2024-2025学年四川省成都七中高二（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年四川省成都七中高二（下）期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在等比数列{an}中，a1=1，a2=2，则a4=( )
A. 8B. 4C. 2D. 1
2.已知函数f(x)=2x，则Δx→0limf(1+Δx)−f(1)Δx=( )
A. ln22B. 2ln2C. 2ln2D. 2
3.已知m，n∈{−1,1,2,3}，若直线l：mx+ny=4与圆x2+y2=4没有交点，则满足条件的直线l有( )条．
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.已知函数f(x)=ex(x2+a)的极小值点大于1，则实数a的取值范围是( )
A. (−3,+∞)B. (−∞,1)C. (−∞,−3)D. (0,−3)
5.已知函数f(x)=ln|x|+x22+cs2x，a=f(−ln3)，b=f(1)，则a，b的大小关系为( )
A. abC. a=bD. 无法确定
6.已知函数f(x)的定义域是R，满足f(x)=f(2−x)，f(−x)+f(4+x)=0，函数f(x)的导函数f′(x)在R上总有意义，则f′(5)=( )
A. 0B. 1C. 2D. 4
7.已知{an}是各项均为正整数的无穷等差数列，其中的两项为14，26，则{an}的公差不可能为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
8.已知函数f(x)=kx−1与g(x)=ex的图象上存在关于直线y=x对称的点，则k的值不可能是( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(x+2 x)n的展开式中二项式系数和为512，下列说法正确的是( )
A. 展开式共10项B. 含x3项的系数为2016
C. 无常数项D. 只有第5项的二项式系数最大
10.已知函数f(x)=xlnx，则下列结论正确的是( )
A. x=e是函数f(x)定义域内的极小值点
B. 函数f(x)的单调减区间是(0,e)
C. 若函数g(x)=f(x)−m有零点，则实数m≥e
D. f(x)在定义域内既无最大值又无最小值
11.数列{an}的通项公式为an=(1+1n)n，下列说法正确的是( )
A. (1+1n)n的二项展开式第k+1项为Tk+1=Cnk1nk
B. 数列{an}单调递增
C. 数列{an}有最大项
D. [x]表示不超过x的最大整数，数列{an}的前n项和为Sn，若m=[snn]，则m=2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.椭圆C：x225+y29=1的两个焦点为F1，F2，椭圆C上有一点P，则△F1PF2的周长为______．
13.书架共4层，将3本不同的书放在书架上，则恰有3层书架上有书的放法有______种.
14.直线l：mx+ny+1=0与曲线C：f(x)=x3+3x2+3x相交，且满足曲线在交点A，B处的切线始终平行，则m2+n2的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
数列{an}的首项a1=1，{an}的前n项和为Sn，且满足nSn+1−(n+1)Sn−12(n2+n)=0．
(1)证明：数列{Snn}是等差数列；
(2)若bn=1an2−1an+12，求数列{bn}的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，边长为2，侧棱A1A=3，M、N分别为A1B1、A1D1的中点，E、F分别是C1D1、B1C1的中点．
(1)求证：直线EF//平面AMN；
(2)求直线AC与平面AMN所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
已知抛物线x2=2py上一点A(2,y0)到抛物线焦点F的距离为2．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)设点P的坐标为(0,−1)，若过点P的直线l与曲线C交于M，N两点，证明：直线AF平分∠MFN．
18.(本小题17分)
有甲乙在内的4个人传球，每人接球后传给别人为一次传球.现由甲发球，经过n(n≥2)次传球后，球回到甲手中的不同传球方法数记为an．
(1)求a2，a3；
(2)经过n(n≥2)次传球后，球没有回到甲手中的不同传球方法数记为bn，请用bn表示an+1；
(3)写出an和an+1满足的关系式，并求数列{an}(n≥2)的通项公式．
19.(本小题17分)
f(x)=ae2−x+x−1，x≥1．
(1)若函数f(x)的图象始终不在g(x)=x2−4x+6上方，求a的取值范围；
(2)若a>0，求f(x)的单调区间；
(3)当a=1，方程f(x)=b有两根x1，x2(x1≠x2)，证明：|x1−x2|> 12−b+4．
参考答案
1.A
2.C
3.D
4.C
5.B
6.A
7.D
8.D
9.AB
10.AD
11.ABD
12.18
13.24
14.(1,+∞)
15.解：(1)证明：由nSn+1−(n+1)Sn−12(n2+n)=0，得nSn+1−(n+1)Sn=12n(n+1)，
所以Sn+1n+1−Snn=12，又a1=1，故S11=1，
所以{Snn}是以1为首项，以12为公差的等差数列；
(2)由(1)可知Snn=12+n−1=12n+12，所以Sn=12n2+12n，
当n=1时，a1=S1=12+12=1，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=12n2+12n−(12n2−12n)=n，
又a1=1满足上式，所以an=n，
所以bn=1n2−1(n+1)2，
所以Tn=1−122+122−132+...+1n2−1(n+1)2=1−1(n+1)2．
16.解：(1)证明：连接B1D1，
因为M，N分别为A1B1，A1D1的中点，且E，F分别是C1D1，B1C1的中点，
所以MN//EF//B1D1，又MN⊂平面AMN，EF⊄平面AMN，
所以EF//平面AMN；
(2)如图所示，建立空间直角坐标系D−xyz，
则A(2,0,0)，M(2,1,3)，N(1,0,3)，C(0,2,0)，
所以AC=(−2,2,0)，MN=(−1,−1,0)，AN=(−1,0,3)，
设平面AMN的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅MN=−x−y=0n⋅AN=−x+3z=0，取n=(3,−3,1)，
所以直线AC与平面AMN所成角的正弦值为：
|cs|=|AC⋅n||AC||n|=122 2× 19=3 3819．
17.解：(1)因为点A在抛物线上，
所以A(2,2p)，
因为点A(2,2p)到抛物线准线y=−p2的距离为2，
所以2p−(−p2)=2，
解得p=2，
则抛物线的方程为x2=4y；
(2)证明：因为F(0,1)，
所以AF//x轴，
要证直线AF平分∠MFN，
需证kFM+kFN=0，
当直线l斜率不存在时，
此时直线l与抛物线只有1个交点，不符合椭圆；
所以直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y=kx−1，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立y=kx−1x2=4y，消去y并整理得x2−4kx+4=0，
此时Δ=16k2−16>0，
解得k>1或k0，可得t∈(0,1)，令ℎ(t)0，f′(x)=−ae2−x+1为增函数，由f(x)=0得x=2+lna，
①当2+lna>1，即a∈(1e,+∞)时，f(x)在(1,2+lna)上单调递减，在(2+lna,+∞)上单调递增：
②当2+lna≤1，即a∈(0,1e]时，f(x)在(1,+∞)单调递增．
综上，①当a∈(1e,+∞)时，f(x)的单调递减区间是(1,2+lna)，单调递增区间是(2+lna,+∞)；
②当a∈(0,1e]时，f(x)的单调递增区间是(1,+∞)，无单调递减区间，
(3)证明：由(2)知，f(x)在(1,2)单调递减，在(2,+∞)上单调递增．
f(x)=b的方程有两根x1，x2(x1≠x2)，
即函数y=b与函数y=f(x)有两不同交点，横坐标分别为x1，x2(x1≠x2)，
可知1