四川省眉山市东坡区2023-2024学年高二下学期6月期末联合考试数学试题（解析版）

这是一份四川省眉山市东坡区2023-2024学年高二下学期6月期末联合考试数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了 设，若为函数的极小值点，则， 已知函数，若，，，则， 下列说法中正确的有等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列函数求导运算正确的个数为（ ）
①；②；③.
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】①，故①错误；
②，故②正确；
③，故③正确.
故选：C
2. 已知函数（k，n为正奇数），是的导函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，
所以，
所以，
则，
其中，
所以，
所以；
故选：D
3. 从名男生和名女生中选出名学生参加一项活动，要求至少一名女生参加，不同的选法种数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】从名学生中任选名，有种选法，其中全为男生的有种选法，
所以选出名学生，至少有名女生的选法有种.
故选：B.
4. 身高各不同的六位同学、、、、、站成一排照相，说法不正确的是（ ）
A. 、、三位同学从左到右按照由高到矮顺序站，共有120种站法
B. 与同学不相邻，共有种站法
C. 、、三位同学必须站在一起，且只能在与的中间，共144种站法
D. 不在排头，不在排尾，共有504种站法
【答案】C
【解析】对于A,6个人的全排列共有种方法，、、全排列有种方法，
所以、、三位同学从左到右按照由高到矮的排列有种方法，故A正确；
对于B，先排其余4个人，有种方法，
4个人有5个空，利用插空法将、插入5个空中，有种方法，
则共有种站法，故B正确；
对于C，、、三位同学必须站在一起，
且只能在与的中间的排法共有2种，
将这3人捆绑在一起，与其余3人进行全排列，共有种方法，
则共有种方法，故C错误；
对于D，6个人全排列共有种方法，
当在排头时，共有种方法，
当在排尾时，共有种方法，
当在排头且在排尾时，共有种方法，
则不在排头，不在排尾的情况共有种方法，故D正确，
故选：C.
5. 已知的展开式第3项的系数是60，则下列结论中的正确个数（ ）
（1）；（2）展开式中常数项是160；（3）展开式共有6项；（4）展开式所有项系数和是.
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】的展开式第3项为，
则由已知得，解得，故（1）正确；
展开式的通项为，
令得，故展开式中常数项是，故（2）正确；
展开式共有7项，故（3）错误；
中，令可得展开式所有项系数和为，故（4）错误.
故选：.
6. 设，若为函数的极小值点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，
得，
令，
则或，
当，即时，
若时，则在，上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极大值点，不合题意，
若时，则在，上单调递减，在上单调递增，
所以是函数的极小值点，满足题意，此时由，，可得，
当时，，
若时，在，上单调递减，在上单调递增，
所以是函数的极大值点，不合题意，
若时，在，上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极小值点，满足题意，此时由，得，
综上，一定成立，所以C正确，ABD错误，
故选：C.
7. 已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】构造函数，则，
因为，所有，可得在R上单调递减，
又，则，
不等式即得，即，
因为在R上单调递减，故得，
故选：A
8. 已知函数，若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为的定义域为，
又，
所以是偶函数，
又，
令，则恒成立，
所以当时，，即，
又在上单调递增，所以，
所以在上恒成立，则在上单调递增，
构造函数，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，又，
所以，所以，
所以，所以.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法中正确的有（ ）
A. 以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是58；
B. 5名工人各自在3天中选择1天休息，不同方法的种数有种；
C. 壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆的人民币各1张，一共可以组成15种币值；
D. 将4名医生志愿者分配到两家医院（每人去一家医院，每家医院至少去1人），则共有20种分配方案.
【答案】ABC
【解析】对于A，首先从8个顶点中选4个，共有 (种)结果，
其中，有四点共面的情况，6个表面有6个四点共面情况，
6个对角面有6个四点共面情况，
所以以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是，
所以A正确.
对于B，由于5个人中每个人都有3种选择，而且选择的时间对别人没有影响，
不同方法的种数是，所以B正确.
对于C，我们可以选择1张、2张、3张、4张进行组合；
选择1张时，有4种币值；
选择2张时，有种币值；
选择3张时，有种币值；
选择4张时，有1种币值；
所以一共可以组成15种币值，所以C正确.
对于D，先将4名医生分成两组，有(种)方法，
再分配到两家医院，有 (种)方法，
故共有14种分配方案，所以D错误.
故选：ABC.
10. 已知函数，，若，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，有2个零点
B. 当时，恒在的上方
C. 若在上单调递增，则
D. 若在有2个极值点，则
【答案】BC
【解析】对于选项A，当时，，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，即没有零点，所以A选项错误；
对于选项B，当时，，则，
所以在上单调递增，且，即，所以B选项正确；
对于选项C，易知，当时，
因为，，则，
所以在上单调递增，符合要求；
当时，则当时，，
此时，
所以在上单调递减，不符合要求，
所以C选项正确；
对于选项D，当时，在上恒成立，
所以函数在单调递增，所以函数在不存在极值点，
当时，在上恒成立，
所以函数在单调递增，
所以函数在不存在极值点，时单调递增，
即函数在至多存在一个极值点，所以D选项错误.
故选：BC．
11. 定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A. ，
B. 函数既有极大值又有极小值
C. 函数有三个零点
D. 过可以作三条直线与图象相切
【答案】AB
【解析】由，求导得，，
令，得，
由函数的对称中心为，
得，且，
解得，A正确；
于是，，
当或时，，当时，，
则函数在，上都单调递增，在上单调递减，
因此函数既有极大值，
又有极小值，B正确；
由于极小值，因此函数不可能有三个零点， C错误；
显然，若是切点，
则，切线方程为；
若不是切点，
设过点 的直线与图象相切于点，，
由，解得，
即切点，切线方程为，
过 只可以作两条直线与图象相切，D错误.
故选：AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 如图，现有4种不同颜色给图中5个区域涂色，要求任意两个相邻区域不同色，共有______种不同涂色方法；（用数字作答）
【答案】144
【解析】如图，区域1有4种选法，区域2有3种选法，区域3有2种选法，
区域4可选剩下的一种和区域1，2所选的颜色有3种选法，
区域5从区域4剩下的2种颜色中选有2种选法，
共有种.
故答案为：144种.
13. 以下排列的数是二项式系数在三角形中的几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，它出现要比杨辉迟393年.那么，第9行第8个数是______.
【答案】
【解析】由题意，第0行的数为，
第1行的数为，
第2行的数为，
第3行数为，
第4行的数为，
因此，第行第个数为：，
所以第9行第8个数是.
故答案为：.
14. 在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于b的方程可化为同构方程，则的值为_______．
【答案】
【解析】对两边取自然对数，得①，
对两边取自然对数，得，
即②，
因为方程①②为两个同构方程，所以，解得，
设且，则，
所以在上单调递增，故的解只有一个，
所以，则．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，且．
（1）求的值；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．
解：（1），所以，解得．
（2）由，
得，令，得或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
又，，，，
所以在区间的最大值是，最小值是．
16. 已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，
（1）求值和的展开式中含的项的系数.
（2）求展开式中常数项．
解：（1）由题意可知：，
由二项式系数的性质可得.
的展开式的通项公式为，
令，可得，
所以含的项的系数为.
（2）因为，
由（1）可知的展开式的通项公式为，
所以常数项为.
17. 从1到9的九个数字中任取三个偶数四个奇数，问：
（1）能组成多少个没有重复数字的七位数？
（2）上述七位数中三个偶数排在一起的概率？
（3）在（1）中任意两偶数都不相邻的概率？
解：（1）能组成没有重复数字七位数；
（2）上述七位数中三个偶数排在一起的概率为；
（3）在（1）中任意两偶数都不相邻的概率为.
18. 已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）当时，求在上的最小值；
（3）若在上存在零点，求的取值范围.
解：（1）当时，，定义域：，，
令，则，变化时，，的变化情况如下表：
则的极大值为：，没有极小值；
（2）当时，，定义域：，
，
令，定义域：，，
则在上是增函数，则，
所以，
即在上是增函数，则.
（3），定义域：，
，
令，
定义域：，，
（1）当时，，则在上是减函数，
则，
当时，，则在上是减函数，，
不合题意；
当时，，，
则存在，使，
即，
变化时，，的变化情况如下表：
则，只需，即；
（2）当时，由（1）知在上是增函数，，不合题意；
（3）当时，在上是增函数，在上是增函数，
则在上是增函数，，不合题意，
综上所述，取值范围是.
19. 已知函数
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若恒成立，求a的取值范围．
解：（1）
令,
则
则
当
当,即.
当,即.
所以在上单调递增,在上单调递减
（2）设
设
所以.
若,
即在上单调递减,所以.
所以当,符合题意.
若
当,所以.
.
所以,使得,即,使得.
当,即当单调递增.
所以当,不合题意.
综上,的取值范围为.0
单调递增
极大值
单调递减
0
单调递增
极大值
单调递减