江西省丰城中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份江西省丰城中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分.每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1. 已知数列的前项和为，若，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若双曲线 (a>0，b>0)焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为
A B. C. D.
3. 函数的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 设在处可导，下列式子与相等的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知，为f（x）的导函数，则的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
7. 在平面直角坐标系xOy中，以点(0，1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（ ）
A. x2＋(y－1)2＝4B. x2＋(y－1)2＝2
C. x2＋(y－1)2＝8D. x2＋(y－1)2＝16
8. 如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是（ ）
A. 有极小值点，没有极大值点B. 有极大值点，没有极小值点
C. 至少有两个极小值点和一个极大值点D. 至少有一个极小值点和两个极大值点
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 某公司为提高职工政治素养，对全体职工进行了一次时事政治测试，随机抽取了100名职工的成绩，并将其制成如图所示的频率分布直方图，以样本估计总体，则下列结论中正确的是（ ）
A. 该公司职工的测试成绩不低于60分的人数约占总人数的80%
B. 该公司职工测试成绩的中位数约为70分
C. 该公司职工测试成绩的平均值约为68分
D. 该公司职工测试成绩的众数约为60分
10. 已知是数列的前项和，，则（ ）
A. 是等比数列B.
C. D.
11. 若数列满足：对任意正整数，为递减数列，则称数列为“差递减数列”.给出下列数列，其中是“差递减数列”的有（ ）
A. B. C. D.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 若，则正整数x的值是________．
13 已知等比数列中，，，则______.
14. 某商场销售某种商品，经验表明，该商品每日的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，x∈(3，6)．若该商品的成本为3元/千克，则当销售价格为________元/千克时，该商场每日销售该商品所获得的利润最大．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在数列中，，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求．
16. 如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点.

（1）求证平面；
（2）试在线段上确定一点，使得与所成的角是.
17. 已知函数（）．
（1）若是函数的极值点，求在区间上的最值；
（2）求函数的单调增区间．
18. 已知焦点在轴上的椭圆，离心率为，且过点，不过椭圆顶点的动直线与椭圆交于、两点，求：
（1）椭圆标准方程；
（2）求三角形面积最大值，并求取得最值时直线、的斜率之积.
19. 一款游戏规则如下：掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面向前跳2步，若出现反面向前跳1步．
（1）若甲乙二人同时参与游戏，每人各掷硬币2次，
①求甲向前跳的步数大于乙向前跳的步数的概率；
②记甲乙二人向前跳的步数和为，求随机变量的分布列和数学期望．
（2）若某人掷硬币若干次，向前跳的步数为的概率记为，求的最大值．
丰城中学2024-2025学年下学期高二期中考试试卷
数学
一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分.每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1. 已知数列的前项和为，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用裂项相消法求数列的和即可.
【详解】解：，
所以.
故选：C.
2. 若双曲线 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：本题已知：焦点坐标，渐近线方程为：,距离为：
化简得：， 又：，得：
考点：双曲线的几何性质及点到直线的距离和方程思想．
3. 函数的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式即可.
【详解】函数的定义域为，又，
令，即，解得，
所以函数的单调递减区间是.
故选：B
4. 已知数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据递增数列的定义建立不等式组，解之可得选项.
【详解】解：若是递增数列，则，即，解得，
即实数的取值范围是．
故选：D．
5. 设在处可导，下列式子与相等的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据导函数的定义，将各选项中的式子化简，即可判断出答案.
【详解】对于A，,A错误；
对于B，，B正确；
对于C, ，C错误；
对于D，，D错误，
故选：B
6. 已知，为f（x）的导函数，则的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求导得到，根据奇偶性排除，特殊值计算排除得到答案.
【详解】，则，则函数为奇函数，排除；
，排除；
故选：.
【点睛】本题考查了函数求导，函数图像的识别，意在考查学生对于函数知识的综合运用.
7. 在平面直角坐标系xOy中，以点(0，1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（ ）
A. x2＋(y－1)2＝4B. x2＋(y－1)2＝2
C. x2＋(y－1)2＝8D. x2＋(y－1)2＝16
【答案】B
【解析】
【分析】先求得直线恒过点P(－1，2)，因此圆与直线x－by＋2b＋1＝0相切于点P时，圆的半径最大，由此可求得圆的方程得选项.
【详解】由整理得，所以直线x－by＋2b＋1＝0过定点P(－1，2)，如图．
所以圆与直线x－by＋2b＋1＝0相切于点P时，以点(0，1)为圆心的圆的半径最大，此时半径r为，此时圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2.
故选：B.
【点睛】方法点睛：求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成，将代入原方程之后，所以直线过定点；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.
8. 如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是（ ）
A. 有极小值点，没有极大值点B. 有极大值点，没有极小值点
C 至少有两个极小值点和一个极大值点D. 至少有一个极小值点和两个极大值点
【答案】C
【解析】
【分析】由题设，令与切点横坐标为且，由图存在使，则有三个不同零点，结合图象判断的符号，进而确定单调性，即可确定答案.
【详解】由题设，，则，
又直线与曲线相切于两点且横坐标为且，
所以的两个零点为，由图知：存在使，
综上，有三个不同零点，
由图：上，上，上，上，
所以在上递减，上递增，上递减，上递增.
故至少有两个极小值点和一个极大值点.
故选：C.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 某公司为提高职工政治素养，对全体职工进行了一次时事政治测试，随机抽取了100名职工的成绩，并将其制成如图所示的频率分布直方图，以样本估计总体，则下列结论中正确的是（ ）
A. 该公司职工的测试成绩不低于60分的人数约占总人数的80%
B. 该公司职工测试成绩的中位数约为70分
C. 该公司职工测试成绩的平均值约为68分
D. 该公司职工测试成绩的众数约为60分
【答案】BC
【解析】
【分析】根据频率分布直方图一一分析即可.
【详解】由频率分布直方图，得：
对于A，该公司职工的测试成绩不低于分的频率为：，
∴该公司职工的测试成绩不低于分的人数约占总人数的，故A错误；
对于B，测试成绩在的频率为，
测试成绩在的频率为，
∴该公司职工测试成绩的中位数约为分，故B正确；
对于C，该公司职工测试成绩的平均值约为：
分，故C正确；
对于D，该公司职工测试成绩的众数约为分，故D错误.
故选：BC.
10. 已知是数列的前项和，，则（ ）
A. 是等比数列B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】利用与的关系可得是以1为首项，以为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式及求和公式逐项分析即得.
【详解】，
，即，
当时，，
，
，即，
是以1为首项，以为公比的等比数列，故A正确；
∴，故B正确；
，故C错误；
，故D错误.
故选：AB.
11. 若数列满足：对任意正整数，为递减数列，则称数列为“差递减数列”.给出下列数列，其中是“差递减数列”的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】
分别求出四个选项中数列对应的，再进行判断.
【详解】对，若，则，所以不为递减数列，故错误；
对，若，则，所以为递增数列，故错误；
对，若，则，所以为递减数列，故正确；
对，若，则，由函数在递减，所以数为递减数列，故正确.
故选：.
【点睛】本题考查数列新定义、数列单调性及递推关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 若，则正整数x的值是________．
【答案】1或4
【解析】
【分析】解方程2x－1＝x或2x－1＋x＝11，即得解.
【详解】解：∵，
∴2x－1＝x或2x－1＋x＝11，解得x＝1或x＝4．
经检验，x＝1或x＝4满足题意.
故答案为：1或4．
13. 已知等比数列中，，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据下标和性质求出，从而求出，再由通项公式计算可得.
【详解】因为，又，，所以，
又，设公比为，则，则，
所以.
故答案为：
14. 某商场销售某种商品，经验表明，该商品每日的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，x∈(3，6)．若该商品的成本为3元/千克，则当销售价格为________元/千克时，该商场每日销售该商品所获得的利润最大．
【答案】4
【解析】
【分析】写出利润函数的表达式，通过求导分析单调性求取最大值即可．
【详解】解析：商场每日销售该商品所获得的利润为


令，得x＝4或x＝6(舍去)．
故当时，当时．
则函数f(x)(3，4)上单调递增，在(4，6)上单调递减，
∴当x＝4时函数f(x)取得最大值f(4)＝42．
故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42元．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在数列中，，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知条件可得数列是等差数列，再根据可求出公差，从而可求出数列的通项公式，
（2）设数列的前n项和为，则由等差数列的求和公式可求出，由可求得时，，当时，，然后分情况可求出.
【小问1详解】
∵，∴，
∴数列是等差数列，设其公差为d．
∵，∴，
∴
【小问2详解】
设数列的前n项和为，则由（1）可得，
由（1）知，令，得，
∴当时，，
则
；
当时，，则，
∴
16. 如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点.

（1）求证平面；
（2）试在线段上确定一点，使得与所成的角是.
【答案】（1）证明见解析
（2）点为中点
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量共线证明线线共线，从而利用线面平行的判定证明即可；
（2）设出点的坐标，利用向量夹角的坐标运算公式建立方程，即可求解点的位置.
【小问1详解】
因为正方形和矩形所在的平面互相垂直，
且平面平面，且，平面，
所以平面，又，如图建立空间直角坐标系.

设，连结，则，，，
又，.
，且与不共线，，
又平面，平面，平面.
【小问2详解】
设，，又，，，
则，.
又与所成的角为，，
解之得或（舍去），故点为的中点时满足题意.
17. 已知函数（）．
（1）若是函数的极值点，求在区间上的最值；
（2）求函数的单调增区间．
【答案】（1）最小值为，最大值为
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，即可求出参数的值，从而求出函数的单调区间，再计算区间端点函数值，即可求出函数的最值；
（2）求出函数的导函数，分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调递增区间.
【小问1详解】
解：因为，所以，
因为已知是函数的极值点．
所以是方程的根，
所以，故，经检验符合题意，
所以，则，
所以当时，当时，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
又，，，
且，
所以在区间上的最小值为，
最大值为；
【小问2详解】
解：，
所以，
因为，，
当时，令，解得或，
所以函数的单调增区间为，，
当时，恒成立，所以函数的单调增区间为，
当时，令，解得或，
所以函数的单调增区间为，，
综上可得，当时单调增区间为，；
当时单调增区间为；
当时单调增区间为，.
18. 已知焦点在轴上椭圆，离心率为，且过点，不过椭圆顶点的动直线与椭圆交于、两点，求：
（1）椭圆的标准方程；
（2）求三角形面积的最大值，并求取得最值时直线、的斜率之积.
【答案】（1）；（2）面积最大值1，斜率之积为－4．
【解析】
【分析】（1）由离心率得，从而得，再把点的坐标代入标准方程，可解得；
（2）利用韦达定理及弦长公式求得底的长，由点到直线距离公式可求得边上的高，从而把面积表示为，进而可得．
【详解】因为椭圆离心率为，可设方程为，
过点，所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设，
联立，得，
①
，
∴，
又点O到直线AB的距离为，
∴
故当，即时，三角形的面积有最大值1，此时满足①，
所以，
∴三角形面积的最大值为1，此时直线、的斜率之积为－4．
19. 一款游戏规则如下：掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面向前跳2步，若出现反面向前跳1步．
（1）若甲乙二人同时参与游戏，每人各掷硬币2次，
①求甲向前跳的步数大于乙向前跳的步数的概率；
②记甲乙二人向前跳的步数和为，求随机变量的分布列和数学期望．
（2）若某人掷硬币若干次，向前跳的步数为的概率记为，求的最大值．
【答案】（1）①；②答案见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）①设甲向前跳的步数为，乙向前跳的步数为，由，，，可得的概率；
②由①知所有可能取值为4，5，6，7，8，求出，，，，，可得随机变量的分布列和.
（2）由题意得，当时，，利用递推关系可得，可求得答案.
【详解】（1）①设甲向前跳的步数为，乙向前跳的步数为，
则，
，
，
所以，
所以甲向前跳的步数大于乙向前跳的步数的概率.
②由①知所有可能取值为4，5，6，7，8，
所以，，，，，
随机变量的分布列为
.
（2）由题意得，当时，，
，
所以，
，，当为奇数时，，；
当为偶数时，，，
时，，所以，
且数列为递减数列，所以的最大值为.
【点睛】本题考查了随机变量的分布列和期望，解题的关键点是求出所有可能取值、概率及利用求得，考查了学生对数据的分析能力和计算能力.
4
5
6
7
8