）﹣1
B．3x+3y＝6xy
C．﹣a+b＝﹣（b﹣a）
D．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2
6．（3分）如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则CD的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，若EA＝2，则BE＝（ ）
A．3B．4C．6D．8
8．（3分）下列不能判定四边形是平行四边形的条件是（ ）
A．∠A＝∠C，∠B＝∠DB．AB∥CD，AD∥BC
C．AB∥CD，AD＝BCD．AB＝CD，AD＝BC
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，如果EC＝3cm，则AE等于（ ）
A．3cmB．4cmC．6cmD．9cm
10．（3分）一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则下列结论①k＞0；②a＞0；③b＞0；④当x＜3时，kx+b＞x+a中，正确的是（ ）
A．③④B．①②C．①③D．②④
二、填空题：（每小题3分，共15分）
11．（3分）不等式组的解集是 ．
12．（3分）若关于x的分式方程＝﹣1无解，则m的值是 ．
13．（3分）分解因式：x5y2﹣x3y2＝ ．
14．（3分）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝3，AD＝4，则EF的长是 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC，BC于点D，F，下列结论：①∠CDF＝α，②A1E＝CF，③DF＝FC，④AD＝CE，⑤A1F＝CE．其中正确的是 （写出正确结论的序号）．
三、解答题（16，17，18各8分）
16．（8分）解不等式组：．
17．（8分）先化简再求值：，再从2≤x≤4中选一个适合的整数代入求值．
18．（8分）如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB＝∠OBA．
四、解答题（二）：（每小题各9分，共27分）
19．（9分）如图，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝6cm．
（1）作图：作BC边的垂直平分线分别交于AC，BC于点D，E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接BD，求△ABD的周长．
20．（9分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）
（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2；
（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
21．（9分）媛媛爸爸销售A、B两种品牌的衣服，8月份第一周售出A品牌衣服3件和B品牌衣服4件，销售额为1000元，第二周售出A品牌衣服17件和B品牌衣服8件，销售额为4200元．
（1）求A、B两种品牌衣服的售价各是多少元？
（2）已知8月份A品牌衣服和B品牌衣服的销售量分别为1000件、500件，9月份是衣服销售的旺季，为拓展市场、薄利多销，媛媛爸爸决定9月份将A品牌衣服和B品牌衣服的销售价格在8月份的础上分别降低m%，m%，9月份的销售量比8月份的销售量分别增长300件、100件．若9月份的销售额不低于233000元，求m的最大值．
五、解答题（三）：（每小题各12分，共24分）
22．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC到E，使CE＝BC，连接AE交CD于点F，点F是CD的中点．求证：
（1）△ADF≌△ECF．
（2）四边形ABCD是平行四边形．
23．（12分）如图1，已知Rt△ABC中，AB＝BC，AC＝2，把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），点C在DE上点B在DF上．
（1）求重叠部分△BCD的面积；
（2）如图2，将直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转30度，DE交BC于点M，DF交AB于点N，①请说明DM＝DN；②在此条件下重叠部分的面积会发生变化吗？若发生变化，请求出重叠部分的面积，若不发生变化，请说明理由；
（3）如图3，将直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转α度（0＜α＜90），DE交BC于点M，DF交AB于点N，则DM＝DN的结论仍成立吗？重叠部分的面积会变吗？（请直接写出结论不需说明理由）
2024-2025学年广东省清远市清城区九年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
C、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
D、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误．
故选：B．
2．（3分）老师在黑板上写了下列式子：①x﹣1≥1；②﹣2＜0；③x≠3；④x+2；⑤x﹣y＝0；⑥x+2y≤0．你认为其中是不等式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解答】解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，
所以：①x﹣1≥1；②﹣2＜0；③x≠3；⑥x+2y≤0．为不等式，共有4个．
故选：C．
3．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（ ）
A．（﹣5，﹣3）B．（﹣3，﹣5）C．（3，﹣5）D．（5，﹣3）
【解答】解：将点A（1，﹣2）向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（1+2，﹣2﹣3），即A′（3，﹣5）．
故选：C．
4．（3分）若分式有意义，则x满足的条件是（ ）
A．x＝2B．x≠2C．x≠±2D．x＞2
【解答】解：根据题意得：x﹣2≠0，
∴x≠2，
故选：B．
5．（3分）下列从左到右的变形哪个是分解因式（ ）
A．10x2﹣5x﹣1＝5x（2x﹣1）﹣1
B．3x+3y＝6xy
C．﹣a+b＝﹣（b﹣a）
D．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2
【解答】解：A、没把一个多项式化成几个整式乘积的形式，故A错误；
B、是整式的加法，且3x，3y不是同类项，不能合并，故B错误；
C、是整式的添括号，且运算本身错误，故C错误；
D、把一个多项式化成几个整式乘积的形式，故D正确；
故选：D．
6．（3分）如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则CD的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC＝6，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠DEC，
∴CE＝DC，
∵BC＝6，BE＝2，
∴CD＝CE＝6﹣2＝4，
故选：C．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，若EA＝2，则BE＝（ ）
A．3B．4C．6D．8
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，∠B＝∠C＝30°，
∴∠ADC＝90°，
∵DE⊥AB于点E，EA＝2，
∴∠DEA＝90°，∠DEB＝90°，
∴∠BAD＝60°，∠EDA＝30°，
∴AD＝2AE＝4，
∴AB＝2AD＝8，
∴BE＝AB﹣AE＝8﹣2＝6，
故选：C．
8．（3分）下列不能判定四边形是平行四边形的条件是（ ）
A．∠A＝∠C，∠B＝∠DB．AB∥CD，AD∥BC
C．AB∥CD，AD＝BCD．AB＝CD，AD＝BC
【解答】解：A、∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、∵AB∥CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD可能是等腰梯形，故本选项符合题意；
D、∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意．
故选：C．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，如果EC＝3cm，则AE等于（ ）
A．3cmB．4cmC．6cmD．9cm
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠2＝∠A，
∵∠1＝∠2，
∴∠A＝∠1＝∠2，
∵∠C＝90°，
∴∠A＝∠1＝∠2＝30°，
∵∠1＝∠2，ED⊥AB，∠C＝90°，
∴CE＝DE＝3cm，
在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∠A＝30°，
∴AE＝2DE＝6cm，
故选：C．
10．（3分）一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则下列结论①k＞0；②a＞0；③b＞0；④当x＜3时，kx+b＞x+a中，正确的是（ ）
A．③④B．①②C．①③D．②④
【解答】解：∵一次函数y1＝kx+b经过第一、二、三象限，
∴k＜0，b＞0，所以①错误，③正确；
∵直线y2＝x+a的图象与y轴的交点在x轴下方，
∴a＜0，所以②错误；
当x＜3时，y1＞y2，即kx+b＞x+a所以④正确．
故选：A．
二、填空题：（每小题3分，共15分）
11．（3分）不等式组的解集是 x＞4 ．
【解答】解：，
由①得：x＞4，
由②得：x＞2，
不等式组的解集为：x＞4．
故答案为：x＞4．
12．（3分）若关于x的分式方程＝﹣1无解，则m的值是 ﹣4 ．
【解答】解：由，得，
即，
由方程无解，则3×2+m﹣2＝0，
解得：m＝﹣4，
方程，即2x+m＝x﹣2，
当方程有增根时，x＝2，此时2×2+m＝2﹣2，
解得：m＝﹣4，
综上，m＝﹣4，
故答案为：﹣4．
13．（3分）分解因式：x5y2﹣x3y2＝ x3y2（x+1）（x﹣1） ．
【解答】解：x5y2﹣x3y2
＝x3y2（x2﹣1）
＝x3y2（x+1）（x﹣1），
故答案为：x3y2（x+1）（x﹣1）．
14．（3分）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝3，AD＝4，则EF的长是 2 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，
∴∠DFC＝∠FCB，
又∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠FCB，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DF＝DC＝3，
同理可证：AE＝AB＝3，
∴AF＝DE
∵AD＝4，
∴AF＝4﹣3＝1，
∴EF＝4﹣1﹣1＝2．
故答案为：2．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC，BC于点D，F，下列结论：①∠CDF＝α，②A1E＝CF，③DF＝FC，④AD＝CE，⑤A1F＝CE．其中正确的是 ①②⑤ （写出正确结论的序号）．
【解答】解：①∠C＝∠C1（旋转后所得三角形与原三角形完全相等）
又∵∠DFC＝∠BFC1（对顶角相等）
∴∠CDF＝∠C1BF＝α，故结论①正确；
②∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
∴∠A1＝∠C，
在△A1BF和△CBE中
∴△A1BF≌△CBE（ASA），
∴BF＝BE，
∴A1B﹣BE＝BC﹣BF，
∴A1E＝CF，故②正确；
③在三角形DFC中，∠C与∠CDF＝α度不一定相等，所以DF与FC不一定相等，
故结论③不一定正确；
④∵AE不一定等于CD，
∴AD不一定等于CE，
故④错误．
⑤∠A1＝∠C，BC＝A1B，∠A1BF＝∠CBE
∴△A1BF≌△CBE（ASA）
那么A1F＝CE．
故结论⑤正确．
故答案为：①②⑤．
三、解答题（16，17，18各8分）
16．（8分）解不等式组：．
【解答】解：由x﹣3（x﹣2）≥4，得：x≤1，
由＜x﹣1，得：x＞4，
则不等式组无解．
17．（8分）先化简再求值：，再从2≤x≤4中选一个适合的整数代入求值．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝．
在2≤x≤4中，整数x有2、3、4，
由题意得：x≠3，4，
∴x＝2，
当x＝2时，原式＝．
18．（8分）如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB＝∠OBA．
【解答】证明：∵OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，
∴AM＝BM，
在Rt△AOM和Rt△BOM中，，
∴Rt△AOM≌Rt△BOM（HL），
∴OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA．
四、解答题（二）：（每小题各9分，共27分）
19．（9分）如图，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝6cm．
（1）作图：作BC边的垂直平分线分别交于AC，BC于点D，E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接BD，求△ABD的周长．
【解答】解：（1）如图1，
（2）如图2，
∵DE是BC边的垂直平分线，
∴BD＝DC，
∵AB＝4cm，AC＝6cm．
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+AC＝4+6＝10cm．
20．（9分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）
（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2；
（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）如图1所示：
（2）如图2所示：
（3）找出A的对称点A′（1，﹣1），
连接BA′，与x轴交点即为P；
如图3所示：点P坐标为（2，0）．
21．（9分）媛媛爸爸销售A、B两种品牌的衣服，8月份第一周售出A品牌衣服3件和B品牌衣服4件，销售额为1000元，第二周售出A品牌衣服17件和B品牌衣服8件，销售额为4200元．
（1）求A、B两种品牌衣服的售价各是多少元？
（2）已知8月份A品牌衣服和B品牌衣服的销售量分别为1000件、500件，9月份是衣服销售的旺季，为拓展市场、薄利多销，媛媛爸爸决定9月份将A品牌衣服和B品牌衣服的销售价格在8月份的础上分别降低m%，m%，9月份的销售量比8月份的销售量分别增长300件、100件．若9月份的销售额不低于233000元，求m的最大值．
【解答】解：（1）设A品牌的保暖衣服售价为x元/件，B品牌的保暖衣服售价为y元/件，
根据题意得：，
解得：，
经检验：符合题意，
答：A、B两种品牌保暖衣服的售价各是200元和100元；
（2）由题意得，9月份A品牌保暖衣服销售量为1000+300＝1300（件），
B品牌保暖衣服的销售量为500+100＝600（件），
则，
解得：m≤30，
即：m的最大值为30．
五、解答题（三）：（每小题各12分，共24分）
22．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC到E，使CE＝BC，连接AE交CD于点F，点F是CD的中点．求证：
（1）△ADF≌△ECF．
（2）四边形ABCD是平行四边形．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠E，
∵点F是CD的中点，
∴DF＝CF，
在△ADF与△ECF中，，
∴△ADF≌△ECF（AAS）；
（2）∵△ADF≌△ECF，
∴AD＝EC，
∵CE＝BC，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
23．（12分）如图1，已知Rt△ABC中，AB＝BC，AC＝2，把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），点C在DE上点B在DF上．
（1）求重叠部分△BCD的面积；
（2）如图2，将直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转30度，DE交BC于点M，DF交AB于点N，①请说明DM＝DN；②在此条件下重叠部分的面积会发生变化吗？若发生变化，请求出重叠部分的面积，若不发生变化，请说明理由；
（3）如图3，将直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转α度（0＜α＜90），DE交BC于点M，DF交AB于点N，则DM＝DN的结论仍成立吗？重叠部分的面积会变吗？（请直接写出结论不需说明理由）
【解答】解：（1）∵AB＝BC，AC＝2，
∴CD＝AC＝1，
则△BCD的面积是×CD•BD＝×1×1＝；
（2）①作DQ⊥BC，DP⊥AB分别于点Q，P，
又∵AB＝BC，CD＝AD，
∴∠A＝∠C，
∴△CDQ≌△ADP，
∴DQ＝DP，
则四边形BQDP是正方形．
∵∠EDQ+∠QDN＝∠NDP+∠QDN
∴∠EDQ＝∠NDP
又∵∠MQD＝∠NPD
∴△MDQ≌△NDP，
∴DM＝DN，
②面积不变．
理由：∵直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转30度，
此条件下重叠部分的面积等于正方形BQDP的面积是DQ2＝（）2＝．
（3）DM＝DN的结论仍成立，重叠部分的面积不会变．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/30 8:13:37；用户：王立研；邮箱：rFmNt_U77fScWxT8l0DTCmjLXRs@；学号：25840186