2025届广东省高三年级5月联合测评 数学试卷（文字版 有答案 有解析）

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1.【答案】C
【解析】由 B=x∈N∣x2≤3x={x∈N∣0≤x≤3}={0,1,2,3} ,所以 A∩B={0,1,2} ,则如图所示的阴影部分表示的集合为 {−1,4} . 故选 C.
2.【答案】B
【解析】 ∵z=1−i,∴z=1+i,∴zz−i=1+i1−2i=3−i . 故选 B.
3.【答案】B
【解析】由 AC⋅AB>0 且 BC⋅BA>0 可得 ∠A 与 ∠B 为锐角,但 ∠C 不一定为锐角,故 △ABC 不一定为锐角三角形; 反之,若 △ABC 为锐角三角形, ∠A,∠B 与 ∠C 都为锐角,所以 AC⋅AB>0 且 BC⋅BA>0 成立. 故选 B.
4.【答案】D
【解析】 ∵csα+β=csαcsβ−sinαsinβ=−25,∴csαcsβ=15,∴csα−β=csαcsβ+sinαsinβ=15+35= 45 . 故选 D.
5.【答案】A
【解析】 lg3x+lg9y=lg3xy≤lg3x2+y22=lg3x2+y2=lg33=1 ,当且仅当 x2=y=3 时等号成立. 故选 A.
6.【答案】C
【解析】令 fx=x2−2ax−3a2=x−3ax+a ,对称轴为 x=a ,因为函数 y=lnx 是 0,+∞ 上的增函数,所以要想函数 y=lnx2−2ax−3a2 在区间 [1,+∞) 上单调递增,只需函数 fx=x2−2ax−3a2 在 [1,+∞) 上为增函数,且 fx>0 在区间 [1,+∞) 上恒成立. 当 a>0 时,满足 3a0>3−x ,故 1+xex>0>3−xe2−x ,所以 f′x= 1+xex−3−xe2−x>0 ,综上,当 x>1 时, f′x>0 恒成立,故 fx 在区间 1,+∞ 上单调递增,又因为 f1+x= f1−x ,所以 fx 的图象关于直线 x=1 对称,故 fx 在区间 −∞,1 上单调递减,故 x=1 为 fx 的极小值点, fx 的极小值为 2e .
14.【答案】512
【解析】由于 1023=1024−1=210−1=1×29+1×28+⋯+1×21+1×20=1111111112 是最大的 10 位二进制数, 故 1∼1023 的二进制数中最少 1 个 1,最多 10 个 1,即当 n∈{1,2,3,⋯,1023} 时, fn∈{1,2,3,⋯,10} . 当 fn=1 时, 1∼10 位二进制数最高位必为 1,其余位为 0,故共有 C101=10 个二进制数 (或者理解为前 10 位中恰有 1 个 1,其余位均为 0); 当 fn=2 时,共有 C102 个二进制数 (理解为前 10 位中恰有 2 个 1,其余位均为 0); 当 fn=10 时,10 位二进制数全是 1,故共有 C1010 个二进制数,所以 xf1+xf2+⋯+xf1023=C101x1+C102x2+⋯+C1010x10 , C101+C103+⋯+C109=29=512.
15. 解: (1) 由 4csA=2cs2A+3 ,得 4csA=4cs2A−2+3 ,
即 2csA−12=0 ,解得 csA=12,4分
又 A∈0,π ,所以 A=π3 . (6 分)
(2)解法一:因为 a=4 ,由正弦定理得 b=83⋅sinB,c=83⋅sinC ,
则 b+c=83sinB+sin2π3−B=8sinB+π6,9分
由在 △ABC 中, A=π3 ,得 0