2024-2025学年山东省青岛二中高二（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省青岛二中高二（下）期中数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知随机变量X服从正态分布N(3,σ2)，且P(X>2)=0.7，则P(30时，f(x)≥g(x)恒成立，即ex−ax−1≥x2，
即a≤exx−x−1x恒成立．
令ℎ(x)=exx−x−1x(x>0)，则ℎ′(x)=(x−1)(ex−x−1)x2．
令φ(x)=ex−x−1(x>0)，则φ′(x)=ex−1>0在(0,+∞)恒成立，
∴φ(x)在(0,+∞)单调递增，
∴φ(x)>φ(0)=0，
令ℎ′(x)=0，解得x=1，
∴当x∈(0,1)时，即ℎ′(x)0，则ℎ(x)单调递增，
∴ℎ(x)min=ℎ(1)=e−2，
∴a∈(−∞,e−2]．
18.解：(1)记事件A为每局比赛“甲获胜”，
记事件B为每局比赛“乙获胜”，
记事件C为每局比赛“甲乙两人平局”，
此时P(A)=α=12，P(B)=β=13，P(C)=γ=16，
记“进行4局比赛后甲学员赢得比赛”为事件D，
则事件D包括事件ABAA，BAAA，ACCA，CACA，CCAA这5种情况，
此时P(D)=P(ABAA)+P(BAAA)+P(ACCA)+P(CACA)+P(CCAA)
=2P(B)P(A)P(A)P(A)+3P(C)P(C)P(A)P(A)
=2×13×(12)3+3×(16)2×(12)2=548；
(2)若γ=0，
此时每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，
则α+β=1，
此时X的所有取值为2，4，5，
可得P(X=2)=P(AA)+P(BB)=α2+β2，
P(X=4)=P(ABAA)+P(BAAA)+P(ABBB)+P(BABB)=(αβ+βα)α2+(αβ+βα)β2=2aβ(α2+β2)，
P(X=5)=P(ABAB)+P(ABBA)+P(BABA)+P(BAAB)=1×(α2β2+α2β2+a2β2+a2β2)4α2β2，
则X的分布列为：
则E(X)=2×(α2+β2)+4×2αβ(α2+β2)+5×4α2β2=4α2β2+4αβ+2，
因为α+β=1≥2 aβ，
所以αβ≤14，当且仅当α=β=12时等号成立，
则αβ∈(0,14],
此时E(X)=4α2β2+4αβ+2=(2αβ+1)2+1≤(2×14+1)2+1=134，
故E(X)的最大值为134．
19.解：(1)当a=0时，f(x)=lnx+1x(x>0)，
所以f′(x)=−lnxx2(x>0)，
当01时，f′(x)0，g(x)在(0,1)单调递增；
所以当x∈(1,+∞)时g′(x)1时，f(x)>0恒成立，得到1e