2024-2025学年江苏省苏州工业园区星海中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省苏州工业园区星海中学高一（下）期中数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数z满足z1−i=1+2i，则它的虚部为( )
A. −1B. 1C. −iD. i
2.已知平面向量a=(1,2)，b=(3,k)，若a⊥b，则k=( )
A. −32B. 6C. 32D. −6
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=c⋅csA，则△ABC的形状为( )
A. 直角三角形B. 等腰三角形或直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 正三角形
4.把函数f(x)的图象向右平移π12个单位后得到函数y=sin(x+π3)的图象，则f(x)为( )
A. sin(x+712π)B. sin(x+34π)C. sin(x+5π12)D. sin(x−512π)
5.1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用sec(角)表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用csc(角)表示，则csc10°− 3sec10°=( )
A. 3B. 2 3C. 4D. 8
6.已知平面向量a，b满足|a|=2，b=(1,1)，|a+b|= 10，则a在b上的投影向量的坐标为( )
A. ( 22, 22)B. (1,1)C. (−1,−1)D. (− 22, 22)
7.蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的.若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示.设P为图中7个正六边形(边长为4)的某一个顶点，A，B为两个固定顶点，则PA⋅PB的最大值为( )
A. 44B. 48C. 72D. 76
8.有一直角转弯的走廊(两侧与顶部都封闭)，已知走廊的宽度与高度都是3米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊，设不计硬管粗细可通过的最大极限长度为l米.为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为m=0.9l米，则m的值是( )
A. 8110B. 27 210
C. 27 25D. 6 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a+bcsC=ccsB+4ccsC，A=π6，则ba的取值可能是( )
A. 12B. 32C. 2D. 3
10.设z1，z2是复数，则下列说法正确的是( )
A. 若z1是纯虚数，则z120)，已知f(x)在[0,π]上有且仅有4个零点，则( )
A. ω的取值范围是[196,256)
B. y=f(x)的图象与直线y=1在(0,π)上的交点恰有2个
C. y=f(x)的图象与直线y=−1在(0,π)上的交点恰有2个
D. f(x)在(π4,π2)上单调递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知sinα−csα= 24，则cs(2α−9π2)=______．
13.设z∈C，且|z+1|−|z−i|=0，则|z+2i|的最小值为______．
14.已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC的中点，E为AD的中点，延长BE交AC于点F，若b=2,4sinAsinC=3 3sinB，则△AEF的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
设两个非零向量a与b不共线．
(1)若AB=a+b，BC=2a+8b，CD=3(a−b).求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka+b和a+kb共线．
16.(本小题15分)
已知向量a=(2csx,1)，b=(−cs(x+π3),12)，x∈[0,π2].
(1)若a//b，求x的值；
(2)记f(x)=a⋅b，若对于任意x1，x2∈[0,π2]，|f(x1)−f(x2)|≤λ恒成立，求实数λ的最小值．
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c−b=2acsB．
(1)若b2−a2+c2−3c=0，且边BC的中线AD长为 192，求△ABC的面积；
(2)若△ABC是锐角三角形，求a+bc的范围．
18.(本小题15分)
如图，正方形ABCD的边长为a(a>1)，点W，E，F，M分别在边AB，BC，CD，DA上，EM//AB，WF//BC，EM与WF交于点N，EF=1，记∠FEC=x(0