广东省六校2025届高三下学期5月联考数学试卷（含答案）

这是一份广东省六校2025届高三下学期5月联考数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x20)两个焦点F1，F2，焦距为8，M为曲线上一点，|MF2|=5，则|MF1|=( )
A. 1B. 1或9C. 9D. 3
4.数列an的通项公式为an=n2+kn，则“k≥−2”是“an为递增数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
5.已知向量a=(2,−2)，向量b在a上的投影向量c=(−1,1)，则a⋅b=( )
A. −4B. −2C. 0D. 2
6.已知函数fx的定义域为R，函数Fx=f1+x−1+x为偶函数，函数Gx=f2+3x−1为奇函数，则下列说法错误的是( )
A. 函数fx的一个对称中心为2,1B. f0=−1
C. 函数fx为周期函数，且一个周期为4D. f1+f2+f3+f4=6
7.已知过点A(a,0)可以作曲线y=(x−1)ex的两条切线，则实数a的取值范围是( )
A. (1,+∞)B. (−∞,−e)∪(2,+∞)
C. (−∞,−2)∪(2,+∞)D. (−∞,−3)∪(1,+∞)
8.如图，ABC−A′B′C′为直三棱柱，用一个平行于底面ABC的平面α截此三棱柱，记下列三个三棱锥A′−ABC，A′−BCB′，A′−B′C′C在平面α上方的部位体积为V1，V2，V3，并记三个三棱锥被平面α截得的面积分别为S1，S2，S3，那么当V1+V3=2V2时，S1S2=( )
A. 13B. 12C. 1D. 32
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成绩(单位：分)，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是( )
A. a的值为0.015
B. 估计这40名学生数学考试成绩的众数为75
C. 估计总体中成绩落在[80,90)内的学生人数为105
D. 估计这40名学生数学考试成绩的第80百分位数约为87
10.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线y2=4x的焦点为F，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l1从点P(m,n)(n20为f(x)=lg2ex+2ex+1的“3重覆盖函数”，则实数a的取值范围是 。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(x)= 3sin2cx−2cs2cx+1．
(1)若f(x)在[0,π3]上单调递增，求c的取值范围;
(2)若c=1，f(C)=−1，求a+b的最大值．
16.(本小题15分)
在四棱锥P−ABCD中，PA⊥AD，PC⊥CB，AB/​/CD，AD=DC=CB=1，AB=PD=2．
(1)证明：二面角P−AD−C为π2;
(2)求平面PAB与平面PCD所成的二面角的余弦值．
17.(本小题15分)
设函数f(x)=ax2−a−ln x，其中a∈R．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)确定a的所有可能取值，使得f(x)>1x−e1−x在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718……为自然对数的底数)．
18.(本小题17分)
已知某盒子里装有除颜色外完全相同的5个小球，其中2个白球，3个黑球，每轮从盒子中随机取出1个小球，放回盒子中．
(1)若有放回地连续抽取5轮，求5轮取出的白球总数的数学期望;
(2)若规定：取出的是白球，则直接丢弃，若取出的是黑球，则放入盒中．
(Ⅰ)求在第1轮取出黑球的条件下，第5轮恰好取出所有白球的概率;
(Ⅱ)求第n(n≥2)轮恰好取出所有白球的概率．
19.(本小题17分)
设M是由直线构成的集合，对于曲线C，若C上任意一点处的切线均在M中，且M中的任意一条直线都是C上某点处的切线，则称C为M的包络曲线．
(1)圆C1:x2+(y−3)2=4是直线族mx+ny=1(m,n∈R)的包络曲线，求m，n满足的关系式;
(2)已知M2的包络曲线为C2:x22+y2=1，设直线l1，l2∈M2且l1，l2与C2的公共点分别为A，B，记l1∩l2=P，若直线l1，l2斜率存在且不为零．
(Ⅰ)若两切线l1，l2的斜率之积为1，求点P的轨迹方程Γ;
(Ⅱ)已知P为坐标平面内一定点，A为平面上的任意点，向量PA=(x,y)，点A绕着点P逆时针旋转θ角后得到点B，则PB=(xcsθ−ysinθ,xsinθ+ycsθ)，我们称该过程为平面上点的旋转，对平面上的任一点做旋转，则称其为平面的旋转变换.平面上的某二次曲线能够通过旋转变成反比例函数图象，我们称该二次曲线为“反比例曲线”.若(Ⅰ)中的曲线Γ是“反比例曲线”，过原点O0的直线kx−y=0(00，可得x02+2y02−2>0，
设过点P的两条切线的斜率分别为k1，k2，可得k1k2=1−y022−x02=1，整理可得x02−y02=1，
又因为x02+2y02−2>0且x02−y02=1，以及2−x02≠0，可得x02>43且x02≠2，即|x0|>2 33且|x0|≠ 2，
所以，点P的轨迹方程为Γ:x2−y2=1(|x|>2 33且|x|≠ 2)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，双曲线下：x2−y2=1可逆时针旋转π4角，得到的反比例函数图象表达式为2xy=1，即y=12x．
设经过旋转变换后an=yAn−yOn−1，bn=yOn−yAn，
因为△On−1AnOn是等腰三角形，所以anbn=1，
根据反比例函数定义可得anℎn=k′，
k′=y′x′= 22x+ 22y 22x− 22y=1+yx1−yx=1+k1−k，
故k′>0且k′i=1nℎi=i=1nai=i=1nbi，
从点An向x轴作垂线交于点Bn，向y轴作垂线交于点Cn，
设矩形O0BnAnCn的面积为Sn=12，
因为aiℎj=ℎik′⋅ajk′=ℎiaj(i≠j)，
当n=1时，12=S1=ℎ1a1．
由于a1ℎ2=ℎ1a2，a1b1=1，
故当n=2时，1=S1+S2=ℎ1a1+(a1+b1+a2)ℎ2=ℎ1a1+(a1+a1+a2)ℎ2=ℎ1a1+ℎ2a2+2a1ℎ2=ℎ1a1+ℎ2a2+a1ℎ2+ℎ1a2=(ℎ1+ℎ2)(a1+a2)，
因为k′(ℎ1+ℎ2)=a1+a2，
所以k′(ℎ1+ℎ2)2=1，从而ℎ1+ℎ2=1 k′，
以此类推，n2=i=1nSi=i=1nℎiai+2i>jnℎiaj=i=1nℎiai+i≠jnℎiaj=i=1nℎi⋅i=1nai，
因为k′i=1nℎi=i=1nai，
所以k′i=1nℎi2=1+k1−k(i=1nℎi)2=n2，可得i=1nℎi= (1−k)n2(1+k)．