安徽省安庆九一六学校2024−2025学年高二下学期2月月考 数学试卷（含解析）

这是一份安徽省安庆九一六学校2024−2025学年高二下学期2月月考 数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若，则（ ）
A．B．6C．3D．-3
2．已知是函数的导函数，且，则（ ）
A．1B．2C．D．
3．若函数，则等于（ ）
A．B．0C．1D．2
4．函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为 （ ）
A．B．
C．D．
5．若函数在上单调递减，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数是奇函数，则曲线在处的切线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数在处有极小值，则极大值为（ ）
A．32B．1C．D．0
8．已知在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若的增区间为，则
B．若在上单调递减，则
C．若的极大值为0，则
D．若，则曲线的对称中心为
11．记函数的零点为，则（ ）
A．B．
C．当时，D．为函数的极小值点
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知函数，则曲线在点处的切线方程为 .
13．若函数在处取得极大值，则常数a的值为 ．
14．已知两个函数和.（其中为实数），若对，，使成立，则的取值范围为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数.
(1)求的图象在点处的切线方程；
(2)求函数的极值；
16．已知函数的图象在点处的切线为．
(1)求函数的解析式;
(2)若曲线在点P处的切线与直线垂直， 求点P 的横坐标．
17．已知函数在处取得极值.
(1)求函数的解析式及单调区间；
(2)求函数在区间的最大值与最小值.
18．已知函数．
(1)若函数在处的切线与直线垂直，求实数a；
(2)若函数有极大值，且极大值不大于0，求实数a的取值范围．
19．已知曲线和曲线．
(1)若为曲线上的一动点，当点到直线的距离最小时，求点的坐标；
(2)若直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，求直线的方程．
参考答案
1．【答案】C
【详解】.
故选C.
2．【答案】A
【详解】由可得，
故，解得，
故选A.
3．【答案】D
【详解】依题意，，所以.
故选：D.
4．【答案】D
【详解】由题意，，
又因为，由图可当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以①当时，且，
②当时，且；
综上，;
故选D.
5．【答案】D
【详解】因为，所以，
因为在上单调递减，所以对恒成立，
得到，即对恒成立，
令，则对于恒成立，
当时，由反比例函数性质得在上单调递减，
得到，即，故D正确.
故选D.
6．【答案】B
【详解】由函数的定义域为，且是奇函数，
则，即，解得，
于是，求导得，则，而，
所以曲线在处的切线的方程为：，即.
故选B.
7．【答案】C
【详解】由题意可得，
由于是极小值点，故，或 ,
当时，，当和时，，当时，，
故在单调递减，在和单调递增，
此时是函数的极大值点，不符合题意，舍去，
当时，，当和时，，当时，，
故在单调递减，在和单调递增，
此时是函数的极小值点，符合题意，且是极大值点，故极大值为，
故选C.
8．【答案】B
【详解】因为，可知在内有2个变号零点，
由可得，可知：与在内有2个交点，
又因为，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，则，
且，，
结合图象可得，所以实数a的取值范围为.
故选B.
9．【答案】AD
【详解】，故A正确；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确.
10．【答案】ACD
【详解】函数定义域为R，求导得：，
对于A，若的增区间为，则的解集为，
所以，解得，正确；
对于B，若在上单调递减，则在上恒成立，
所以或，解得或，错误；
对于C，当时，令得，令得或，
因此在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处有极大值，则，解得，与矛盾；
当时，令得，令得或，
因此在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在处有极大值，则，解得，正确；
对于D，若，则，
因为，
所以曲线的对称中心为，正确.
故选ACD.
11．【答案】BC
【详解】依题意，，故，即，故A错误；
易知当时，，且在上单调递增，
而，，故，故B正确；
令，则，
故当时，，则在上单调递增，
故，则，故C正确；
，
假设为极小值点，则有，
即，
将，代入可得，
因为，上述等式不成立，故D错误.
故选BC.
12．【答案】
【详解】因为函数，所以，所以当时，，
即切线方程的斜率为，又因为切点为，
所以由直线的点斜式方程为：，即.
13．【答案】3
【详解】，
，
由题意可得，整理得，解得或.
当时，，
令，或;令，,
此时，函数在处取得极小值，不符合题意，
当时，.
令，得或；令，得得.
此时，函数在处取得极大值，合乎题意.
综上所述，.
14．【答案】
【详解】由题设，则在上，在上，
所以在上单调递减，在上单调递增，
而，
由，则在、上，在上，
所以在、上单调递增，在上单调递减，
而，
要使对，，使成立，
所以，只需在上，则，可得.
15．【答案】(1)
(2)极小值为，无极大值
【详解】（1），
，
故的图象在点处的切线为，
即；
（2）的定义域为，
由（1）知，
令得，令得，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
故在上取得极小值，极小值为，无极大值；
16．【答案】(1)
(2)2
【详解】（1）函数，
，
在点处的切线为，
解得，
所以
（2）设，则由题可知，即，
所以P的横坐标为2．
17．【答案】(1)，单调递增区间为，单调递减区间为；
(2)最大值为2，最小值为.
【详解】（1），
由题意得，即，解得，
故解析式为，定义域为R，
令，令得或，
令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
显然为极小值点，故，
单调递增区间为，单调递减区间为，
（2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
表格如下：
又，
故的最大值为2，最小值为.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知：函数的定义域为，，
因为函数在处的切线与直线垂直，
所以，解得：.
（2）因为.
当时，，所以函数在上单调递减，所以无极值；
当时，令得；令得；
可知函数在上单调递增，在上单调递减，
则的极大值为.
因为极大值不大于0，即，
且，可得，
记，，则，
所以在上单调递增.
而，所以由可解得.
即实数的取值范围为.
19．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意知，当曲线在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，对求导，得，
令，得，所以点的坐标为．
（2）设直线与曲线的切点坐标为，求导得，
则在点处的切线斜率为，可得切线方程为，整理得 ①.
设直线与曲线的切点坐标为，求导，得，
则在点处的切线斜率为，切线方程为，整理得 ②.
因为①②表示同一条直线，则 ③，且 ④.
由③可得，将其代入④得：，即， 解方程，得. 那么.
把代入①式得切线方程为.
1
+
0
-
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增