广东省清远市清新区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版）

这是一份广东省清远市清新区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分．
1. 计算：（ ）
A. B. 6C. D. 5
2. 下列是一元二次方程的解为（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列各种现象属于中心投影的是（ ）
A. 晚上人走在路灯下的影子B. 中午用来乘凉的树影
C. 上午人走在路上的影子D. 阳光下旗杆的影子
4. 如图所示几何体的左视图为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，直线，则下列结论正确是（ ）
A. B.
C. D.
6. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A. 四个角相等B. 对角线互相垂直
C 对角互补D. 对角线相等
7. 在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出的统计图如下，符合这一试验结果的可能是（ ）
A. 掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上
B. 抛一枚1元钱的硬币，出现反面朝上
C. 从装有大小质地完全相同的2个蓝球和1个白球的不透明袋子中随机取一球，取到白球
D. 从标有数字1到10的十张大小相同的纸牌中随机抽取一张，是偶数
8. 为了促进电车便捷性，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了200个充电桩，第三个月新建了600个充电桩，设该市新建智能充电桩个数月平均增长率，根据题意，可列方程（ ）
A. B. C. D.
9. 在反比例函数的图象的每一支上，随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形边与轴重合，边与轴重合，点的坐标为，将矩形折叠，使点恰好落在原点处，点落在点处，折痕为，则图象过点的反比例函数关系式为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分．
11. 计算：_____．
12. 若两个相似多边形的面积之比为，则它们的周长之比为______
13. 若，则_________．
14. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，，则对角线的长___________．
15. 如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点，点是轴上的一动点，则的面积为___________．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16. 解方程：．
17. 如图，在中，，．
（1）尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接，求的度数．
18. 先化简，再求值：，其中．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 每年的11月9日是“119消防宣传日”，本月5日，某校采用随机抽样的方式对学生掌握消防安全知识的情况进行书面测评，并按成绩高低分成A，B，C，D，E五个等级进行统计，绘制了如下两幅尚不完整的统计图，请根据有关信息解答：
（1）接受测评的学生共有_______人，并补全条形统计图．
（2）若该校共有学生3000人，请估计该校学生对消防安全知识掌握程度为C级的人数．
（3）测评成绩前四名的学生恰好是1个女生和3个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加市级消防安全知识竞赛，请你用树状图或列表的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率．
20. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于两点，与反比例函数的图象交于两点．
（1）求一次函数以及反比例函数的表达式．
（2）直接写出：不等式解集．
（3）如图2，过点作轴于点，过点作轴于点，求五边形的面积．
21. 综合与实践：
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1： 某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米，准备在果园的四周铺设道路，上下两条横向道路（沿方向）的宽度都为米，左右两条纵向道路（沿方向）的宽度都为米，道路围合的中间矩形区域为种植园区（如图中阴影区域）．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过14米，且不小于7米．
素材2：该农户在种植园区种植草莓，市场调研信息：草莓培育一年可产果，若每平方米草莓的月销售利润为100元，每月可销售出5000平方米种植面积对应的草莓产量（即月销售覆盖5000平方米的种植面积）．受天气原因，农户决定降价促销，若每平方米的草莓月利润每下调1元，每月可多销售125平方米种植面积对应的草莓产量，果园每月的承包费为20000元．
问题解决
问题1 （1）种植园区的长为______米，宽为_______米；（用含的代数式表示）
问题2 （2）若种植园区的面积为44800平方米，道路设置的宽度是否符合要求？请说明理由．
问题3 （3）若农户预期一个月的总利润为552000元，为让客户得到实惠，每平方米草莓的月利润应该下调多少元？（总利润=销售利润-承包费）
五、解答题（三）：本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分．
22. 关于的一元二次方程有两个实数根．
（1）求的取值范围．
（2）已知等腰的底边，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长．
（3）阅读材料：若三边长分别为，则，其中，这就是海伦—秦九韶公式，如图，在（2）的条件下，若其中和的角平分线交于点，试利用阅读材料中的信息，求的面积．
23. 如图1，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点）．延长交于点，连接．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由．
（2）如图2，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明．（提示：作于）
（3）在解决问题（2）时，我们是通过构造全等三角形解决了问题，请你类比以上解法，通过构造三角形相似，解决以下问题：
如图3，在四边形中，，，，连接，，当时，请直接写出的最大值．2025～2026学年度第一学期期末教学质量检测
九年级数学科试卷
一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分．
1. 计算：（ ）
A. B. 6C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查有理数的乘法，掌握其运算法则是关键，根据两个负数相乘，结果为正数即可求解．
【详解】解：，
故选：B．
2. 下列是一元二次方程的解为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，将方程移项化为标准形式后因式分解求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
即或，
∴方程的解为．
故选：C．
3. 下列各种现象属于中心投影的是（ ）
A. 晚上人走在路灯下的影子B. 中午用来乘凉的树影
C. 上午人走在路上的影子D. 阳光下旗杆的影子
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心投影的性质，找到光源是灯光即可得．
【详解】解：A、晚上人走在路灯下的影子，光源是灯光，是中心投影，则此项符合题意；
B、中午用来乘凉的树影，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；
C、上午人走在路上的影子，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；
D、阳光下旗杆的影子，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；
故选：A．
本题考查了中心投影，解决本题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光．
4. 如图所示几何体的左视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了立体图形的三视图，掌握立体图形的特点是关键，根据立体图形的特点判定三视图即可，注意：立体图形中存在，但看不到的部分，用虚线表示．
【详解】解：如图所示几何体的左视图为，
故选：B ．
5. 如图，直线，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是关键，根据题意，两直线平行，同位角相等即可判定．
【详解】解：∵，
∴，故A选项正确，符合题意；
不相等，故B选项错误，不符合题意；
，故C选项错误，不符合题意；
，故D选项错误，不符合题意；
故选：A ．
6. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A. 四个角相等B. 对角线互相垂直
C. 对角互补D. 对角线相等
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正方形和矩形的性质，解决本题的关键是熟记正方形和矩形的性质．对于四边形的性质我们从：①边；②角；③对角线三个方面去理解，因此，只需要根据正方形、矩形的这三个方面性质的不同，即可解答．
【详解】解：根据正方形和矩形的性质对比分析：
①边：有对边与邻边：正方形与矩形对边性质相同，没有区别；邻边性质不同，正方形邻边相等，矩形邻边不相等；
②角：正方形与矩形内角性质相同，对角相等、邻角互补、四个角都是直角；
③对角线：正方形与矩形对角线都相等且互相平分，但正方形对角线相互垂直，而矩形对角线不具有这个特征；
故选：B．
7. 在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出的统计图如下，符合这一试验结果的可能是（ ）
A. 掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上
B. 抛一枚1元钱的硬币，出现反面朝上
C. 从装有大小质地完全相同的2个蓝球和1个白球的不透明袋子中随机取一球，取到白球
D. 从标有数字1到10的十张大小相同的纸牌中随机抽取一张，是偶数
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了根据频率估算概率，理解图示，确定概率是关键，根据选项确定概率，进行比较即可求解．
【详解】解：根据图示，频率在之间，稳定在左右，
A、掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上的概率为，不符合题意；
B、抛一枚1元钱的硬币，出现反面朝上的概率为，不符合题意；
C、从装有大小质地完全相同的2个蓝球和1个白球的不透明袋子中随机取一球，取到白球的概率为，符合题意；
D、从标有数字1到10的十张大小相同的纸牌中随机抽取一张，是偶数，不符合题意；
故选：C ．
8. 为了促进电车便捷性，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了200个充电桩，第三个月新建了600个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率，根据题意，可列方程（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程即可．
根据题意列方程得，即可得到答案．
【详解】解：根据题意列方程得，
故选：D．
9. 在反比例函数的图象的每一支上，随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象与性质，熟记反比例函数图象增减性与的关系是解决问题的关键．根据反比例函数图象与性质，当反比例函数的图象的每一支上，随的增大而增大，得到，解得，从而得到答案．
【详解】解：反比例函数的图象的每一支上，随的增大而增大，
，解得．
故选：D．
10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边与轴重合，边与轴重合，点的坐标为，将矩形折叠，使点恰好落在原点处，点落在点处，折痕为，则图象过点的反比例函数关系式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，三角函数的应用，解方程，求反比例函数的解析式；设，，根据勾股定理求出，得，过点D作轴交轴于点G，证，设，即，由勾股定理得，求出m，n即可解答．
【详解】解：∵四边形是矩形，点的坐标为，
∴，，，
设，，
由折叠的性质得，，，
∴，
解得，
∴，
过点D作轴交轴于点G，
∴，
∵，，
∴，
设，则，
∵在第四象限，则，，
∴，即
∵，即，解得或（舍去），
∴，
∴，
∴过点的反比例函数关系式为，
故选：A．
二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分．
11. 计算：_____．
【答案】3
【解析】
分析】根据零次幂与负整数指数幂进行计算即可求解．
【详解】解：原式＝，
故答案为：3．
本题考查了零次幂与负整数指数幂，掌握幂的运算法则是解题的关键．
12. 若两个相似多边形的面积之比为，则它们的周长之比为______
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查相似多边形的性质，根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算．
【详解】解：∵两个相似多边形面积比为，
∴两个相似多边形的相似比为，
∴两个相似多边形的周长比两个相似多边形的相似比为.
故答案为：．
13. 若，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】已知，把和代换成和约分即可．
【详解】解∶，
故答案为∶．
本题考查了比例线段，把a和c用b和d正确代换是解题的关键．
14. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，，则对角线的长___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质．
先根据菱形得到，，，则由直角三角形的性质得到，然后在中运用勾股定理求解，即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴（舍负）
∴
故答案为：．
15. 如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点，点是轴上的一动点，则的面积为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图形和性质、反比例函数中k的几何意义等知识点，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
连接，根据反比例函数中的几何意义，求出，再利用和共底，且它们的高相等，所以面积相等，即可求解．
【详解】解：连接，如下图：

由反比例函数系数的几何意义，
，
∵轴，
∴，
∴与等底等高，面积相等，
，
故答案为：．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解方程是解题的关键．
由，变形为，进一步计算即可求解．
【详解】解：
∴或
∴，．
17. 如图，在中，，．
（1）尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质以及三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质，属于基础题．
（1）根据尺规作线段垂直平分线方法作图即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质以及等边对等角可得，然后利用三角形外角的性质求出，进而利用三角形内角和定理求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示，直线垂直平分，交于点，
【小问2详解】
解：由（1）得垂直平分线段，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先对分式进行化简，然后约分计算，最后代入数值计算即可得出答案．
【详解】解：
当时，原式．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 每年的11月9日是“119消防宣传日”，本月5日，某校采用随机抽样的方式对学生掌握消防安全知识的情况进行书面测评，并按成绩高低分成A，B，C，D，E五个等级进行统计，绘制了如下两幅尚不完整的统计图，请根据有关信息解答：
（1）接受测评的学生共有_______人，并补全条形统计图．
（2）若该校共有学生3000人，请估计该校学生对消防安全知识掌握程度为C级的人数．
（3）测评成绩前四名的学生恰好是1个女生和3个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加市级消防安全知识竞赛，请你用树状图或列表的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）200，补全图形见详解
（2）该校学生对消防安全知识掌握程度为C级的人数约为900人
（3）抽到的学生恰好是一男一女的概率为
【解析】
【分析】本题主要考查调查与统计的相关知识及计算，列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握以上知识是关键．
（1）根据B类的人数，百分比即可求出接受测评的学生的人数，再算出D类的人数，即可补全图形；
（2）根据样本百分比估算总体数量即可；
（3）运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算即可求解．
【小问1详解】
解：（人），
∴D类的人数为：（人），
补全图形如下，
【小问2详解】
解：（人），
∴该校学生对消防安全知识掌握程度为C级的人数约为900人；
【小问3详解】
解：3个男生分别用男1，男2，男3表示，用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下，
∴共有12种等可能结果，其中一男一女的结果有6种，
∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为．
20. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于两点，与反比例函数的图象交于两点．
（1）求一次函数以及反比例函数的表达式．
（2）直接写出：不等式的解集．
（3）如图2，过点作轴于点，过点作轴于点，求五边形的面积．
【答案】（1），
（2）或
（3）
【解析】
【分析】本题考查了求反比例函数与一次函数的解析式，反比例函数的几何综合，反比例函数与一次函数的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，先求出，把代入，求出，最后运用待定系数法进行求解一次函数的解析式，即可作答．
（2）理解题意，结合与反比例函数的图象交于两点．运用数形结合思想，得当不等式时，则或，即可作答．
（3）由（1）得，，故运用割补法进行列式计算，求出五边形面积，即可作答．
【小问1详解】
解：∵一次函数的图象与轴，轴分别交于两点，与反比例函数的图象交于两点．
∴把代入，得，
解得，
∴，
把代入，得，
即，
把，代入，
得，
解得，
∴，
【小问2详解】
解：由（1）得，，，，
∵与反比例函数的图象交于两点．
观察函数图象，得当不等式时，则或；
【小问3详解】
解：由（1）得，，
∵过点作轴于点，过点作轴于点，
∴
则五边形的面积
．
21. 综合与实践：
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1： 某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米，准备在果园的四周铺设道路，上下两条横向道路（沿方向）的宽度都为米，左右两条纵向道路（沿方向）的宽度都为米，道路围合的中间矩形区域为种植园区（如图中阴影区域）．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过14米，且不小于7米．
素材2：该农户在种植园区种植草莓，市场调研信息：草莓培育一年可产果，若每平方米草莓的月销售利润为100元，每月可销售出5000平方米种植面积对应的草莓产量（即月销售覆盖5000平方米的种植面积）．受天气原因，农户决定降价促销，若每平方米的草莓月利润每下调1元，每月可多销售125平方米种植面积对应的草莓产量，果园每月的承包费为20000元．
问题解决
问题1 （1）种植园区的长为______米，宽为_______米；（用含的代数式表示）
问题2 （2）若种植园区的面积为44800平方米，道路设置的宽度是否符合要求？请说明理由．
问题3 （3）若农户预期一个月的总利润为552000元，为让客户得到实惠，每平方米草莓的月利润应该下调多少元？（总利润=销售利润-承包费）
【答案】（1），
（2）符合要求，理由见详解
（3）每平方米草莓的月利润应该下调48元
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系正确列式是关键．
（1）根据图示，结合题意列式即可；
（2）根据面积的计算，结合（1）列式求解即可；
（3）设每平方米草莓的月利润应该下调元，根据数量关系列式求解即可．
【详解】解：（1）根据图示，种植园区的长米，宽为米；
（2）符合要求，理由如下，
，
整理得，，
解得，，，
∵道路宽度不超过14米，且不小于7米，
∴，即道路设置的宽度符合要求；
（3）设每平方米草莓的月利润应该下调元，
∴，
整理得，，
解得，，，
∵让客户得到实惠，
∴每平方米草莓的月利润应该下调48元．
五、解答题（三）：本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分．
22. 关于的一元二次方程有两个实数根．
（1）求的取值范围．
（2）已知等腰的底边，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长．
（3）阅读材料：若三边长分别为，则，其中，这就是海伦—秦九韶公式，如图，在（2）的条件下，若其中和的角平分线交于点，试利用阅读材料中的信息，求的面积．
【答案】（1）
（2）10 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程，等腰三角形的定义，角平分线的性质定理，掌握以上知识是关键．
（1）根据一元二次方程根的判别式列式求解即可；
（2）根据等腰三角形的定义得到，则，由此解一元二次方程，结合周长的计算公式即可求解；
（3）根据题意，结合（2）得到，则，如图所示，过点作，垂足分别为，由三角形面积公式得到，由此即可求解．
【小问1详解】
关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得，；
【小问2详解】
解：∵是等腰三角形，恰好是另外两边的边长，
∴，
∴，
解得，，
∴关于x的一元二次方程为，
解得，，
∴这个三角形周长为；
【小问3详解】
解：根据题意，结合（2）得到，
∴，
∵和的角平分线交于点，
∴如图所示，过点作，垂足分别为，
∴，
∴，
解得，，
∴．
23. 如图1，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点）．延长交于点，连接．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由．
（2）如图2，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明．（提示：作于）
（3）在解决问题（2）时，我们是通过构造全等三角形解决了问题，请你类比以上解法，通过构造三角形相似，解决以下问题：
如图3，在四边形中，，，，连接，，当时，请直接写出的最大值．
【答案】（1）四边形是正方形，见解析
（2），见解析
（3）
【解析】
【分析】（）根据旋转性质得到， 由正方形结合旋转的性质得，再由题意可得，，即可得四边形是正方形；
（）过点作 于点，可证明， 则有，根据正方形的性质即可解决；
（）过点作使，连接，，可得，进而证明，则，求出的最小值即可得出结论．
【小问1详解】
解：∵四边形是正方形，理由如下：
∵，
∴，
∵将绕点按顺时针方向旋转得到，
∴，， ，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形；
【小问2详解】
解：，理由如下：
如图，过点作于点，
∵，，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵将绕点按顺时针方向旋转得到，，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图， 过点作，使，连接，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当点三点共线时，取得最大值为，
∴的最大值为．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．
女
男1
男2
男3
女
（女，男1）
（女，男2）
（女，男3）
男1
（男1，女）
（男1，男2）
（男1，男3）
男2
（男2，女）
（男2，男1）
（男2，男3）
男3
（男3，女）
（男3，男1）
（男3，男2）