河南省郑州外国语学校2024-2025学年高二下学期月考1 数学 含解析

这是一份河南省郑州外国语学校2024-2025学年高二下学期月考1 数学 含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．如果函数在处的导数为1，那么（ ）
A．B．1C．2D．
2．下列求导正确的（ ）
A．B．
C．D．
3．曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．将2个相同的红球和2个相同的黑球放入两个不同的盒子中，每个盒子中至少放1个球，则不同的放法有（ ）
A．5种B．6种C．7种D．8种
5．函数在上不单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数恰有一个极值点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，，对，，使得成立.下列结论正确的是（ ）
A．，使得
B．函数的最大值为0
C．a的取值范围为
D．过作的切线，有且只有一条
9．函数的导函数的图象如图所示，给出下列选项正确的是（ ）
A．是函数的极大值点；
B．是函数的最小值点；
C．在区间上单调递增；
D．在处切线的斜率小于零．
二、多选题
10．若函数在上具有单调性，则函数可以是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数的最大值是
B．在上单调递减
C．对任意两个正实数，且，若，则
D．若关于x的方程有3个不等实数根，则m的取值范围是
三、填空题
12．若函数在区间上最大值为，最小值为，则实数 ．
13．乙巳蛇年，古城榆林燃动全国秧歌热潮，国内外共39支队伍汇聚榆林，舞动非遗年味.现有4名国际友人，每人从俄罗斯、保加利亚、榆林市直教育系统的三支秧歌队中选择观看一支，则不同的观看方式有 .（用数字作答）
14．已知函数.若，恒成立，a的取值范围为 .
四、解答题
15．已知函数.
(1)若，求的单减区间；
(2)若函数在区间上存在减区间，求a的取值范围.
16．已知函数在处有极大值.
(1)求实数的值；
(2)若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围.
17．已知函数.
(1)当时，求函数的极值点；
(2)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围.
18．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时恒成立，求实数b的最小值.
19．定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数.已知函数.
(1)当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由；
(2)是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
(3)若，求的极值差比系数的取值范围.
1．A
利用导数的定义求解.
【详解】因为，所以，
所以．
故选：A．
2．D
利用导数加法运算法则判断A；根据复合函数的导数判断B；根据导数除法运算法则判断C；根据导数乘法运算法则判断D.
【详解】，A不正确；
，B不正确；
，C不正确；
，D正确.
故选：D.
3．B
借助导数的几何意义计算即可得.
【详解】，令，则，故，
当时，，即的坐标为.
故选：B.
4．C
先从球的个数分类，再求出每类放球的方法，结合分类加法计数原理可得答案.
【详解】若两个盒子中都放入2个球，则有3种不同的方法；
若一个盒子中放1个球，另一个盒子中放3个球，则有4种不同的方法．
故不同的放法有7种．
故选：C
5．D
由有解，结合三角函数的值域来求得正确答案.
【详解】，
因为函数在上不单调，
所以函数有零点，
所以方程 有根，
所以函数与 有交点（且交点非最值点），
因为函数的值域为，
所以 .
故选：D
6．C
函数恰有一个极值点，只需有一个变号实数根，反解参数，研究其单调性，得出的取值范围.
【详解】，
，
因为函数恰有一个极值点，
所以有一个变号实数根，
即有一个变号的根，
即与一个交点，且在该交点前后两函数的大小关系发生变化，
令，
则，
令，函数单调递增，解得：，
令，函数单调递减，解得：，
则，
有一根，即，
当，时都有
当时，，
所以.
综上所述，的取值范围是
故选：C
7．A
根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性并求解不等式.
【详解】令函数，由，得，
又，求导得，
函数在R上单调递增，不等式，
解得，所以不等式的解集为.
故选：A
8．D
利用单调性说明的解判断A，由导数求最值判断B，由，使得求解判断C，设切点坐标为，代入所过点坐标求，引入新函数，由导数确定方程只有一个解，从而判断D．
【详解】对于A，，
因为在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，
所以当时，，故A错误;
对于B，由A的分析可知，当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得最小值：，无最大值，故B错误;
对于C，由前面分析知，
由题可知：，使得
对于函数，，
当时，，
故无论a取什么值，均，使得，
则a的取值范围为R，故C错误;
对于D，不妨设切点为，，
切线方程为，
把代入可得：，
即：
令，，
，
因为对恒成立，
所以当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
又，
所以只有一个零点0，
即只有时，成立，
故过作的切线，有且只有一条，故D正确.
故选：D.
9．C
【详解】解：由函数的导函数的图象可知，
A．左侧的导数小于0，而右侧的导数大于0，所以是函数的极小值点，故错误，不符合题意；
B．左侧的导数大于0，右侧的导数大于0，不是函数的最小值点，故B错误，不符合题意；
C．当时，，单调递增，故C正确，符合题意；
D．由图象得，所以在处切线的斜率大于零，故D错误，不符合题意；
故选：C．
10．BD
由题意可得或在上恒成立，逐个选项计算并判断即可得.
【详解】，
若函数在上具有单调性，由恒成立，
则或在上恒成立，
对A：，不满足题意，故A错误；
对B：恒成立，故B正确；
对C：，
由，
，不符，故C错误；
对D：，
由，故恒成立，故D正确.
故选：BD.
11．ACD
直接求导得出函数单调性，继而可得函数最值情况判断AB；利用函数值相等，结合极值点偏移构造函数判断C；结合函数图象，数形结合将的范围转换成复合型二次函数的值域求解判断D.
【详解】对于AB，函数的定义域为，求导得，
当时，，当时，，函数在上单调递增，
在上单调递减，，A正确，B错误；
对于C，依题意，，，则，
不等式，令
，令，
求导得，
而当时，，
于是，函数在上单调递增，，即，
因此，又在上单调递减，则，C正确；
对于D，令，若关于的方程有3个不等实数根，
则关于的方程有两个不相等的实数根，，
解得或，且，则或，
当时，，解得，与矛盾；
当时，，，整理得，
则的取值范围是，因此的取值范围是，D正确.
故选：ACD
12．
求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，即可求出函数的极小值，再求出区间端点处的函数值，即可求出函数的最值，即可得解.
【详解】因为，所以，所以当时，时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，
又，，，
因为，
所以，，
所以，，
则.
故答案为：
13．81
利用分步乘法计数原理计算即可.
【详解】4名国际友人，每人有三种选择，所以种.
故答案为：81.
14．
由已知可得，构造函数结合单调性建立不等式，再构造函数，利用导数求出最大值即可.
【详解】不等式，
令，在R上单调递增，则，
于是，即，令函数，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，则，
则的取值范围为.
故答案为：
15．(1)；
(2).
（1）把代入，利用导数求出单调递减区间.
（2）求出函数的导数，再将问题转化为在上有解即可.
【详解】（1）当时，的定义域为，
求导得，由，得，
所以的单减区间为.
（2）函数，求导得，
由函数在上存在减区间，得，使得成立，
即，使得成立，函数在上单调递增，
，则，解得，
所以的取值范围为.
16．(1)
(2)
（1）由题意题干中的函数进行求导，根据极值与导数的关系建立方程，分别检验解得的根，可得答案；
（2）由（1）明确函数解析式，利用导数求得其极值与单调性，并作图，根据零点定义，将问题等价转化为函数交点问题，可得答案.
【详解】（1）由函数，求导可得，
由函数在处取极大值，则，解得或，
当时，可得，
易知当时，；当时，，
则此时函数在处取得极小值，不符合题意，舍去；
当时，可得，
易知当时，；当时，，
则此时函数在处取得极大值，符合题意.
综上所述，.
（2）由（1）可得函数，求导可得，
令，解得或，可得下表：
所以函数的极大值为，极小值为，
函数存在三个零点，等价于函数图象与直线存在三个交点，
如下图：
由图可得，则.
17．(1)是函数的极小值点；
(2).
（1）利用导数求出函数的极值点.
（2）分离参数并构造，再利用导数求出最大值即可.
【详解】（1）当时，函数的定义域为，求导得，
由，得，当时，；当时，，
所以是函数的极小值点.
（2）当时，不等式，
设，依题意，，，
求导得，由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，，则，
所以实数的取值范围是.
18．(1)答案见解析；
(2).
（1）求出导数，再按分类求出函数的单调区间.
（2）由（1）的信息，求出函数的最大值，再由已知建立恒成立的不等式并分离参数，构造函数并利用导数求出最大值即可.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，由，得或；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得或；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数的递增区间为，递减区间为；
当时，函数的递增区间为，递减区间为；
当时，函数的递增区间为；
当时，函数的递增区间为，递减区间为.
（2）由（1）知当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
则，
依题意，，即恒成立，
令函数，求导得，
当时，，当时，，函数在上递增，在上递减，
即，因此，
所以最小值为.
19．(1)是，理由见解析
(2)不存在，理由见解析
(3)
（1）利用函数的导函数求出单调区间，由此得出极大值与极小值，由“极值可差比函数”的定义，求出极值差比系数的值，这样的值存在即可判断.
（2）反证法，假设存在这样的，由“极值可差比函数”的定义列出等量关系，证明无解即可.
（3）由（2）得到参数与极值点的关系式，对关系式进行转化，得出相应函数，利用导函数求出单调性，即可得出函数取值范围.
【详解】（1）当时，（），
则
当时，，当，，
所以在和上严格递增，在上严格递减，
所以的极大值为，极小值为，
所以，所以是极值差比函数.
（2）的定义域为，，
假设存在使的极值差比系数为，
则，是方程的两个不相等的正实数根，
则，解得，不妨设，则，
因为
，
所以，从而，得（*）
令（），，
所以在上是严格增函数，所以，
因此（*）无解，所以不存在使的极值差比系数为；
（3）由（2）知极值差比系数为，即，
不妨设，令，，极值差比系数可化为，
，又，解得，
令（），，
设（），，
所以在上单调递减，当时，，
从而，所以在上单调递增，所以，
即，题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
B
C
D
C
A
D
C
BD
题号
11









答案
ACD









单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增