山东省日照市2024-2025学年高一上学期11月期中校际联合考试数学试题（解析版）

这是一份山东省日照市2024-2025学年高一上学期11月期中校际联合考试数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，，则.
故选：C.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】 “，”的否定是： ，，
故选：D
3. 已知函数，下列区间中，一定包含零点的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由于均在上单调递增，故函数在上单调递增，且连续，
，
因此定包含零点的区间是，
故选：B
4. 用长的铁丝折成一个矩形，则该矩形面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设该矩形相邻的两边长为，则，即.
由，，则，得，
当且仅当时，等号成立.
故该矩形面积的最大值为.
故选：A.
5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据题意可得，解得且．
故选：C
6. 已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，则的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为是定义在上偶函数，所以，
又在上是增函数，，
当时，不成立；
当时，由，得，则，故或；
由，得，则，故或；
而由，得或，解得或，
即的解集为.
故选：A.
7. 关于x的方程有4个不同的解，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由可得，
令 ，若关于x的方程有4个不同的解，
则与的图象有4个不同的交点，
是偶函数，
当时，
在单调递增，在单调递减，
所以的图象如图所示：当时，
若与的图象有4个不同的交点，由图知，
故选：C
8. 已知函数定义域为R，且，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】函数的定义域为R，
当时，，
令函数，依题意，对任意的，恒成立，
因此函数在上单调递增，
当时，则，解得，因此；
当时，函数在单调递增，因此；
当时，则恒成立，因此，
实数a的取值范围是．
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】对于A，为非奇非偶函数，故A不符合，
对于B，为奇函数，且在区间上单调递增，B符合，
对于C，奇函数，且在区间上单调递增，C符合，
对于D，为偶函数，故D不符合，
故选：BC
10. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，则的最小值为1
D. 若，，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于A, 由于，则，故，，因此，A正确，
对于B，取，，但，故B错误，
对于C，，则，故，
当且仅当，即取等号，故C正确，
对于D，，由可得，
则，
当且仅当，即时取等号，故最小值为，
故选：ACD
11. 设，定义在R上的函数满足，且，，则（ ）
A. B.
C. 为偶函数D.
【答案】ABD
【解析】对于A，令，，得，
因为，所以，故A正确；
对于B，令，代入可得，
因为，，所以，
从而，故B正确；
对于C，令，代入得，
又因为对，恒成立且不恒为0，
所以，从而得为奇函数，
又不恒等于0，故C错误；
对于D，因为，所以，
所以为的周期，所以，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数则________.
【答案】或0.5
【解析】
【分析】代入即可求解.
【详解】，故，
故答案为：
13. 已知集合，且，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】根据题意可知集合，且，
所以当时满足，且当时满足，
联立，解之可得或.
实数的取值范围是或.
故答案为：
14. 记表示函数在区间上的最大值.当时，的最小值为________.
【答案】2
【解析】令，则，
设，因为，所以，
当时；当时；当时，
所以的最大值是在，中，
，
由分段函数可知，时单调递减，在时单调递增，
所以在内，时原式有最小值，最小值为.
故答案为：2.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围.
解：（1）若时，，
又，所以.
（2）由题可得
当时，有，即，满足题意；
当时，有，解得；
综上可知，m的取值范围为.
16. 已知函数.
（1）若不等式的解集为12,1，求的解析式；
（2）求不等式的解集.
解：（1）∵的解集为，所以1，是方程的根，
∴，
∴，∴.
（2）；
令，设方程的两个根为，，解得：，，
（ⅰ）当时，无解；
（ⅱ）当时，；
（ⅲ）当时，；
综上所述：
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
17. 某民居有一阁楼，现要在阁楼（可视作如图所示的锐角三角形）上开一内接矩形窗户（阴影部分），设其一边长为x（单位：米）.
（1）求窗户的面积，并求的最大值；
（2）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%.若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长x为多少米时窗户面积最小？最小是多少平方米？
解：（1）设矩形的另一边长为y，由三角形相似得且，，
所以，即，
故窗户面积，，
故，，
所以当时，最大，最大值为平方米；
（2）设地板面积为，解不等式组，
解得，
故当时，窗户面积最小，
此时由（1）可得或
故当x为米或米时，窗户面积最小，最小值为平方米
18. 已知函数的图象关于点对称的充要条件是是奇函数.给定函数.
（1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明；
（2）求函数图象的对称中心；
（3）已知函数的图象关于点对称，且当时，.若不等式在区间上有解，求实数m的取值范围.
（1）证明：函数在上单调递增，
任取，且，
则，
所以且，
所以，即，
所以在上单调递增.
（2）解：设函数图象的对称中心为，
则，
即，
整理得，
于是，解得，
（3）解：因为的图象关于点对称，由题可知：，
任取，则，所以，
故，；
所以在上有解，转化为在能成立，
令，，
所以原问题等价于，；
①当时，不成立；
②时，即，此时，
解得：或，与无交集，舍去；
③当，即时，符合题意，
综上，.
19. 对于给定的非空数集，定义集合，
，当时，称A具有孪生性质.
（1）若集合，求集合，；
（2）若集合，，且，求证：；
（3）若集合，且集合C具有孪生性质，记为集合C中元素的个数，求的最大值.
解：（1）因为集合，
所以由1+1=2，1+6=7，6+6=12，可得，
，，，可得.
（2）由于集合，，
则集合的元素在0，，，中产生，
且，，
而，故B中最大元素属于，而为4个元素中的最大者，
故，即，
故，故中的4个元素为0，，，且与0，或或重复，
而，故即，
（3）设满足题意，设，
则，
∴，又，∴，
∵，∴，即，
∴，
中最小的元素为0，最大的元素为，，
∴，即，
∴.
实际上当时满足题意，
证明如下：设，，
则，，
依题意有，即，故m的最小值为675，
于是当时，C中元素最多，
即时满足题意，
综上所述，集合C中元素的个数的最大值是1350.