四川省眉山市东坡区2023-2024学年高二下学期6月期末联考数学试题（解析版）

这是一份四川省眉山市东坡区2023-2024学年高二下学期6月期末联考数学试题（解析版），共16页。
1．答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；
4．全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由方程表示焦点在轴上的椭圆，得，
解得，
所以实数的取值范围为.
故选：A
2. 图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】第一代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为2，
第二代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为3，
第三代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为4，
…
第n代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为，
故选：D
3. 如图，圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长，过的中点B作的垂线交圆O于点C，则异面直线与所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题知B在直角梯形中，因为B为的中点，，
所以，
连接，易证四边形为矩形，所以，
所以为异面直线与所成的角，
在中，，所以,
连接，在中，由，，得；
在中，，所以，故选：B.
4. “”是“直线和直线平行”的（ ）
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C.充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当时，直线和直线平行
且或；
当时，直线和直线不平行；
当时，直线和直线不平行．
所以“”是“直线和直线平行”的充分不必要条件.
故选：C．
5. 小王同学制作了一枚质地均匀的正十二面体骰子，并在十二个面上分别画了十二生肖的图案，且每个面上的生肖各不相同，如图所示．小王抛掷这枚骰子2次，恰好出现一次龙的图案朝上的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】小王抛掷这枚骰子1次，出现龙的图案朝上的概率为，
所以小王抛掷这枚骰子2次，恰好出现一次龙的图案朝上的概率为.
故选：C.
6. 已知圆：与圆：的公共弦所在直线与直线：垂直，则的值为（ ）
A. 2B. C. 8D.
【答案】A
【解析】把圆与圆的方程相减得：，
即为圆与圆的公共弦所在直线方程，
由直线与直线垂直，得，解得，
当时，圆：，
即的圆心，半径，
而圆：的圆心，半径，
于是，则圆与圆相交，符合题意，
所以的值为2.
故选：A
7. 已知点，，，，则直线，的位置关系是（ ）
A. 平行B. 相交C. 重合D. 异面
【答案】D
【解析】因为点，，，，
所以，，，
因为不存在实数，使得，所以、不共线，
所以直线，不平行，不重合，故选项A、D不正确；
假设、、三个向量共面，
设，则，此方程组无解，
可得、、三个向量不共面，
所以直线，不相交，所以直线，异面，
故选：D.
8. 已知，为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，且.则此双曲线离心率的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设，，，由，
则，
显然，则整理可得，由，
则，
解得，由双曲线的定义可知：，
则，整理可得，
化简可得，由，且，
则，可得或，
解得或，所以，解得.
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.对于一个古典概型的样本空间和事件A,B,C,其中,,，，，则（ ）
A. 事件A与B互斥B. 事件A与B相互独立
C. 事件A与C互斥D. 事件A与C相互独立
【答案】AD
【解析】因，
由已知得：，，即事件A与B互斥，A正确；
因，，，，事件A与B不独立，B不正确；
因，
由已知得：，，
即事件A与C不互斥，C不正确；
因，，，
有，事件A与C相互独立，D正确.
故选：AD
10. 如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段上运动，则下列判断中正确的是（ ）
A. 三棱锥的体积是
B. 平面
C. 平面与平面所成的二面角为
D. 异面直线与所成角的范围是
【答案】ABD
【解析】A：，
因为到面的距离不变，且△的面积不变，
所以三棱锥的体积不变，
当与重合时得，
故A正确；
B：连接，，，，
易证面面，
又面，
所以面，故B正确；
C：根据正方体的结构特征，有面，又面，
则面面，故C错误；
D：由知：当与线段的两端点重合时，与所成角取最小值，当与线段的中点重合时，与所成角取最大值，
故与所成角的范围，
故D正确.
故选：ABD．
11. 数列满是，则（ ）
A. 数列的最大项为B. 数列的最大项为
C. 数列的最小项为D. 数列的最小项为
【答案】BD
【解析】因为，
所以，
由，得到，且易知，时，，当时，，
所以
所以数列的最大项为，最小项为，
故选：BD.
12. 用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合.若抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过C上的点反射，再经过C上另一点反射后，沿直线射出，则（ ）

A. C的准线方程为
B.
C. 若点，则
D. 设直线AO与C的准线的交点为N，则点N在直线上
【答案】AD
【解析】由题意，抛物线，可得焦点，准线方程为，所以A正确；
由抛物线的光学性质可知，直线经过焦点F，且斜率不为0，
设直线，联立方程组，整理得，
可得，所以，所以B错误；
若点，则，所以，所以，，
所以，所以C错误；
又由直线，联立方程组，解得，
由，得，所以，所以点N在直线上，所以D正确.
故选：AD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 抛物线上一点到焦点的距离为__________．
【答案】3
【解析】因为，所以点在该抛物线上，
又抛物线准线方程为：，
所以点到焦点的距离为：，
故答案为：3
14. 已知满足对一切正整数n均有且恒成立，则实数的范围是_______
【答案】
【解析】因为对一切正整数n均有且恒成立，
所以，化简得到，
的最小值为3.
所以，
故答案为：.
15. 已知圆C的方程为，过直线l：（）上任意一点作圆C的切线，若切线长的最小值为，则直线l的斜率为__________．
【答案】
【解析】设切线长最小时直线上对应的点为，则
又，因为切线长的最小值为
故，解得，故直线的斜率为.
故答案为：.
16. 已知正方体中，O为正方形的中心．M为平面上的一个动点，则下列命题正确的_______
①若，则M的轨迹是圆；②若M到直线距离相等，则M的轨迹是双曲线；③若M到直线距离相等，则M的轨迹是抛物线
【答案】②③
【解析】对于①，建立如图空间直角坐标系，设正方体棱长为，
对于A，，，，
则
，则，
即
此时仅有，所以轨迹是一个点，故①错误；
对于②，过向作垂线，垂足为，过向作垂线，垂足为，
过向作垂线，垂足为，由于，
又因为，，平面，
所以平面，又因为平面，
所以，
若到直线，距离相等，即，
因为，所以，
则，即，则的轨迹是双曲线，故②正确，
对于③，若到直线，距离相等，面， 面，
所以，所以到直线的距离为到点的距离，
则到直线，点距离相等，由抛物线定义可得，的轨迹是抛物线，故③正确；
故答案为：②③.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知直线；
（1）证明：直线l过定点；
（2）已知点，当点到直线l的距离最大时，求实数m的值．
解：（1）由直线方程可得，，
，
直线l过恒过定点.
（2）由题意可知，点到直线l的距离的最大值为点到定点的距离，
此时直线l与过点与定点的直线垂直，
则过与定点的直线的斜率为，所以，
所以．
18. 在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，动点P满足
（1）求动点P的轨迹C的方程
（2）若直线l过点且与轨迹C相切，求直线l的方程.
解：（1）设，
由，得，
化简得，
所以P点的轨迹的方程为.
（2）由（1）知，轨迹：表示圆心为，半径为2的圆，
当直线l的斜率不存在时，方程为，圆心到直线l的距离为2，与相切；
当直线l的斜率存在时，设，即，
于是，解得，因此直线的方程为，
即，
所以直线l的方程为或.

19. 已知过点的直线与抛物线（）交于，两点，且当的斜率为时，恰为中点．
（1）求的值；
（2）当经过抛物线的焦点时，求的面积．
解：（1）当斜率为时，由得，恰好经过坐标原点，
不妨设，则为抛物线上的点．代入抛物线的方程得，解得．
（2）由（1）可知抛物线的焦点．当经过时，其方程为．
将其与抛物线的方程联立得．
设，，则，．
因此的面积．
20. 眉山市位于四川西南，有“千载诗书城，人文第一州”的美誉，这里是大文豪苏轼、苏洵、苏辙的故乡，也是人们旅游的好地方.在今年的国庆黄金周，为了丰富游客的文化生活，每天在东坡故里三苏祠举行“三苏文化”知识竞赛.已知甲、乙两队参赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响.
（1）分别求甲队总得分为0分；2分的概率；
（2）求甲队得2分乙队得1分的概率.
解：（1）记“甲队总得分为0分”为事件，“甲队总得分为2分”为事件，
甲队总得分为0分，即甲队三人都回答错误，其概率；
甲队总得分为2分，即甲队三人中有1人答错，其余两人答对，其概率；
（2）记“乙队得1分”为事件，“甲队得2分乙队得1分”为事件；
事件即乙队三人中有2人答错，其余1人答对，
则，
甲队得2分乙队得1分即事件、同时发生，
则．
21. 如图,在四棱锥中，平面平面，，，，，，，点O是的中点．
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在棱上是否存在点M，使得平面?若存在，求的值；若不存在，说明理由．
解：（1）因为，点O是的中点，
所以，因为平面平面，平面平面，
所以平面，而平面，
所以；
（2）设为的中点，连接，
因为，，所以，由（1）可知：平面，
而平面，所以，
因此建立如图所示的空间直角坐标系，
，
因为平面平面，平面平面，，
所以平面，因此平面的法向量为，
设平面的法向量为，，
于是有，
二面角的余弦值为：；
（3）假设在棱上存在点M，使得平面，且，
可得：，因此，
由（2）可知平面的法向量为，
因为平面，
所以，
因此假设成立，.
22. 已知椭圆的一个顶点为，焦距为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．
解：（1）依题意可得，，又，
所以，所以椭圆方程为；
（2）依题意过点的直线为，设、，
不妨令，
由，消去整理得，
所以，解得，
所以，，
直线的方程为，
令，解得，
直线的方程为，
令，解得，
所以
，
所以，
即
即
即
整理得，解得.