江西省余江市第一中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份江西省余江市第一中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版），共21页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，0027B， 下列有关数列的说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.)
1. 已知等比数列中，，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 下列命题错误的是（ ）
A. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于
B. 设，且，则
C. 线性回归直线一定经过样本点的中心
D. 随机变量，若，则
3. 已知数列是等比数列，且，公比为2，则数列的前5项之和为（ ）
A 62B. 66C. 56D. 46
4. 若的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（ ）
A. B. C. 60D. 240
5. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（ ）
A 5B. 4C. 3D. 2
6. 甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在小区的概率为（ ）
A B. C. D.
7. 中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为（ ）
附：若：，则，，．
A. 0.0027B. 0.5C. 0.8414D. 0.9773
8. 已知数列的前项和，等差数列满足，，数列满足，设数列的前项和为，若对于，都有，则（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)
9. 下列有关数列的说法正确的是（ ）
A. 数列-2023,0,4与数列4,0,-2023是同一个数列
B. 数列的通项公式为,则110是该数列的第10项
C. 在数列中,第8个数是
D. 数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为
10. 已知数列的前n项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ）
A. 数列为等差数列B. 数列为等比数列
C. D.
11. 在2024年欧洲杯某小组赛中，共有甲、乙、丙、丁四支队伍进行单循环比赛，即每两支队伍在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时（ ）
A. 四支球队的积分总和可能为15分
B. 甲队胜3场且乙队胜1场的概率为
C. 可能会出现三支球队积分相同且和第四支球队积分不同的情况
D. 丙队在输了一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 《张邱健算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中记载着这样一个问题：“有个女子善织布，每天比前一天多织相同的布，第一天织5尺，一个月（按30天计）共织了440尺，推算第10天该女子织了__________尺布.”
13. 随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明上班出行方式由三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是__________．
14. 若数列满足，在中插入n个2，按照原有顺序构成数列，则数列的前480项和为___________．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 现有一个六个面分别标有数字的正方体骰子，连续抛掷两次，设分别为第一次和第二次抛掷骰子落地后朝上的点数，.
（1）求概率；
（2）求的数学期望.
16. 已知等比数列公比，，．
（1）求；
（2）设，若，求．
17. 已知数列的前n项和为，且满足
（1）证明数列为等比数列，并求它的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和
18. 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从道备选题中一次性随机抽取 道题，按照题目要求独立完成. 规定：至少正确完成其中道题便可通过面试.已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且两位应聘者每题正确完成与否互不影响.
（1）求甲正确完成面试题数的分布列及其期望；
（2）求乙正确完成面试题数的分布列及其方差；
（3）试问:甲和乙谁通过面试的可能性更大?并说明理由.
19. 已知数列 的前 项和 满足 ，且 .
（1）证明数列 为等差数列，并求 的通项公式;
（2）设 为数列 的前 项和，求使 成立的最小正整数 的值;
（3）在数列 中，对任意 ，当 时， ，若满足 ，求正整数 的最小值.
余江一中2024年高二年级下学期第一次月考考试数学考试卷
考试时间：120
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.)
1. 已知等比数列中，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】推导出，再利用等比中项的性质可求得的值.
【详解】设等比数列的公比为，则，
由等比中项的性质可得，故.
故选：B.
2. 下列命题错误的是（ ）
A. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于
B. 设，且，则
C. 线性回归直线一定经过样本点的中心
D. 随机变量，若，则
【答案】B
【解析】
【分析】利用相关关系判断A；由正态分布的性质判断B；由线性回归直线的性质判断C；由随机变量条件建立方程组解出即可判断D.
【详解】根据相关系数的意义可知，两个随机变量的线性相关性越强，
相关系数的绝对值越接近于，
故A正确；
由，知，
即概率密度函数的图像关于直线对称，
所以，
则，
故B错误；
根据线性回归直线的性质可知，
线性回归直线一定经过样本点的中心，
故C正确；
随机变量，若，
则，
故D正确；
故选：B.
3. 已知数列是等比数列，且，公比为2，则数列的前5项之和为（ ）
A. 62B. 66C. 56D. 46
【答案】D
【解析】
【分析】先求出数列的通项公式，再由分组求和法求解即可.
【详解】数列是首项为，公比为2的等比数列，
所以，所以，
所以数列的前5项之和为
.
故选：D.
4. 若的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（ ）
A. B. C. 60D. 240
【答案】C
【解析】
【分析】由二项式系数性质求出，由二项展开式通项公式可求得常数项．
【详解】由题意，解得．
展开式通项为，
由得，解得，∴常数项为．
故选：C．
5. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据“冰雹猜想”结合递推关系，利用规律求解即可
【详解】,
可知数列可看作从第8项起以3为周期的数列，
因为，
所以，
故选：B
6. 甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在小区的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，先求得所有情况数，然后求得甲去的情况数，从而得到甲不去小区的情况数，再结合概率公式，即可得到结果.
详解】首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有种情况，
再计算5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去，
5人被分为或
当5人被分为时，情况数为;
当5人被分为时，情况数为；
所以共有.
由于所求甲不去，情况数较多，反向思考，求甲去的情况数，最后用总数减即可，
当5人被分为时，且甲去，甲若为1，则，甲若为3，则
共计种，
当5人被分为时，且甲去，甲若为1，则，甲若为2，则，共计种，
所以甲不在小区的概率为
故选：B.
7. 中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为（ ）
附：若：，则，，．
A. 0.0027B. 0.5C. 0.8414D. 0.9773
【答案】D
【解析】
【分析】先得到，满足且，从而计算出期望和方差，得到，利用正态分布的对称性求解.
【详解】骰子向上的点数为偶数的概率，故，
显然，其中，，
故，
则，
由正态分布的对称性可知，估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为
.
故选：D
8. 已知数列的前项和，等差数列满足，，数列满足，设数列的前项和为，若对于，都有，则（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，先求出可得，判断出数列的单调性可得答案.
【详解】因为，时，，
由，所以，
设等差数列的公差为，由得，
解得，所以，可得，
则，
所以当时，；当时，，
所以，
又因为，，，，
所以当时，；当时，；
当时，，因此当时，数列单调递减；
当时，单调递增，所以，故.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是判断出数列的单调性.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)
9. 下列有关数列的说法正确的是（ ）
A. 数列-2023,0,4与数列4,0,-2023是同一个数列
B. 数列的通项公式为,则110是该数列的第10项
C. 在数列中,第8个数是
D. 数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据数列概念即可得选项A正误;利用数列的通项公式等于110,计算出结果,即可得选项B的正误;根据数列的规律,即可得选项C、D的正误.
【详解】解:因为数列-2023,0,4的首项是-2023,而数列4,0,-2023的首项是4,
所以两个数列不是同一个,故选项A错误;
当时,解得:或(舍),
即110是该数列的第10项,故选项B正确;
因为数列可写为:,
所以第8个数是,故选项C正确;
因为
所以可以看做数列的一个通项公式,故选项D正确.
故选：BCD
10. 已知数列的前n项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ）
A. 数列为等差数列B. 数列为等比数列
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据递推式可得、，再根据等差、等比数列的定义判断A、B；应用累加法求数列通项公式判断C；应用分组求和及等比数列前n项和公式求判断D.
【详解】因为，所以，
则是首项为，公比为2的等比数列，故A错误；
根据题意得，，
所以数列为首项为1，公比为1的等比数列，则 ，故B正确；
所以，故C正确；
，故D正确.
故选：BCD
11. 在2024年欧洲杯某小组赛中，共有甲、乙、丙、丁四支队伍进行单循环比赛，即每两支队伍在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时（ ）
A. 四支球队的积分总和可能为15分
B. 甲队胜3场且乙队胜1场的概率为
C. 可能会出现三支球队积分相同且和第四支球队积分不同的情况
D. 丙队在输了一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平可判断A，根据甲胜乙、丙胜甲、乙胜丙、甲丁平、乙丁平、丙丁平判断C，由互斥事件与独立事件的概率公式计算概率判断BD.
【详解】四支球队共6场比赛，有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁.
对于A，四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平，
则甲得9分，乙、丙、丁各得2分，所以四支球队的积分总和可能为15分，故A正确；
对于B，每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，
则甲队胜3场且乙队胜1场的概率为，故B错误；
对于C，若甲胜乙、丙胜甲、乙胜丙、甲丁平、乙丁平、丙丁平，
则甲、乙、丙各得4分，丁得3分，
出现三支球队积分相同且和第四支球队积分不同的情况，故C正确；
对于D，丙队在输了一场且其积分仍超过其余三支球队的积分，
三队中选一队与丙比赛，丙输，，例如是丙甲，若丙与乙、丁的两场比赛一赢一平，
则丙只得4分，这时，甲乙、甲丁两场比赛中甲只能输，否则甲的分数不小于4分，不合题意，
在甲输的情况下，乙、丁已有3分，那么它们之间的比赛无论什么情况，
乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意；
若丙全赢（概率是）时，丙得6分，其他3人分数最高为5分，
这时甲乙，甲丁两场比赛中甲不能赢否则甲的分数不小于6分，只有全平或全输，
①若甲一平一输，概率是，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率是；
②若甲两场均平，概率是，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意；
③若两场甲都输，概率是，乙丁这场比赛只能平，概率是；
综上概率为，故D错误.
故选：AC.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 《张邱健算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中记载着这样一个问题：“有个女子善织布，每天比前一天多织相同的布，第一天织5尺，一个月（按30天计）共织了440尺，推算第10天该女子织了__________尺布.”
【答案】11
【解析】
【分析】记公差为，根据已知求出再利用等差数列的通项公式求解.
【详解】由题得每天的织布数成等差数列，首项，记公差为，
由题得，所以
所以.
故答案为：11
13. 随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明上班出行方式由三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】法1：设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，，利用贝叶斯公式即可得到答案；
法2：直接在迟到的前提下计算概率.
【详解】法1：由题意设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，
事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，
则；
，
小明迟到了，由贝叶斯公式得他自驾去上班的概率是，
法2：在迟到的条件下，他自驾去上班的概率，
故答案为：．
14. 若数列满足，在中插入n个2，按照原有顺序构成数列，则数列的前480项和为___________．
【答案】1215
【解析】
【分析】由题意，根据等差数列前项和公式求出数列的项数和前480项中2的个数，再求出数列的前30项和即可.
【详解】数列中从到的项数为：
，令，得，且，
所以数列的前480项中后面还有15项，
则数列的前480项中2的个数为．
由，得，
故数列的前30项和是数列的前10项和，且和为，
所以数列的前480项和为．
故答案为：1215
【点睛】难点点睛：本题的难点是推出数列的前480项中后面还有15项.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 现有一个六个面分别标有数字的正方体骰子，连续抛掷两次，设分别为第一次和第二次抛掷骰子落地后朝上的点数，.
（1）求的概率；
（2）求的数学期望.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据已知及列举法求出、对应概率，应用互斥事件加法求概率即可；
（2）的所有可能值为，同（1）方法求对应可能值的概率，进而求期望.
小问1详解】
由题设，，即或，
连续抛掷两次骰子，得到朝上的点数构成的数组共有36种可能，
的情况有共6种，故，
的情况有共10种，故，
所以的概率为.
【小问2详解】
由题意，的所有可能值为，同（1）分析，
的情况有共8种，则，
的情况有共6种，则，
的情况有共4种，则，
的情况有共2种，则，
所以.
16. 已知等比数列的公比，，．
（1）求；
（2）设，若，求．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由题设结合等比数列通项公式列出等比数列首项和公比的方程组即可求解；
（2）先求出通项公式，再由等差数列前项和公式结合题设列出等量关系式计算即可求解.
【小问1详解】
由题意得，
所以.
【小问2详解】
由（1）得，
所以，
解得或（舍去）.
17. 已知数列的前n项和为，且满足
（1）证明数列为等比数列，并求它的通项公式；
（2）设，求数列前n项和
【答案】（1）证明见解析，；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据递推式可得，结合等比数列的定义判定证明，进而写出通项公式；
（2）应用错位相减法及等比数列前n项和公式求
【小问1详解】
由题设，则，整理得，
又，
所以是首项为1，公比为3的等比数列，则.
【小问2详解】
由，则，
所以，
所以，
所以.
18. 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从道备选题中一次性随机抽取 道题，按照题目要求独立完成. 规定：至少正确完成其中道题便可通过面试.已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且两位应聘者每题正确完成与否互不影响.
（1）求甲正确完成面试题数的分布列及其期望；
（2）求乙正确完成面试题数的分布列及其方差；
（3）试问:甲和乙谁通过面试的可能性更大?并说明理由.
【答案】（1）分布列见解析；
（2）分布列见解析；
（3）甲通过面试的可能性更大；理由见解析
【解析】
【分析】（1）确定的可能取值，利用超几何分布求概率公式求出概率，列出分布列，求出期望即可；
（2）确定的可能取值，利用二项分布求概率公式求出概率，列出分布列，求出期望方差即可；
（3）确定甲、乙通过面试的概率，比较即可的结论.
【小问1详解】
甲正确完成试题数的可能取值为，，，
，，，
所以甲正确完成面试题数的分布列为：
.
【小问2详解】
乙正确完成面试题数的可能取值为：，，，
，，
，，
所以乙正确完成面试题数的分布列为：
所以，
.
【小问3详解】
因为，，
所以，所以甲通过面试的可能性大.
19. 已知数列 的前 项和 满足 ，且 .
（1）证明数列 为等差数列，并求 的通项公式;
（2）设 为数列 的前 项和，求使 成立的最小正整数 的值;
（3）在数列 中，对任意 ，当 时， ，若满足 ，求正整数 最小值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由与的关系代入计算，结合等差数列的定义即可证明，再由等差数列的通项公式即可得到结果；
（2）根据题意，先对数列的通项公式进行化简，再由裂项相消法求解的表达式，然后代入计算，求解不等式，即可得到结果；
（3）根据题意，先根据数列的通项公式确定与的关系，即可得到的表达式，然后求解不等式，即可得到结果.
【小问1详解】
因为①，
当时，②，
由①②可得：，
化简可得，，
即，，
又，当时，，解得，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
且.
【小问2详解】
，
则
，
由可得，化简可得，解得，
所以使成立的最小正整数的值为.
【小问3详解】
由可得，
因为当时，，
设，，
则，，，，
所以，
由，即，解得，
且，所以，
当时，，即，所以正整数的最小值为.